专项13 圆中的证明与计算6大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项13 圆中的证明与计算 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年全国中考，圆是必考核心板块，分值约10-15分。选择题、填空题重点考查垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积；解答题常围绕切线的判定与性质、圆内接四边形、与相似三角形及锐角三角函数的综合命题。部分考区将圆作为几何压轴题，融合动点、最值、作图等创新题型。 ## 全国2026年命题趋势分析 2026年全国中考圆板块命题将呈现三大趋势： 一是圆作为几何压轴载体地位强化。教研专家指出，几何综合题尤其是以“圆”为载体的综合题需重点关注，圆与相似三角形、锐角三角函数、平行四边形等知识的深度融合将成为中档题及压轴题的主流。 二是“作图+证明”综合题型升温。无刻度直尺在圆中作图、格点背景下构造圆与切线等问题逐渐成为考查热点，要求学生理解作图背后的几何原理。 三是情境化与跨学科融合增强。圆与物理光学、工程测量（如筒车、拱桥、齿轮传动）等实际情境结合，考查数学建模能力；动点与轨迹问题、最值问题的综合也将持续出现在压轴位置。 ## 全国2026年预测 2026年中考，圆的切线与圆周角综合题仍是解答题热点，需熟练掌握“连半径、作垂直、构造直角三角形”的辅助线技巧。垂径定理与勾股定理结合的弦长计算必考。弧长、扇形面积以小题稳定呈现。圆与相似三角形、三角函数的融合题难度较大，可能作为压轴题。备考应强化模型识别与分类讨论能力。 题型01 利用圆的性质计算 析典例·建模型 1．（2026·安徽·二模）如图，，为的直径，为上与，，，均不重合的点，于点，于点，．连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的大小； (2)如图2，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，证明，得，再证明，即可得出结论； （2）延长，与分别交于点，，连接，，．得，由勾股定理求出，证明为的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，， 因为， 所以， 从而， 而， 所以，， 所以为的中点， 又， 所以是线段的垂直平分线， 所以，， 故， 又是直径， 所以， 又已知， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 所以． （2）解：如图，延长，，分别交于点，，连接，，． 因为， 所以， 而， 所以． 因为， 所以为的中点， 同理为的中点， 所以为的中位线， 故． 研考点·通技法 1. 活用垂径定理 过圆心作弦的垂线，得弦中点与弧中点。设半径R、弦心距d、半弦长a，有R2 = d2+ a2。已知其中两个量可求第三个。 2. 圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角为90°。通过导角构造直角三角形，使用三角函数或勾股定理解边长。 3. 切线性质应用 切线与过切点的半径垂直。已知切线长t、半径r，则圆心到切线点的距离为 。利用切线长定理将等线段转化，列方程求未知量，注意检验点是否在圆上。 破类题·提能力 1．（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案； （2）证明，得到，求出，，即可求得答案． 【详解】（1）解：点为的中点， ，， 设，则， ， ， 解得， 的半径为； （2）解：如图，由（1）得，，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， , ． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊角锐角函数值可得，即可求解； （2）连接，当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．求出，再根据弧长公式，即可求解； （3）当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为为中点，根据三角形中位线定理可得，可证明为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴； （2）解：连接， 当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O． ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴圆的半径为3， ∴的长； （3）解：当点G为中点时，面积最大， 连接交于点H，则，且点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴面积最大值． 题型02 圆中的证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接， 根据是的切线，得出，根据是劣弧的中点，得出，证明， 结合，即可证； （2）连接，交于点， 证明四边形是矩形，得出，证明， 求出，在中，勾股定理求出 ，则，根据垂径定理，得出，最后在中，根据勾股定理求解即可 ； 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， 是劣弧的中点， ， ∴， 又， ， ， ， ∵， ∴； （2）解：连接，交于点， 是的直径， ，即， 又，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ， 即， ∴， 在中： ， ∴， ∵，， ∴， ∴根据垂径定理，是中点， ， 在中： ． 研考点·通技法 1. 利用垂径定理 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程。常用于已知半径、弦心距、半弦长中任意两个量时求第三个量，或证弧相等（垂径平分弧）。 2. 圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角相等（转移角），直径对直角（得垂直、勾股）。通过导角证等腰三角形或相似三角形，利用比例式求线段长。 3. 隐圆与四点共圆 若证角等或边关系，可寻找隐圆（共斜边的直角三角形、对角互补四边形）。证出四点共圆后，使用圆内接四边形外角等于内对角等性质，将角度关系转化到圆中三角形上，再列方程计算。 破类题·提能力 1．（2026·安徽滁州·一模）如图，四边形的边为半圆的直径，，两点均在半圆上，连接，，已知，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角定理，勾股定理等知识点． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据圆周角定理得到，以及根据三角形外角定理，得证，得证，继而证明． （2）连接交于点，根据垂径定理得到垂直平分，进而得到和的长度，进而根据勾股定理得到以及的长度，再根据勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，连接交于点， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，． 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点在上，点是半径上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点．过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的半径； ②如果点在的延长线上，其它条件不变，则的半径为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据切线的性质以及得出，根据，即可得出，再根据等角对等边，即可得证； （2）①连接交于点，设，则，得出，根据表示出，再根据得出，证明，可得，即可得出； ②根据①的方法求解，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点， ∵，， 设，则， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ②如图，当在的延长线上时，连接交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵为直径， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵，则， 即的半径为． 题型03 圆中的切线证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·辽宁·模拟预测）等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 研考点·通技法 1. 切线证明的常用方法 - 连半径，证垂直：若直线过圆上一点，连接该点与圆心，证明半径与直线垂直（利用勾股逆定理、直径对直角、全等三角形等导角）。 - 作垂直，证半径：若直线与圆无已知交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 2. 利用切线性质计算 - 切线与过切点的半径垂直，构造直角三角形，结合勾股定理或三角函数求边长。 - 切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，常用于等线段转化。 3. 综合应用列方程 结合切线性质、垂径定理、圆周角定理等，设未知数表示相关线段，利用相似三角形或勾股定理列出方程求解，最后检验解的合理性（如线段长度为正）。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃白银·二模）如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论． （2）根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ， ， 设半圆的半径为， 解得（负值不合题意，舍去）， 阴影部分的面积． 2．（2026·四川宜宾·二模）如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，由可知，点为的中点，根据垂径定理的推论可知，结合可得，，因此命题得证； （2）由可得，由圆周角定理可得，，从而证明，则，结合即可证明命题； （3）容易证明，则．设，则，由勾股定理可得，从而求出，，在中，使用勾股定理构造方程，求出，进而得到，，，．先利用（2）的结论计算出，再使用勾股定理计算出，最后作差求出． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点， ∵， ∴，即点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，，，， 由（2）可知，， ∴， 在中，， ∴． 题型04 圆中的尺规作图与证明计算 析典例·建模型 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可； （2）根据弧长公式即可； 【详解】（1）解：如图，以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可． 证明：连接，， 根据题意可得， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：根据（1）可得， ∵的半径为5， ∴的长． 研考点·通技法 1. 掌握基本作图 熟悉作弦的垂直平分线（找圆心）、作切线（连接半径、作垂线）、作等弧（等分圆周）等尺规作图方法。明确作图痕迹与圆中半径、弦、弧的对应关系。 2. 由作图导条件 根据作图结果（如垂直、中点、等角），结合圆的性质（垂径定理、圆心角定理）推出边等、角等或平行关系，用于证明三角形全等或相似。 3. 列方程计算 设未知数（如半径R、弦长一半a），利用作图产生的线段长度或角度关系（如勾股定理、切线长定理）列方程。注意作图可能产生多解（如圆内与圆外），需分类讨论并验证。 破类题·提能力 1．（2026·山西阳泉·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，连接，． (1)尺规作图：过点作射线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的步骤进行作图； （2）连接，根据切线的性质以及垂直的定义得出平行线，然后利用等边对等角和平行线的性质求解． 【详解】（1）解： 即为所求作的射线； （2）解：，理由如下， 如图所示，连接， 与相切于点， ， 又， ． ， ． ， ， ． 2．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点M，连接，并延长交于点E，即可； （3）设与交点为点M．根据，可得，由①知：，可得，即可求解． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ， ，， ， ； （2）解：如图所示，点E即为所求； （3）解：设与交点为点M． ， ， 又由①知：， ， 的半径为4， 直径， ， 的长为． 题型05 圆中的新定义型综合问题 析典例·建模型 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)如图②，若，以为直径作． ①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； ②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①是的切线，理由见解析；② 【分析】（）连接，由切线长定理可得，，，再证明，可得，即得，进而可得，得到，即可求证； （）①证明四边形是矩形，可得，即得，即可求证；②连接，由切线的性质得，由可得，即得，进而得到，可得，再根据得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内切圆，切点分别记为，，， ∴，，，，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①是的切线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②连接， ∵是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 理解新定义 将新定义中的概念（如“关联点”“和谐弦”“倍角弧”）转化为圆中的几何关系。例如“到圆心距离等于半径倍的点”即圆与圆的位置关系；“弦上有点满足某角”可联想圆周角或圆心角。 2. 结合圆的性质 利用圆心角、圆周角、垂径定理、切线性质等将定义翻译成具体的边角或数量关系。若定义涉及“定点与动点”，可构造隐圆或使用轨迹思想。 3. 分类讨论与方程 根据定义中顶点的对应关系或点的可能位置（如在弧上、弦上、圆内、圆外）分情况讨论。设未知数表示角度或长度，用勾股定理、相似或三角函数列方程，解后验证是否满足定义中的限制条件。 破类题·提能力 1．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 2．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2 【分析】（1）连接，记交于点K，在上取点Q，使得，可知矩形是正方形，为等边三角形，求出，则，设，则，，故，即可证明； （2）当时，则，则正边形中心角为，而中心角与外角相等，故外角，故每一个内角为钝角，画出正边形的局部，设内角，外角，则，故，设正边形的半径为，由题意得：，过点A作，，解直角三角形得，则，，故，化简得：，故，当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式； （3）连接，过点作于点，由旋转得，，设，则以线段为边的正多边形边数为，故以线段为边的正多边形同中心点C，同边数，因此以线段为边的正多边形是双同正多边形，可证明，则，设，由勾股定理得，，则，故，因此双同正多边形的边数为，则该正多边形为正六边形，故特征值为：． 【详解】（1）解：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 题型06 圆与函数的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 【答案】(1)①，；②或； (2)或，的最大值为 【分析】本题主要考察图形的旋转性质与点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系： 1．旋转的本质：线段绕点逆时针旋转得到．因为，故的长度恒为1， 2．“旋转线段”的判定：线段是点的旋转线段，等价于旋转后的线段与定圆（圆心，半径）有公共点． 问题转化：第（1）问：已知旋转后的位置，反推原线段的参数． 第（2）问：线段平行于轴且中点轨迹已知，转化为在直线上滑动．通过计算与圆相交的临界位置，确定参数的范围． 距离计算：利用勾股定理计算和，并根据的不同取值范围讨论（较小值）的最大值． 【详解】（1）解：如图， 线段：端点和旋转后得、， ∵线段，故点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，∴点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，， ∴线段上的点到圆心的距离最小值为2，线段在圆外，线段不是点的旋转线段． ②∵，，， ∴， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， ∴线段所在直线方程为， 如图： 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 结合图形可知： 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． （2）解：∵，线段平行于轴，中点为， 设点在点的左侧，则，， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， 如图： ∴在直线上， 当在圆上时，，即，解得：，， 当在圆上时，，即，解得：，， 由图可知，当增大时，沿竖直方向向上平移， 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． ∵，， ①当时，，，即点在直线下方，点在直线上方，如图： 当垂直平分时，，取最大值为（或）， ∴，解得：， ， ②当时，，，即点、都在直线上方，如图： 此时， 当时，取最大值，最大为，即， ∵ ∴的最大值． 研考点·通技法 1. 坐标化几何条件 设圆心坐标O(m,n)，半径r，圆上点P(x,y)满足(x-m)2+(y-n)2=r2。将几何条件（如相切、弦长）转化为代数方程，与函数解析式联立。 2. 利用垂直与距离 直线与圆相切等价于圆心到直线距离等于半径，相交弦中点满足垂径定理（斜率积为-1）。利用点到直线距离公式、两点间距离公式结合待定系数法求参数。 3. 数形结合找范围 根据图形位置（如圆在直线上方）列出不等式组。联立方程后，利用判别式判断交点个数，根据函数增减性和圆的范围确定参数临界值。注意圆与坐标轴交点可能产生多解，需通过图像验证。 破类题·提能力 1．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）以的中点为圆心，以为直径，作，当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的关联点在圆上（不包括点），故可以推导出弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），设的中点为，只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件，即可判断； （2）以为底边，构造等腰三角形，使得，分别以为圆心，以长为半径画圆，先判断出弦的关联点的轨迹是和优弧（除外），以为底边，画等腰三角形，使得，再分别以点为圆心，以长为半径画圆，当的长度从0到2变动时，可知弦的关联点的轨迹在上以及内部（弦除外），那么只要与阴影部分有交点，即可满足题意，从而推出当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值，接着求得答案； （3）以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点，那么∴，，，，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，以的中点为圆心，以为直径，作， 当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的的关联点在圆上（不包括点）， ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在变动时，弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），如下图阴影部分所示，设的中点为： ∴只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴只有落在上，均在外部， ∴点是弦的关联点，且该点与弦的关联值为； （2）解：当时，，将代入，得，令，过点作轴的垂线交轴于点，如图 ∴， ∴， ∴， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A， ∴， 连接， ∵弦的长为2，的半径为2， ∴， ∴为等边三角形， ∴点可能在第一，或者第四象限， 如下图： 以为底边，构造顶角的等腰三角形，即 ，再分别以为圆心，以长为半径画圆，如图所示： ∵当在或的优弧时（不包括），都有， ∴或优弧上的点（不包括）都是弦的关联点， 以为底边，画顶角为的等腰三角形，即，分别以点为圆心，以长为半径画圆： ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在0到2变动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点， ∴弦的关联点的轨迹在上以及内部（包括边界，弦除外），如上图阴影部分所示， ∵直线上存在弦的关联点， ∴只要与阴影部分有交点，即可满足题意， ∴当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值， 如图，当与相切于，作于，连接，延长交于点，设交轴于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴在上， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 不妨设， ∴， ∵与相切于点， ∴，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 同理可求得，当与相切时，； 故； （3）解：以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，如下图所示： ∴在优弧上所有的点（除外）都满足， 当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，即上图中阴影部分（不包含线段），当点与重合时，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴ ，即， 又， 故． 2．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①见解析；② (2)；； (3)或 【分析】（1）①根据新定义，结合平移的性质，得出，描点，即可求解； ②根据新定义确定平移方式，即可求解； 设，根据新定义得，即可求解； （2）根据题意得出点在以为圆心半径为1的圆上，求得，再根据一点到圆上的距离的最值问题，即可求解； （3）根据新定义得出点是以为圆心，为半径的圆上运动，进而结合图形分析两圆相切或相交时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∵， ∴， ∴， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到 ②依题意，点是点的“对应点”， ∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位 设， ∴，解得： ∴ （2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”， 将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∴点在以为圆心半径为1的圆上 ∴ ∴线段的最小值是；最大值为； （3）解：点，时，是以线段为半径的上一点， ∴ ∵点是点的“对应点”， ∴ 如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动， 依题意，点是沿方向平移得到的，则 若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交， 当两圆相切时， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：或 当点在的左侧时， 如图，当点在的右侧时， 综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·安徽池州·二模）如图，在中，点D在上，连接，以为直径作，经过点A，与交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据圆周角定理，直角三角形的性质，求解即可； （2）连接，证明，再利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：∵以为直径作，经过点A， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵，，，， ∴，． ∵是直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴． ∵在中，， ∴， 解得（舍），． ∴． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）设，半径为，则，，在中，勾股定理求出，再利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线 （2）解：设，半径为，则，， 在中，， ， ， ， 在中，， . 3．（2026·甘肃酒泉·二模）在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2)圆片的半径是 【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，即为所求； （2）连接交于点D，连接，，则有，，再利用勾股定理构造方程求半径R即可． 【详解】（1）如图，点O即为所求．    （2）连接交于点D，连接，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴圆片的半径是． 4．（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）利用两角对应相等证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例进行推导证明； （2）以为直径作，若，则，可得，则点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，由为锐角，可知点在外部，据此作图即可； （3）先通过两角对应相等证明三角形相似，推导出点的轨迹，再根据点的运动轨迹和在线段上的条件，找到临界位置计算出的最小值，从而确定其取值范围． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即． （2）解：如图为． 作的垂直平分线，交于点，以长为半径作； 过点作的垂线，交于点； 以点为圆心，长为半径作弧，在外部的弧上取一点为，连接，，即为所求． （3）解：如图，作的外接圆，以点为圆心，长为半径作圆，两圆交点为，连接，， ，， ， ， ， ，为定值，则也为定值， 点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆， ，且点在上， 点的运动轨迹为， 当点与点重合时，取得最小值，此时， ， 设，，则， ， ，， 在中，， ， ， 故的取值范围为． 5．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题是圆和三角形综合题，考查了扇形面积和弧长公式，勾股定理应用，解三角形，等腰三角形性质，平行线分线段成比例等知识点． （1）根据的长与的长相等和扇形弧长公式，求出，再利用扇形面积公式求解． （2）①记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接，关键是表示出各边的长，再利用勾股定理求解；②记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H，这样就构造出等腰直角三角形和直角三角形，解三角形可求得，再利用等腰三角形求出，根据平行线分线段成比例知． 【详解】（1）解：由题可知， ， ， ， ， ， 解得，故， ∴ ． （2）①如图，记O的对称点为，与交点为P，延长交于Q，连接， 由对称性可知P是中点，由是等腰直角三角形，， 且， 再由对称性可知， 同样是等腰直角三角形，，， ， ， Q是中点也是中点， 由已知得， ， ， 且， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得或， 由题可知， 故 ． ②如图，记O的对称点为，与交点为G，连接，，作于H， 由于所在的圆与所在的圆内切于点F， ， 由①知， ， ， ， ， ， ，再由知是等腰直角三角形， ， ， ， ， 由是等腰三角形， ， ． 7．（2026·河北石家庄·一模）如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． (1)______，______，求图1中阴影部分的面积； (2)如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； (3)如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 【答案】(1)，8， (2) (3)或 【分析】（1）先求出，由含角的直角三角形及勾股定理可得出，的长；连接，作于E，由即可求图1中阴影部分的面积； （2）作交于F， 由（1）和平移可知，，．则，由四边形是矩形，可得．即半圆O平移的距离为． （3）①在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小．当时，过点C作于点G，连接．可得，．当时，设垂足为H，则，．可得，，则，此时．可得．当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ②当半圆经过点M时，过点M作于点N．得出，．由勾股定理可得． 可得，则．由圆周角定理得．可得，则．所以．当直径过点M时，，可得的取值范围． 【详解】（1）解：，， ． ， ． ． 连接，作于点E 为直径，O为圆心， ． ． ， ，． ． ， ． ． （2）解：作交于点F， ． 由（1）知，． 半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆． ，，． ， ． 四边形是矩形． ． 即半圆O平移的距离为． （3）解： 在旋转过程中，点到直线的距离先越来越小，再越来越大(当时，点到的距离最大)，再越来越小． 当时，过点C作于点G，连接． 由（2）知，四边形是矩形． ，，． ． ，． 当时，设垂足为H ，． ， 此时 ， 当点到直线AC的距离最大时，的值为或． ． 当半圆经过点M时，过点M作于点N． 在中，，． ，． 在中，． ． ． 为直径， ． ． ． 当直径过点M时 ． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形两锐角互余、求扇形的面积、圆的性质、矩形的判定和性质． 8．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，30；② (2)或 【分析】（1）①过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段，利用勾股定理解得，由切线的性质可得，进而解得的长度，并利用三角函数解得的值，即可获得答案； ②如下图，设线段与轴交于点，根据关联线段的定义可得，过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，进而确定点坐标；利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与直线解析式，求解即可获得答案； （2）设直线上一点，根据关联角的定义，点关于的关联角度满足，要使最大，则最大，此时最小，当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离，结合易得，再分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段， ∵， ∴， ∵为的切线，且， ∴， ∴，即点A关于的关联线段的长为， 又∵， ∴， ∴点A关于的关联角度为； ②如下图，设线段与轴交于点， ∵线段是点D关于的关联线段， ∴直线是切线，即， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与直线解析式， 可得，解得， ∴点D的坐标为； （2）设直线上任一点， 根据关联角的定义，点关于的关联角度满足， 要使最大，则最大，此时最小， 当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离， ∴的最大值为， ∵， ∴，即， 解得， 设直线分别交轴于点，如下图， 对于直线， 当时，， 当时，可得，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点右侧时，如图， 此时，， 则， 即，可得， 解得； 当点在点左侧时，如下图， 此时，， 则， 即，可得， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项13 圆中的证明与计算 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年全国中考，圆是必考核心板块，分值约10-15分。选择题、填空题重点考查垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积；解答题常围绕切线的判定与性质、圆内接四边形、与相似三角形及锐角三角函数的综合命题。部分考区将圆作为几何压轴题，融合动点、最值、作图等创新题型。 ## 全国2026年命题趋势分析 2026年全国中考圆板块命题将呈现三大趋势： 一是圆作为几何压轴载体地位强化。教研专家指出，几何综合题尤其是以“圆”为载体的综合题需重点关注，圆与相似三角形、锐角三角函数、平行四边形等知识的深度融合将成为中档题及压轴题的主流。 二是“作图+证明”综合题型升温。无刻度直尺在圆中作图、格点背景下构造圆与切线等问题逐渐成为考查热点，要求学生理解作图背后的几何原理。 三是情境化与跨学科融合增强。圆与物理光学、工程测量（如筒车、拱桥、齿轮传动）等实际情境结合，考查数学建模能力；动点与轨迹问题、最值问题的综合也将持续出现在压轴位置。 ## 全国2026年预测 2026年中考，圆的切线与圆周角综合题仍是解答题热点，需熟练掌握“连半径、作垂直、构造直角三角形”的辅助线技巧。垂径定理与勾股定理结合的弦长计算必考。弧长、扇形面积以小题稳定呈现。圆与相似三角形、三角函数的融合题难度较大，可能作为压轴题。备考应强化模型识别与分类讨论能力。 题型01 利用圆的性质计算 析典例·建模型 1．（2026·安徽·二模）如图，，为的直径，为上与，，，均不重合的点，于点，于点，．连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的大小； (2)如图2，若，求线段的长． 研考点·通技法 1. 活用垂径定理 过圆心作弦的垂线，得弦中点与弧中点。设半径R、弦心距d、半弦长a，有R2 = d2+ a2。已知其中两个量可求第三个。 2. 圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角为90°。通过导角构造直角三角形，使用三角函数或勾股定理解边长。 3. 切线性质应用 切线与过切点的半径垂直。已知切线长t、半径r，则圆心到切线点的距离为 。利用切线长定理将等线段转化，列方程求未知量，注意检验点是否在圆上。 破类题·提能力 1．（2026·上海崇明·二模）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 题型02 圆中的证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，C为圆弧上一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线交射线于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 研考点·通技法 1. 利用垂径定理 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理建立方程。常用于已知半径、弦心距、半弦长中任意两个量时求第三个量，或证弧相等（垂径平分弧）。 2. 圆周角与圆心角互化 同弧所对圆周角相等（转移角），直径对直角（得垂直、勾股）。通过导角证等腰三角形或相似三角形，利用比例式求线段长。 3. 隐圆与四点共圆 若证角等或边关系，可寻找隐圆（共斜边的直角三角形、对角互补四边形）。证出四点共圆后，使用圆内接四边形外角等于内对角等性质，将角度关系转化到圆中三角形上，再列方程计算。 破类题·提能力 1．（2026·安徽滁州·一模）如图，四边形的边为半圆的直径，，两点均在半圆上，连接，，已知，平分交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点在上，点是半径上一点，且满足，过点作的垂线交的延长线于点．过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)已知． ①求的半径； ②如果点在的延长线上，其它条件不变，则的半径为__________． 题型03 圆中的切线证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·辽宁·模拟预测）等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 研考点·通技法 1. 切线证明的常用方法 - 连半径，证垂直：若直线过圆上一点，连接该点与圆心，证明半径与直线垂直（利用勾股逆定理、直径对直角、全等三角形等导角）。 - 作垂直，证半径：若直线与圆无已知交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 2. 利用切线性质计算 - 切线与过切点的半径垂直，构造直角三角形，结合勾股定理或三角函数求边长。 - 切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等，常用于等线段转化。 3. 综合应用列方程 结合切线性质、垂径定理、圆周角定理等，设未知数表示相关线段，利用相似三角形或勾股定理列出方程求解，最后检验解的合理性（如线段长度为正）。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃白银·二模）如图，在中，，，是边上一点，以为直径作半圆，与交于的中点，连接． (1)求证：是半圆的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 2．（2026·四川宜宾·二模）如图，四边形内接于，连接、交于点，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，，求的长． 题型04 圆中的尺规作图与证明计算 析典例·建模型 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 研考点·通技法 1. 掌握基本作图 熟悉作弦的垂直平分线（找圆心）、作切线（连接半径、作垂线）、作等弧（等分圆周）等尺规作图方法。明确作图痕迹与圆中半径、弦、弧的对应关系。 2. 由作图导条件 根据作图结果（如垂直、中点、等角），结合圆的性质（垂径定理、圆心角定理）推出边等、角等或平行关系，用于证明三角形全等或相似。 3. 列方程计算 设未知数（如半径R、弦长一半a），利用作图产生的线段长度或角度关系（如勾股定理、切线长定理）列方程。注意作图可能产生多解（如圆内与圆外），需分类讨论并验证。 破类题·提能力 1．（2026·山西阳泉·一模）如图，为的直径，直线与相切于点，连接，． (1)尺规作图：过点作射线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，判断与的数量关系，并说明理由． 2．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，． (1)求的度数． (2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长． 题型05 圆中的新定义型综合问题 析典例·建模型 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）我们定义：如图①，在平行四边形中，对角线与相交于点，是的内切圆，切点分别记为，，，平行四边形的形状随着圆心角的变化而变化，则称是平行四边形的一个“增值圆”．根据该定义，解答下列问题． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)如图②，若，以为直径作． ①是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； ②如图③，过点作的切线，切点为，直线交于点，交于点，若，，求的长． 研考点·通技法 1. 理解新定义 将新定义中的概念（如“关联点”“和谐弦”“倍角弧”）转化为圆中的几何关系。例如“到圆心距离等于半径倍的点”即圆与圆的位置关系；“弦上有点满足某角”可联想圆周角或圆心角。 2. 结合圆的性质 利用圆心角、圆周角、垂径定理、切线性质等将定义翻译成具体的边角或数量关系。若定义涉及“定点与动点”，可构造隐圆或使用轨迹思想。 3. 分类讨论与方程 根据定义中顶点的对应关系或点的可能位置（如在弧上、弦上、圆内、圆外）分情况讨论。设未知数表示角度或长度，用勾股定理、相似或三角函数列方程，解后验证是否满足定义中的限制条件。 破类题·提能力 1．（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 2．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 题型06 圆与函数的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 研考点·通技法 1. 坐标化几何条件 设圆心坐标O(m,n)，半径r，圆上点P(x,y)满足(x-m)2+(y-n)2=r2。将几何条件（如相切、弦长）转化为代数方程，与函数解析式联立。 2. 利用垂直与距离 直线与圆相切等价于圆心到直线距离等于半径，相交弦中点满足垂径定理（斜率积为-1）。利用点到直线距离公式、两点间距离公式结合待定系数法求参数。 3. 数形结合找范围 根据图形位置（如圆在直线上方）列出不等式组。联立方程后，利用判别式判断交点个数，根据函数增减性和圆的范围确定参数临界值。注意圆与坐标轴交点可能产生多解，需通过图像验证。 破类题·提能力 1．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围． 2．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·安徽池州·二模）如图，在中，点D在上，连接，以为直径作，经过点A，与交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 2．（2026·辽宁铁岭·三模）如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若点是的中点，求的值． 3．（2026·甘肃酒泉·二模）在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 4．（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 5．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 6．（2026·上海普陀·二模）扇形与扇形组成一个如图1的图形，其中扇形的圆心角等于，点C、D分别在半径、上，分别记扇形、扇形的圆心角所对的弧为与，半径长分别为R与r． (1)已知的长与的长相等，，求这个图形的面积S（结果保留）； (2)连接 ，作关于直线的对称图形． ①连接，如果与交于点M、N（点M在点N的左侧），且，求R与r之间的数量关系； ②如果所在的圆与所在的圆内切于点F（如图2所示），点P是上一点，连接并延长交于点Q，当时，求的度数． 7．（2026·河北石家庄·一模）如图1，在中，，，，以为直径向左侧作半圆O，交斜边于点D． (1)______，______，求图1中阴影部分的面积； (2)如图2，将半圆O（包含直径）沿着射线方向平移得到半圆，直径记作，当半圆和直线相切时，求半圆O平移的距离； (3)如图3，在（2）的条件下将半圆绕着点逆时针旋转得到半圆，直径记作，设旋转角度为（）． ①当点到直线AC的距离最大时，求的值； ②如图4，记半圆和直径构成的封闭图形为W，斜边的中点为M，当点M落在封闭图形W内（不包括边界），直接写出的取值范围．（参考数据：，） 8．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $