专项14 代数与几何综合问题8大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项14 代数与几何综合问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年全国中考，代数与几何综合问题是压轴题的核心题型，分值约10-16分。以“代几综合”形式呈现，将函数（一次、反比例、二次）与几何图形（三角形、四边形、圆）深度融合。重点考查存在性问题、最值问题、动态几何与分类讨论思想，强调数形结合与模型识别能力。 ## 全国2026年命题趋势分析 2026年全国中考代数与几何综合问题将呈现四大趋势： 一是函数背景下的几何探究持续深化。一次函数、反比例函数、二次函数与三角形、四边形、圆的综合仍为压轴题主流，广东省卷近三年均以“一次函数+反比例函数+矩形/正方形”为背景命制第23题，这一模式预计向全国扩展。 二是“存在性/任意性”问题成为区分点。海淀区一模教研会明确指出，代综的最值问题与“存在性/任意性”条件的辨析，将成为今年中考的高频区分点。这类问题要求学生具备较强的逻辑推理与分类讨论能力。 三是转化思维成为突破关键。2026年代数综合题考查核心将围绕“转化思维”展开——几何问题转化为代数问题、代数式变形转化为函数图像分析。教师备考中强调“数形互化”“整体代换”等高效解题技巧。 四是复合模型背景下难度提升。近年趋势是从单一函数转向复合函数背景，如“一次函数+反比例函数+矩形+折叠+圆”等多重嵌套，对知识综合运用能力要求显著提高。 ## 全国2026年预测 2026年中考，代几综合压轴题大概率以一次函数或二次函数为背景，与平行四边形、矩形、三角形存在性问题结合。最值问题（线段最值、面积最值）与“存在性/任意性”辨析仍是核心考点。备考需强化“建模→列式→分类讨论”的解题链条，重点训练数形转化能力与答题规范。 题型01 一次函数与几何综合问题 析典例·建模型 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 研考点·通技法 1. 求交点坐标 联立一次函数解析式与几何图形边界方程（如直线、坐标轴），解方程组得交点坐标。注意利用几何条件（如中点、垂直）列方程求参数。 2. 利用斜率与距离 两直线垂直时斜率积为-1，平行时斜率相等。用两点间距离公式表示线段长，结合中点坐标公式、面积公式（如铅垂法）建立方程。 3. 分类讨论动点位置 动点在不同线段上运动时，解析式或取值范围不同。设动点坐标，根据几何条件列方程，解出后验证点是否在对应线段内（如横坐标范围）。注意特殊位置（如点在坐标轴上）需单独讨论。 破类题·提能力 1．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段上的一个动点，且不与点A，B重合．作轴于点C，轴于点D，得到矩形 ，设的长为a，矩形的面积为S． (1)求的长； (2)当a为何值时，S有最大值，并求出此时S的最大值． 题型02 反比例函数与几何综合问题 析典例·建模型 1．（2026·江西宜春·一模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上； 研考点·通技法 1. 设点坐标表几何量 设反比例函数上点P(t,)，利用横纵坐标表示线段长（如|t|、||）、三角形面积（S =|t×| = 或作垂线矩形面积为|k|）。 2. 利用面积不变性 反比例函数上任意点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为|k|，三角形面积为。通过面积相等或平移转化，求未知点坐标或k值。 3. 分类讨论与方程 根据点所在象限（k>0在一、三象限；k<0在二、四象限）分情况讨论。结合几何条件（如等腰三角形、平行四边形）列方程，解出后检验点是否在反比例函数图像上且符合取值范围。注意k的正负影响坐标符号。 破类题·提能力 1．（2026·安徽·二模）如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． (1)求的值； (2)若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在矩形中，，，分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，． (1)若，求反比例函数的解析式； (2)当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少? 题型03 二次函数与三角形的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 研考点·通技法 1. 求交点坐标 联立二次函数与直线解析式，解方程组得三角形顶点坐标。利用判别式判断交点个数，为后续面积、边长计算提供数据。 2. 面积与边长表示 用铅垂法求三角形面积：S =×水平宽×铅垂高。用两点间距离公式表示边长，结合勾股定理判定三角形形状（直角、等腰）。 3. 存在性问题分类 遇等腰三角形分三类（两腰相等），直角三角形分三类（直角顶点位置），分别列方程求解。设动点坐标为(t, at2+bt+c)，利用距离公式或斜率关系列式，解出后检验是否在抛物线上且不与已知点重合。注意多解需代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 题型04 二次函数与四边形的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 研考点·通技法 1. 求顶点坐标 联立二次函数与直线解析式，解出四边形各顶点坐标。利用对称轴、配方法求抛物线顶点，为面积、边长计算提供数据。 2. 面积分割计算 将四边形分割成三角形或梯形，用铅垂法或坐标公式求面积。常见分割：作坐标轴垂线、连接对角线。设动点坐标，建立面积关于横坐标的函数，求最值。 3. 存在性分类讨论 平行四边形：按对角线分三类，用中点坐标公式列方程组；矩形：在平行四边形上加邻边垂直（斜率积=-1）；菱形：加邻边相等（距离公式）；正方形：两者兼具。解出点坐标后检验是否在抛物线上且不共线。 破类题·提能力 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 题型05 二次函数与圆的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·西藏·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与轴相切时，求的半径． 研考点·通技法 1. 坐标化圆的条件 设圆心O(m,n)，半径r，圆上点P(x,y)满足(x-m)2+(y-n)2=r2。将几何条件（如相切、弦长）转化为代数方程，与二次函数联立。 2. 利用相切与交点 圆与抛物线相切时，联立方程组的判别式△=0，且切点坐标满足两者解析式。利用圆心到切线距离等于半径，结合点线距离公式求参数。 3. 分类讨论位置关系 根据圆与抛物线的交点个数（0,1,2）分情况讨论。考虑圆心在抛物线对称轴上等特殊情形，利用韦达定理、中点坐标公式求弦长或圆心坐标。解出后验证点是否同时在圆和抛物线上，并检查范围。 破类题·提能力 1．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 2．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 2．（2026·江西宜春·一模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上； 3．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 4．（2022·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·广东清远·二模）在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． (1)如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项14 代数与几何综合问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年全国中考，代数与几何综合问题是压轴题的核心题型，分值约10-16分。以“代几综合”形式呈现，将函数（一次、反比例、二次）与几何图形（三角形、四边形、圆）深度融合。重点考查存在性问题、最值问题、动态几何与分类讨论思想，强调数形结合与模型识别能力。 ## 全国2026年命题趋势分析 2026年全国中考代数与几何综合问题将呈现四大趋势： 一是函数背景下的几何探究持续深化。一次函数、反比例函数、二次函数与三角形、四边形、圆的综合仍为压轴题主流，广东省卷近三年均以“一次函数+反比例函数+矩形/正方形”为背景命制第23题，这一模式预计向全国扩展。 二是“存在性/任意性”问题成为区分点。海淀区一模教研会明确指出，代综的最值问题与“存在性/任意性”条件的辨析，将成为今年中考的高频区分点。这类问题要求学生具备较强的逻辑推理与分类讨论能力。 三是转化思维成为突破关键。2026年代数综合题考查核心将围绕“转化思维”展开——几何问题转化为代数问题、代数式变形转化为函数图像分析。教师备考中强调“数形互化”“整体代换”等高效解题技巧。 四是复合模型背景下难度提升。近年趋势是从单一函数转向复合函数背景，如“一次函数+反比例函数+矩形+折叠+圆”等多重嵌套，对知识综合运用能力要求显著提高。 ## 全国2026年预测 2026年中考，代几综合压轴题大概率以一次函数或二次函数为背景，与平行四边形、矩形、三角形存在性问题结合。最值问题（线段最值、面积最值）与“存在性/任意性”辨析仍是核心考点。备考需强化“建模→列式→分类讨论”的解题链条，重点训练数形转化能力与答题规范。 题型01 一次函数与几何综合问题 析典例·建模型 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，根据函数图象解不等式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求解； （2）联立函数解析式，求得点的坐标，可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：联立一次函数和反比例函数， 得， 解得或， 令，则， 点坐标为， 可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 研考点·通技法 1. 求交点坐标 联立一次函数解析式与几何图形边界方程（如直线、坐标轴），解方程组得交点坐标。注意利用几何条件（如中点、垂直）列方程求参数。 2. 利用斜率与距离 两直线垂直时斜率积为-1，平行时斜率相等。用两点间距离公式表示线段长，结合中点坐标公式、面积公式（如铅垂法）建立方程。 3. 分类讨论动点位置 动点在不同线段上运动时，解析式或取值范围不同。设动点坐标，根据几何条件列方程，解出后验证点是否在对应线段内（如横坐标范围）。注意特殊位置（如点在坐标轴上）需单独讨论。 破类题·提能力 1．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得得出，联立反比例函数与直线解析式，解方程，即可求解； （2）分在轴和在轴两种情况讨论，根据，利用两点距离公式建立方程，解方程，即可求解； （3）设，过点作交轴于点，交轴于点，分别求得，，根据，，建立方程求得的坐标，再求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立， 解得：或， ∴， （2）解：①当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ②当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或； （3）解：如图，设，过点作交轴于点，交轴于点，连接, 设解析式为 ∴ 解得： ∴的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵，则直线的解析式为 同理可得直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵与轴交于点． 当时，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段上的一个动点，且不与点A，B重合．作轴于点C，轴于点D，得到矩形 ，设的长为a，矩形的面积为S． (1)求的长； (2)当a为何值时，S有最大值，并求出此时S的最大值． 【答案】(1)， (2)，8 【分析】本题主要考查矩形与直角坐标系，解题的关键是熟知直角坐标系、矩形的性质及一次函数的图像和二次函数最值等相关问题； （1）根据直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，即可求解； （2）设的长为a，得，代入，求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，∴ ，即， ∴， ∵与y轴交于点B， ∴， （2）解：∵设的长为a， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当时，S有最大值为. 题型02 反比例函数与几何综合问题 析典例·建模型 1．（2026·江西宜春·一模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上； 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）如图，过点D作，过点C作，根据菱形的性质和已知点坐标利用勾股定理求出，证明，得出，即可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，则，，验证即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作，过点C作， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ， ∴点在反比例函数的图象上． 研考点·通技法 1. 设点坐标表几何量 设反比例函数上点P(t,)，利用横纵坐标表示线段长（如|t|、||）、三角形面积（S =|t×| = 或作垂线矩形面积为|k|）。 2. 利用面积不变性 反比例函数上任意点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为|k|，三角形面积为。通过面积相等或平移转化，求未知点坐标或k值。 3. 分类讨论与方程 根据点所在象限（k>0在一、三象限；k<0在二、四象限）分情况讨论。结合几何条件（如等腰三角形、平行四边形）列方程，解出后检验点是否在反比例函数图像上且符合取值范围。注意k的正负影响坐标符号。 破类题·提能力 1．（2026·安徽·二模）如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． (1)求的值； (2)若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可得，那么，即可求得答案； （2）设坐标为，过点作轴于点，先求得的长度，利用，得到，接着根据，列方程求解即可得出，最后将点代入反比例函数即可求出答案． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设坐标为，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 解得（负值舍去），则， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）在矩形中，，，分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，连接，，． (1)若，求反比例函数的解析式； (2)当点在上移动时，与的面积差记为，求当为何值时，有最大值，最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值是 【分析】（1）由的长可确定出C的坐标，由可求出，得出点，根据点在反比例函数图象上，即可求出，求出反比例函数解析式； （2）先表示出点，，接着表示出，，得到，最后利用二次函数求出最值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵函数的图象过点, ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵反比例函数过点， ∴当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 当时，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴面积差， ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为． 题型03 二次函数与三角形的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 研考点·通技法 1. 求交点坐标 联立二次函数与直线解析式，解方程组得三角形顶点坐标。利用判别式判断交点个数，为后续面积、边长计算提供数据。 2. 面积与边长表示 用铅垂法求三角形面积：S =×水平宽×铅垂高。用两点间距离公式表示边长，结合勾股定理判定三角形形状（直角、等腰）。 3. 存在性问题分类 遇等腰三角形分三类（两腰相等），直角三角形分三类（直角顶点位置），分别列方程求解。设动点坐标为(t, at2+bt+c)，利用距离公式或斜率关系列式，解出后检验是否在抛物线上且不与已知点重合。注意多解需代入验证。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数表达式； (2)若点、（）是该函数图像上两点． ①证明：； ②连接，若为直角三角形，求t的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出，再求出，进而求出，根据，利用不等式的性质比较即可； ②分和两种情况结合勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， 则二次函数表达式为； （2）①证明：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②根据题意，得， ∵， ∴，，， ∵为直角三角形， ∴或， 当时，则， 则 或 解得（舍去）或（舍去）或（符合题意）； 当时， 则，则 或 解得或或（舍去）； 综上，若为直角三角形，t的值为或或． 题型04 二次函数与四边形的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)则抛物线解析式中________，________； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在、求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为，分，，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴， 解得； （2）解：由（1）知该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线图象与轴的另一个交点的坐标为， 当时，即，此时，随的增大先增大到最大值再减小， 此时，，解得（舍去）； 当时，即，此时，随的增大而减小， 此时，，即， 解得或（舍去）； 综上，当时，y的取值范围是，t的值为； （3）解：存在； 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得 ∴， 设，则， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则，即， 解得（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则，即， 解得或（舍去）， 此时菱形的边长为； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或． 研考点·通技法 1. 求顶点坐标 联立二次函数与直线解析式，解出四边形各顶点坐标。利用对称轴、配方法求抛物线顶点，为面积、边长计算提供数据。 2. 面积分割计算 将四边形分割成三角形或梯形，用铅垂法或坐标公式求面积。常见分割：作坐标轴垂线、连接对角线。设动点坐标，建立面积关于横坐标的函数，求最值。 3. 存在性分类讨论 平行四边形：按对角线分三类，用中点坐标公式列方程组；矩形：在平行四边形上加邻边垂直（斜率积=-1）；菱形：加邻边相等（距离公式）；正方形：两者兼具。解出点坐标后检验是否在抛物线上且不共线。 破类题·提能力 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，点B的坐标为，顶点D的坐标为．点P为抛物线上第一象限内一点，过点P作交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点F在直线上，平面内存在点Q，使以点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形，点Q的坐标为________； (3)求的最大值； (4)点M为直线上一动点，连接并延长至点N，使，连接，当的值最大时，的最小值为________． 【答案】(1) (2)或； (3) (4) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法进行求解即可； （2）求出点坐标，推出，进而得到，推出正方形，求出直线的解析式，设，根据，列出方程求出的值，再根据平移思想，求出点的坐标即可； （3）作轴，交于点，作于点，求出，进而得到，，得到，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到最大时，最大，设，则，利用二次函数求最值即可； （4）根据，得到，进而得到，推出，得到当最大时，的值最大，延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴，利用相似，求出点坐标，推出点在过点且平行于的直线上运动，作点关于的对称点，连接，则，得到当三点共线时，最小，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴当点C，D，F，Q为顶点的四边形为正方形时，只能得到正方形， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，解得， ∴或， ∵点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴点先向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到， ∴或； （3）解： 作轴，交于点，作于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知，，直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时最大为； （4）解：由（3）可知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 延长至点，使，过点作的平行线，作轴，轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点在直线上， ∴， ∴，即点在过点且平行于的直线上运动， 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，最小， 由（2）可知，， ∵，点在直线上， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴垂直平分， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)如图2，保持时的矩形位置不动，平移抛物线使之经过点，得到抛物线，过点的直线交抛物线和于点（点均不与点重合），设点的横坐标为，设点的横坐标为，请求出的值． 【答案】(1) (2)，29 (3)10 【分析】（1）易得抛物线过点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）用含的代数式表示的长，对称性求出的长，根据矩形的周长公式，列出二次函数求最值即可； （3）求出点坐标，待定系数法求出平移后的解析式，设经过点的直线解析式为，分别联立直线和两个抛物线的解析式，求出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 当时，， ∵， ∴， 又∵抛物线过点，和， ∴，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴矩形的周长为， ∴当时，矩形的周长最大为29； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 设经过点的直线解析式为， 联立，解得或； ∴， 联立，解得或； ∴， ∴． 题型05 二次函数与圆的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·西藏·一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点，以为圆心，为半径作，当与轴相切时，求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式，代入、的横坐标求出的值，得到、的坐标后，用交点式直接求出抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的坐标，再利用、两点求出直线的解析式，设出直线上点的坐标，结合轴得到抛物线上点的坐标，进而表示出的长度即的半径，根据与轴相切，依据圆心到坐标轴的距离等于半径列绝对值方程，求解后舍去使为0的解，最终得到的半径． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和，对称轴为直线， ∴，解得． ∴， ∴，． 设抛物线解析式为 （2）解：由抛物线 令，得，故 设直线的解析式为， 代入、，得： 解得 即直线的解析式为 设点 ∵轴 ∴ ∴ 即的半径． 当与轴相切时， 即 ∴ 或     ∴ 或 当时，，舍去； 所以或， 对应或． ∴的半径为或 研考点·通技法 1. 坐标化圆的条件 设圆心O(m,n)，半径r，圆上点P(x,y)满足(x-m)2+(y-n)2=r2。将几何条件（如相切、弦长）转化为代数方程，与二次函数联立。 2. 利用相切与交点 圆与抛物线相切时，联立方程组的判别式△=0，且切点坐标满足两者解析式。利用圆心到切线距离等于半径，结合点线距离公式求参数。 3. 分类讨论位置关系 根据圆与抛物线的交点个数（0,1,2）分情况讨论。考虑圆心在抛物线对称轴上等特殊情形，利用韦达定理、中点坐标公式求弦长或圆心坐标。解出后验证点是否同时在圆和抛物线上，并检查范围。 破类题·提能力 1．（2026·浙江温州·一模）综合与实践 【探索发现】小温在探索“圆与相似三角形”相关知识时发现如下结论：如图1，在圆中，若弦与交于点，则有． (1)【猜想验证】请证明上述结论． (2)【实践应用】如图2，若，则的坐标为___________． (3)【综合拓展】如图3，已知二次函数的图象与轴交于两点（在轴左侧，在轴右侧），与轴负半轴交于点．经过三点的圆与轴正半轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合圆周角定理，证明∽即可； （2）根据求值即可； （3）根据，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵，， ∴∽， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，， ∵， 即， 当时，由韦达定理可得，， ， 则． 2．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点是抛物线上一动点 ①当时，则点的坐标为______． ②当时，试求点的坐标． (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；或 (3)最小值为 【分析】（1）由，，求得点坐标为，代入，解方程组即可求解； （2）①连接，作交于点，作轴于点，证明，得，，进而可得，设直线为，代入，求得，联立得，解之得答案；②过点作直线，由，得出点是直线与抛物线的交点，设直线的解析式为，将，代入得直线的解析式为，进而得直线的解析式为，联立方程，解之得解； （3）取，连接，，由，，，，可证明，得，即，由，，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：，， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得，； （2）解：①如图，，连接，作交于点，作轴于点， ，，， ， ， ， ， ，， ，， 时，， ，，     ，，， ， 设直线为， 代入，得，， 解得， ， 联立，， 得， 解得或（舍去）， ； ②过点作直线， ， 点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立方程， 解得，或， 或； （3）解：如图，取，连接，， 则，，， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将一次函数与反比例函数的交点横坐标代入一次函数中，解出点的纵坐标，再将点的坐标代入到反比例函数中求解． （2）联立一次函数和反比例函数的解析式，解出B点坐标．利用方程思想，设出点坐标，利用求出答案． 【详解】（1）解：将点代入，得， ． 将点代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：联立方程组，解得或， ∴， 在中，令，解得， ∴． 设，如图， ∵， 即， ， ∴或， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及平面直角坐标系求面积问题，解题关键点交点的坐标是联立两个函数解出的解；平面直角坐标系中求图形的面积时要和点的坐标建立联系，结合方程思想解题． 2．（2026·江西宜春·一模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上； 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）如图，过点D作，过点C作，根据菱形的性质和已知点坐标利用勾股定理求出，证明，得出，即可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，则，，验证即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作，过点C作， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ， ∴点在反比例函数的图象上． 3．（2026·四川内江·一模）如图，抛物线交轴于，，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若在线段上有点D，使得以点O、A、D为顶点的三角形与相似，求线段的长； (3)如图2，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，可知只存在和这两种情况，据此利用相似三角形的性质讨论求解即可； （3）求出直线的解析式为；证明，可推出；设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴只存在和这两种情况， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 4．（2022·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 5．（2025·广东清远·二模）在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． (1)如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． (2)如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)①四边形是正方形，理由见解析  ②是定值 (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形和圆的基本知识； （1）①先证明四边形是矩形，又，故四边形是正方形； ②设点的坐标为，则，即a为定值，求出直线l的解析式，即可求出，的长，然后代入计算解题即可； （2）证明为等边三角形，再求点的坐标，进而求出点、、的坐标，依次求出二次函数、直线、直线的表达式，联立直线和二次函数的解析式求出交点坐标即可求解． 【详解】（1）①解：四边形是正方形，证明如下： ∵分别与两坐标轴相切， ， ， 又∵， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； ②解：设点的坐标为， ∴，即a为定值， 设直线l的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线l的解析式为， 当时，，令，则， ∴，， ∴为定值； （2）解：连接， 过点作于， ∵四边形为菱形， (半径)， 为等边三角形， 在中， ， ∴代入 解之得：(负值舍去)， 则 ∵四边形是矩形， ∴ ， ； 设二次函数解析式为：过点， 解得， ∴二次函数解析式为：； 设直线的解析式为： 据题意得：，解得： ， ∴直线的解析式为 过点作直线，则可得直线的解析式为， 解方程组： 解得 或 ， 过点作直线，则可设直线的解析式为：， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 解方程组： ，解得 或 ， 综上可知，满足条件的的坐标有四个，分别为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $