第1天 有理数及其运算(数学)-【30天速通】2025-2026学年初中数理化一本通

专题一数与式 可视化知识图谱 有理数及 0既不是正数，也不是负数 其运算 正数和负数 有理数 可以写成分数形式的数 有理数的运算 代数式和 代数式 数 整式 代数式的值 9 -abc 整式 学 整式的加减 实质是去括号、合并同类项 专题一 整式的运 整式的乘法 算与因式 分解 整式的混合运算 数与式 (a+b)a-b)=a2-b2 乘法公式 (a±b)}2=a2±2ab+b2 因式分解 实数 平方根 ±Vaa≥0) 当的总) 立方根 a 变 8.6.a.e 实数 分式 分式 年司 分式的运算 二次根式 Va(a≥0) 二次根式 二次根式的乘除 o 次根式的加减 二次根式的混合运算 图天速通初中数理化 第1天 有理数及其运算 知识点1 正数和负数 重点5年287考 速通秘籍 1.正数和负数 -a不一定是负数.当 定义 示例 补充 a为负数时，-a为正 数 数；当a为0时，-a 大于0的数叫作正数，有 正数前面 为0. 时，为了明确表达与负数 的相反意义，在正数的前 3,50,7.8% 的“+”号 学 数 面加上符号“+”（读作 都是正数 可以省略 “正”) 不写 在正数前加上符号“” -3,-10, 负数前面 负 的 的数叫作负数 -0.7%都 “_”号 是负数 不能省略 2.数0的意义 0既不是正数，也不是负数 速思广延 3.具有相反意义的量 具有相反意义的量的 我们通常把其中一种意义的量规定为正，与它具有相反 特点： 意义的量就为负.习惯上把“零上、前进、盈利”等规 (1)具有相反意义 定为正，把“零下、后退、亏损”等规定为负， 的量是成对出现的. （2)具有相反意义的 母题剖析广州中考)中国人很早就开始使用负数， 量，只要求意义相反， 中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章， 不要求数量相等. 在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100 例如盈利3500元与 元记作+100元，那么-80元表示（C) 亏损2000元是具有 A.支出20元 B.收入20元 相反意义的量 C.支出80元 D.收入80元 【审题】具有相反意义的量. 【解题】在一对具有相反意义的量中，规定其中一 个为正，则另一个就为负.根据题意，收入100元 记作+100元，那么-80元表示支出80元. 2 专题一数与式 知识点2有理数 5年179考 1.有理数 速通秘籍 可以写成分数形式的数称为有理数， (1)整数可以看作 有理数有两种分类方式，如下. 是分母为1的分数 (2)分数与有限小 正整数 正整数 数、无限循环小数可 整数 0 正有理数 以互化，所以有限小 正分数 数 有理数 负整数 数和无限循环小数可 有理数 0 看作分数，但无限不 正分数 负整数 学 分数 负有理数 循环小数不能转化为 负分数 负分数 分数，例如元 2.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 单位长度 原点 正方向 3.相反数 速通秘籍 (1)定义：只有符号不同的两个数，互为相反数 互为相反数的两个数 一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数 的绝对值相等；绝对 是0 值相等的两个数相等 或互为相反数. (2)多重符号的化简 省略所有的“+”号，由数字前面“-”号的个数来 速通秘籍 确定.若“_”号有偶数个，则化简结果为正；若“_” 数轴上表示这个数的 号有奇数个，则化简结果为负. 点离原点的距离越 4.绝对值 远，这个数的绝对值 越大；离原点的距离 (1)定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点 越近，这个数的绝对 的距离叫作数a的绝对值，记作lal. 值越小 (2)意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是 3 膏天速通初中数理化 它的相反数；0的绝对值是0.即对于任何有理数a, Ca （a>0）, 都有lal= 0(a=0), -a(a<0). 速通秘籍 5.有理数的大小比较 异号两数比较大小， 要考虑它们的正负； (1)数轴法：在向右（或上）为正方向的数轴上 数 同号两数比较大小， 表示的两个数或几个数，左（或下）边的数总比右 要考虑它们的绝对值， (或上)边的数小 学 (2)法则比较法 同为正号：绝对值大的数大 两数同号 同为负号：绝对值大的数反而小 两数异号 正数大于负数 正数与0：正数大于0 一个数为0 负数与0：负数小于0 (3)作差法：设a,b为任意数，若a-b>0,则 a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b.反之 也成立 (4)求商法：设a,b为任意正数，若分>1，则 >b;若号=l,则ab;若号<1，则a<a反之也成立. (5)倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒 数大的反而小 母题剖析贵州中考下列有理数中最小的数是(A) A.-2 B.0 C.2 D.4 【审题】有理数的大小比较. 【解题】根据有理数比较大小的方法，可得4>2> 0>-2,∴.最小的数是-2. 专题一 数与式 知识点3 有理数的运算 重点5年236考 1.有理数的加法与减法 速记口诀 (1)有理数加法法则：①同号两数相加，和取相 同号相加一边倒， 同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 异号相加“大”减 ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大 “小” 的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中 符号跟着“大”数跑， 与0相加得原数， 数 较大者与较小者的差.③互为相反数的两个数相加 相反数相加0正好. 得0.④一个数与0相加，仍得这个数. 学 (2)有理数减法法则：减去一个数，等于加这个 数的相反数，即a-b=a+(-b): (3)运算律 运算律 文字语言 数学语言 加法交 两个数相加， 交换加数的位 换律 置，和不变 a+b-b+a 加法结 三个数相加，先把前两个数 相加，或者先把后两个数相 合律 (a+b)+c=a+(b+c) 加，和不变 (4)有理数的加减混合运算的步骤 ①把加减混合运算统一成加法运算。 ②写成省略算式中的括号和加号的形式. ③利用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简 便运算」 2.有理数的乘法与除法 速通秘籍 （1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异 (1)两数相乘，同号 号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.任 得正，异号得负，一 何数与0相乘，都得0. 旦有0，则积为0. （2)乘积是1的两 (2)有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等 个数互为倒数 5 30天速通初中数理化 速通秘籍 于乘这个数的倒数，即a÷ba·君b≠0. 两数相除，同号得正， (3)运算律 异号得负，并把绝对 运算律 文字语言 数学语言 值相除.0除以任何 一个不等于0的数， 乘法交 两个数相乘，交换乘数的 ab=ba 换律 位置，积不变 都得0. 三个数相乘，先把前两个 乘法结 数 合律 数相乘，或者先把后两个 (ab)c=a(bc) 数相乘，积不变 学 一个数与两个数的和相乘， 乘法分 配律 等于把这个数分别与这两 a(b+c)=ab+ac 个数相乘，再把积相加 速通秘籍 3有理数的乘方 当a看作a的n次方 (1)有理数的乘方：一般地，几个相同的乘数a 的结果时，也可读作 “a的n次幂”， 相乘，即a· ,记作a”,读作“a的n次方”.求 n个 n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果 叫作幂.在a中，a叫作底数，n叫作指数 (2)有理数的混合运算顺序：引入有理数的乘方运 算后，做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时， 应注意以下运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加 减.②同级运算，从左到右进行.③如有括号，先做 括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 速思广延 (3)科学记数法：把一个大于10的数表示成 科学记数法的表示形 a×10”的形式（其中a大于或等于1，且a小于 式为a×10,其中1≤ 10,n是正整数)，这种记数法叫作科学记数法， lalk10,n为整数.当 母题剖析江西中考)“长征是宣言书，长征是宣 原数的绝对值≥10 传队，长征是播种机”·二万五千里长征是中国历 时，n是正整数；当 原数的绝对值<1时， 史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹.将25000 n是负整数. 用科学记数法可表示为(C) A.0.25×10 B.2.5×10 6 专题一数与式 C.2.5×104 D.25×103 【审题】科学记数法. 【解题】25000=2.5×104. |第2天 代数式和整式 知识点 代数式 5年169考 数 1.用字母表示数 速通秘籍 学 用字母表示数使我们的表达从一个具体问题推广到 代数式中不能含有等 类问题，更具有一般性。 号(=)，不等号（≠、 ≤、≥、<、>)，约 2.代数式 等号（≈)，但可以 (1)定义：用运算符号把数或表示数的字母连接 有绝对值 起来的式子，我们称为代数式.单独的一个数或一 个字母也是代数式： (2)书写规范 速通秘籍 ①字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写 如果式子是和或差的 成“.”或省略不写. 形式且后面有单位， 则应把整个式子用括 ②字母与数字或字母与字母相除时，除号可以用分 号括起来 数线表示. ③字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面， 字母前面的数字是分数的，带分数一般要写成假分 数的形式. ④字母前面的数字因数是“1”或“-1”时，“1” 速通秘籍 可以省略不写. 如果用字母x与y表 3.反比例关系 示两个相关联的量， 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变 用k表示它们的积（尼 是一个确定的值，且 化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反 k≠0)，反比例关系 比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系 可以用y=k来表示」