2025--2026学年浙教版九年级下册数学素养大赛适应性考试3

**基本信息** 聚焦初中数学竞赛核心能力，通过代数几何综合题考查抽象能力、推理能力与创新意识，适配素养大赛适应性训练需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|非负数性质、二次函数与三角形判定、矩形几何计算、反比例函数与面积|如第2题结合抛物线交点与三角形判定，考查推理能力| |填空题|4|方程求解、抛物线与等边三角形、等腰直角三角形计算|第10题抛物线顶点与等边三角形结合，体现几何直观| |解答题|3|正三角形内切圆最值、二次函数综合、理想四边形探究|第15题定义"理想四边形"，创新情境考查模型意识与空间观念|

素养大赛适应性考试3 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C D A A 一．选择题（共8小题） 1．已知非负数x，y，z满足，设W＝3x﹣2y+z，则W的最大值与最小值的和为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【答案】C 【分析】首先设＝＝＝k，求得x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5，又由x，y，z均为非负实数，即可求得k的取值范围，则可求得W的取值范围． 【解答】解：设＝＝＝k， 则x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5， ∵x，y，z均为非负实数， ∴， 解得≤k≤， 于是W＝3x﹣2y+z＝3（﹣2k+3）﹣2（3k﹣2）+（4k﹣5）＝﹣8k+8， ∴﹣8×+8≤﹣8k+8≤﹣8×+8， 即﹣4≤W≤﹣2． ∴W的最大值是﹣2，最小值是﹣4， ∴W的最大值与最小值的和为﹣6， 故选：C． 【点评】此题考查了最值问题．解此题的关键是设比例式：＝＝＝k，根据已知求得k的取值范围．此题难度适中，注意仔细分析求解． 2．两抛物线y＝x2+2ax+b2和y＝x2+2cx﹣b2与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由于两抛物线y＝x2+2ax+b2和y＝x2+2cx﹣b2与x轴交于同一点（非原点），可以设两抛物线交于x轴（x0，0）（x0≠0），然后分别代入函数的解析式即可得到，①+②，①﹣②即可得到a、b、c的关系，由此即可解决问题． 【解答】解：设两抛物线交于x轴（x0，0）（x0≠0）， 则有：， ①+②得2x02+2（a+c）x0＝0， ∵x0≠0， ∴x0＝﹣（a+c）． ①﹣②得2（a﹣c）x0+2b2＝0， ∴， ∴， 即a2＝b2+c2， 所以为直角三角形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据两个抛物线交于x轴同一点得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB＝2，BF＝1，则四边形BFGE的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点M作MH⊥AB，垂足为H，根据线段中点的定义可得DC＝2MC，根据矩形的性质可得∠B＝∠C＝90°，AB＝DC＝2MC，从而可得四边形MHBC是矩形，进而可得AB＝2MH，再根据同角的余角相等可得∠GAE＝∠HME，从而证明△ABF∽△MHE，然后利用相似三角形的性质可求出HE的长，从而求出BH，AB的长，再在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AF的长，最后证明△AGE∽△ABF，从而利用相似三角形的性质求出AG，GE的长，进而根据四边形BFGE的面积＝△ABF的面积﹣△AGE的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点M作MH⊥AB，垂足为H， ∴∠MHB＝90°， ∵点M是CD边的中点， ∴DC＝2MC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC＝2MC， ∴四边形MHBC是矩形， ∴MH＝BC，MC＝BH， ∵AB＝2BC， ∴AB＝2MH， ∵AF⊥ME， ∴∠AGE＝90°， ∴∠GAE+∠AEG＝90°， ∵∠AEG+∠HME＝90°， ∴∠GAE＝∠HME， ∵∠MHE＝∠B＝90°， ∴△ABF∽△MHE， ∴＝， ∴＝， ∴HE＝， ∵BE＝2， ∴MC＝BH＝HE+BE＝2.5， ∴AB＝2BH＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3， ∴AF＝＝＝， ∵∠AGE＝∠B＝90°，∠GAE＝∠BAF， ∴△AGE∽△ABF， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴AG＝，GE＝， ∴四边形BFGE的面积＝△ABF的面积﹣△AGE的面积 ＝AB•BF﹣AG•GE ＝×5×1﹣×× ＝， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．如图，已知反比例函数y＝的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD、OC，若△ABO的周长为4+2，AD＝2，则△ACO的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】在直角三角形AOB中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB＝x，表示出OA，利用勾股定理求出AB与OA的长，过D作DE垂直于x轴，得到E为OA中点，求出OE的长，在直角三角形DOE中，利用勾股定理求出DE的长，利用反比例函数k的几何意义求出k的值，确定出三角形AOC面积即可． 【解答】解：在Rt△AOB中，AD＝2，AD为斜边OB的中线， ∴OB＝2AD＝4， 由周长为4+2，得到AB+AO＝2， 设AB＝x，则AO＝2﹣x， 根据勾股定理得：AB2+OA2＝OB2，即x2+（2﹣x）2＝42， 整理得：x2﹣2x+2＝0， 解得x1＝+，x2＝﹣， ∴AB＝+，OA＝﹣， 过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点， ∴OE＝OA＝（﹣）（假设OA＝+，若OA＝﹣，求出结果相同）， 在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE＝＝（+）， ∴k＝﹣DE•OE＝﹣（+）×（﹣）＝﹣， ∴S△AOC＝DE•OE＝×＝， 故选：A． 【点评】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键． 5．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）＝1（a＞0）的两个实根，则（　　） A．x1＜﹣1＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜2＜x2 C．x1＜﹣1＜2＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜2 【答案】C 【分析】根据题意，可以设y＝a（x+1）（x﹣2）＝1（a＞0），即可得到y＝0时对应的x的值，再根据二次函数的性质，即可得到x1和x2的取值范围． 【解答】解：设y＝a（x+1）（x﹣2）＝1（a＞0）， 则当y＝0时，x＝﹣1或x＝2，该函数图象开口向上， ∴当y＝1时，对应的x的值为x1和x2， ∴x1＜﹣1＜2＜x2， 故选：C． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，求出x1和x2的取值范围． 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BD，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝7，CE＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作DF⊥AB交AB于点F，交AC于点O，先证明△DOE∽△BCE，根据相似比计算出BC长度，再利用勾股定理计算出AB和BD长度，最后在利用相似比计算出DE长度． 【解答】解：作DF⊥AB交AB于点F，交AC于点O，如图 ∵AD＝BD， ∴点F是AB的中点， ∵BC⊥AB， ∴OF∥BC，且OF＝BC， ∴点O为AC中点， ∴∠DOE＝∠BCE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A，B，C，D在以O为圆心，以AC为直径的圆上， ∵AE＝7，CE＝2， ∴AC＝9，OA＝OD＝OC＝， ∴OE＝OC﹣EC＝﹣2＝， ∵∠DEO＝∠BEC， ∴△DEO∽△BEC， ∴＝， ∴＝， ∴BC＝， ∴OF＝BC＝， ∴DF＝， ∴AF＝＝＝， ∴AD＝＝， ∴AB＝2AD＝， 设DE＝x，BE＝﹣x， ∵△DEO∽△BEC， ∴＝， ∴＝， ∴x＝， 故选D． 【点评】本题考查的考查重点是三角形的中位线，四点共圆以及利用相似比求线段的长度，利用勾股定理求线段的长度，此题运算量比较大所以在做题的过程中需要谨慎计算． 7．四个实数：1，2，3，x中最大数与最小数之差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（　　） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据极差的概念分类讨论最大数与最小数的情况，列出方程求出符合题意的x的值，再依据中位数的定义求解即可． 【解答】解：若最大数为x，则x﹣1＝1+2+3+x，此时方程不成立； 所以最大数为3， 若最小数为1，则3﹣1＝1+2+3+x，解得x＝﹣4，这与最小数为1相矛盾，舍去； 若最小数为x，则3﹣x＝1+2+3+x，解得x＝﹣1.5， 此时数据为﹣1.5、1、2、3， 所以这四个数的中位数为＝1.5， 故选：A． 【点评】本题主要考查极差和中位数，解题的关键是掌握极差的概念，并据此求出x的值． 8．在锐角三角形ABC中，D为边BC上一点（不含端点），E、F分别是△ABD和△ACD的外心，下列结论：①EF⊥AD；②△ABC与△DEF相似；③S△ABC≥4S△DEF，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 【答案】A 【分析】利用圆的有关性质，三角形的外心的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：①连接EA，FA，如图， ∵E、F分别是△ABD和△ACD的外心， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴E、F分别在AD的垂直平分线上， ∴EF⊥AD． ∴①的结论正确； ②∵EA＝ED，EF⊥AD， ∴∠FED＝∠AED， ∵∠B＝∠AED， ∴∠B＝∠FED． 同理：∠C＝∠EFD， ∴△ABC与△DEF相似． ∴②的结论正确； ∵三角形ABC是锐角三角形， ∴EF＜BC， ∴S△ABC＞4S△DEF， ∴③的结论不正确． ∴正确的结论的序号为：①②． 故选：A． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，三角形的外接圆，三角形的外心，相似三角形的判定与性质，相等的垂直平分线，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 9．已知实数x，y满足＝3，y4+y2＝3，则的值为 　7　 ． 【答案】7． 【分析】根据题意得到是方程（）2﹣﹣3＝0的根，y2是方程（y2）2+y2﹣3＝0的根，通过解该方程可以得到的，y2的值，然后代入求值． 【解答】解：∵﹣＝3， ∴（）2﹣﹣3＝0， 解得：＝， ∵≥0， ∴＝， 又∵y4+y2＝3， ∴（y2）2+y2﹣3＝0， 解得：y2＝， ∵y2≥0， ∴y2＝， ∴+y4＝（）2+（）2＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解． 10．已知抛物线y＝x2+（k+1）x+1与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为　﹣5　 ． 【答案】﹣5 【分析】画出图形，将两点之间的距离转化为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的顶点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出k的值． 【解答】解：由题意A、B在原点的右侧，且， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝CB， ∴CD＝CB•sin60°＝AB•sin60°＝， 又∵C点纵坐标为， ∴， 令（k+1）2＝a， 则原式可化为＝|1﹣|， 两边平方得，12a﹣48＝a2﹣8a+16， 整理得，a2﹣20a+64＝0， 解得a＝4或a＝16． 当a＝4时，（k+1）2＝4，k+1＝±2，k＝﹣3或k＝1； 当a＝16时，（k+1）2＝16，k+1＝±4，k＝3或k＝﹣5． 由于对称轴位于y轴右侧，所以﹣2（k+1）＞0， 解得k＜﹣1， 当k＝﹣3时，有一个交点， 所以k＝﹣5． 故答案为﹣5． 【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，根据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线顶点坐标公式列出等式是解题的关键．另外，此题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应当有一定程度的了解． 11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，∠ADC＝30°，CD＝6，OD＝7，则AD的长为 　10　 ． 【答案】10． 【分析】连接AO，由题意得AO＝CO＝OB，∠AOC＝90°，将△DOC逆时针旋转90°得到△EOA，由旋转的性质得AE＝CD＝6，∠EOD＝90°，EO＝DO＝7，EA⊥DC，过点A作AF∥CD，交ED于F，得∠FED＝∠ADC＝30°，推出AE＝6，AG＝，EG＝，由勾股定理求得ED的长，再由勾股定理得出方程14，求解即可． 【解答】解：如图，连接AO， 在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点， ∴AO＝CO＝OB，∠AOC＝90°， 将△DOC逆时针旋转90°得到△EOA， ∴AE＝CD＝6，∠EOD＝90°，EO＝DO＝7，EA⊥DC， 过点A作AF∥CD，交ED于F， ∴∠EAF＝90°，∠FED＝∠ADC＝30°， ∴∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝90°+30°＝120°， 过E作EG⊥DA交DA延长线于G， ∴∠EAG＝180°﹣∠EAD＝180°﹣120°＝60°， ∴∠GEA＝90°﹣EAG＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△AGE中，AE＝6，AG＝， EG＝， 在Rt△EOD中， ED＝＝DO＝14， 在Rt△EGD中， GD＝GA+AD＝3+AD， ∴ED2＝EG2+GD2， ∴14， ∴3+AD＝±13， ∴AD＝10或﹣16（舍去）， 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系是解题的关键． 12．已知a＜0，b＜0，，则＝　　 ． 【答案】． 【分析】先将展开，然后令m＝，即可求得m的值，再根据a＜0，b＜0，可以得到m＞0，从而可以确定的值． 【解答】解：∵， ∴1+﹣﹣1＝1， ∴﹣＝1， 设m＝， 则m﹣＝1， 解得m＝， ∵a＜0，b＜0， ∴＞0， ∴＝m＝， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．P为边长是的正三角形ABC内切圆上一个动点，求BP+CP的最小值． 【答案】． 【分析】连接OP，OC，OC交⊙O于D，OD中点G，连接PG，证明△POG∽△COP，推出，推出BP+CP＝BP+PG≥BG，利用余弦定理求出BG即可． 【解答】解：连接OP，OC，OC交⊙O于D，OD中点G，连接PG，BG． ∵△ABC是等边三角形，⊙O是△ABC的内切圆，AB＝BC＝AC＝2， ∴OC＝＝2，OP＝OC＝1， ∴，∠POG＝∠COP， ∴△POG∽△COP， ∴， ∴BP+CP＝BP+PG≥BG， 在△BCG中由余弦定理：BG＝． ∴BP+CP的最小值为． 【点评】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，余弦定理等知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y＝ax+c，y＝cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点．（1）求最大值． （2）当取最大值时，设直线交抛物线y＝ax2+bx+c于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC的内切圆的半径为1，求a的值． 【答案】（1）5； （2）1． 【分析】（1）联立y＝ax2+bx+c和y＝ax+c可得x1＝0，x2＝，再根据题意可得a＝b，再联立y＝ax2+bx+c和y＝cx+a，再结合一元二次根的判别式可得5a2﹣6ac+c2≤0，进而可得（）2﹣6（）+5≤0，然后求解即可； （2）先求出取最大值时，求出抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，进而求解方程，然后再说明△ABC为等边三角形，最后求得a的值即可． 【解答】解：（1）由 ax2+bx+c＝ax+c，得x1＝0，x2＝， 由抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c至多有一个公共点，得a＝b， 由抛物线y＝ax2+bx+c＝cx+a，且a＝b， 得ax2+（a﹣c）x+c﹣a＝0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝cx+a至多有一个公共点， ∴Δ＝（a﹣c）2﹣4a（c﹣a）≤0， 即5a2﹣6ac+c2≤0．结合a＞0， 进而可得（）2﹣6（）+5≤0， 解得 1≤≤5， 又∵抛物线y＝ax2+ax+5a与直线y＝ax+5a，y＝5ax+a中的每一条都至多有一个公共点，所以的最大值为5； （2）当取最大值时，抛物线为 y＝ ax2+ax+5a，其顶点C（﹣，a）， 由ax2+ax+5a＝a，得x1＝﹣﹣，得x2＝﹣+， 于是AB＝2，CA＝CB， 设点I为△ABC的内心，D为线段AB中点，则CD⊥AB，ID⊥AB， 且ID＝1，DB＝， ∴∠DBI＝30°，∠ABC＝60°，△ABC为等边三角形， ∴CD＝3×ID＝3， ∴a﹣a＝3a＝3， ∴a＝1． 【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，二次函数与几何的综合、等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． 15．如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形． （1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为AB上一点，AD＝1，E为BC中点，连接DE，求证：四边形ADEC为理想四边形； （2）如图②，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，四边形ABCD为理想四边形，请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（在图中标出必要的数据） （3）在（2）的条件下， ①若△BCD为直角三角形，BC＝2，求AC的长度； ②如图③，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x、y、z之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①或2；②x2+xy+y2＝z2． 【分析】（1）连接CD，过点E作EM⊥AB，在Rt△BEM中，得BM＝BE•cos30°＝，则ME是BD的中垂线，得DE＝BE＝CE，可说明△CED是等边三角形，从而说明结论成立； （2）作等腰△ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时； （3）①分∠BDC＝90°或∠DBC＝90°两种情形，分别画出图形，利用勾股定理即可； ②将△ADC绕点D逆时针旋转60°，得到△BDE，连接EC，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，可知△EDC是等边三角形，则EF＝EC•sin60°＝，CF＝EC，在Rt△BEF中，利用勾股定理得出等量关系． 【解答】（1）证明：连接CD，过点E作EM⊥AB， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，AD＝1， ∴AB＝4，BC＝＝2，BD＝4﹣1＝3， ∵E为BC的中点， ∴BE＝， 在Rt△BEM中，∠B＝30°，EM⊥AB， ∴BM＝BE•cos30°＝， ∴DM＝BM＝，即EM是BD的中垂线， ∴ED＝EB＝EC， ∴∠EDB＝∠B＝30°， ∴∠CED＝60°， ∴△CED是等边三角形， 又∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60°， ∴四边形ADEC为理想四边形； （2）解：如图，作等腰△ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时，∠DCB＝，满足条件； （3）解：①若△BCD为直角三角形，分两种情况： （Ⅰ）当∠BDC＝90°时，如图， ∵∠BCD＝60°，BC＝2， ∴∠DBC＝30°，BD＝BC•cos30°＝， ∵△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝，∠ABD＝60°， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝＝； （Ⅱ）当∠DBC＝90°时，如图， 同理可得∠ADC＝90°，DC＝4，AD＝2， ∴AC＝＝2， 综上所述，AC＝或2； ②将△ADC绕点D逆时针旋转60°，得到△BDE，连接EC，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图， ∴∠CDE＝60°，ED＝CD，BE＝AC＝z， ∴△EDC是等边三角形， ∴EC＝CD＝x，∠DCE＝60°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴EF＝EC•sin60°＝，CF＝EC， ∴BF＝BC+CF＝y+， ∴BE＝＝， ∴z＝， 即x2+xy+y2＝z2． 【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了理想四边形的定义，等边三角形的判定与性质，定边对定角隐圆问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解题意，学会利用分类讨论思想思考问题，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/27 8:59:43；用户：王哲军；邮箱：13666877054；学号：50980505 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养大赛适应性考试3 一．选择题（共8小题） 1．已知非负数x，y，z满足，设W＝3x﹣2y+z，则W的最大值与最小值的和为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 2．两抛物线y＝x2+2ax+b2和y＝x2+2cx﹣b2与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点M是CD边的中点，点E，F分别是边AB，BC上的点，且AF⊥ME，G为垂足．若EB＝2，BF＝1，则四边形BFGE的面积为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知反比例函数y＝的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连接AD、OC，若△ABO的周长为4+2，AD＝2，则△ACO的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 5．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程a（x+1）（x﹣2）＝1（a＞0）的两个实根，则（　　） A．x1＜﹣1＜x2＜2 B．﹣1＜x1＜2＜x2 C．x1＜﹣1＜2＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜2 6．如图，在四边形ABCD中，AD＝BD，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC和BD交于点E，若AE＝7，CE＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 7．四个实数：1，2，3，x中最大数与最小数之差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（　　） A．1.5 B．2.5 C．2 D．3 8．在锐角三角形ABC中，D为边BC上一点（不含端点），E、F分别是△ABD和△ACD的外心，下列结论：①EF⊥AD；②△ABC与△DEF相似；③S△ABC≥4S△DEF，其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 二．填空题（共4小题） 9．已知实数x，y满足＝3，y4+y2＝3，则的值为 　 　 ． 10．已知抛物线y＝x2+（k+1）x+1与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为　 　 ． 11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，∠ADC＝30°，CD＝6，OD＝7，则AD的长为 　 　 ． 12．已知a＜0，b＜0，，则＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．P为边长是的正三角形ABC内切圆上一个动点，求BP+CP的最小值． 14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与一次函数y＝ax+c，y＝cx+a图象中的每一条都至多有一个公共点．（1）求最大值． （2）当取最大值时，设直线交抛物线y＝ax2+bx+c于A，B两点，C为抛物线的顶点，若△ABC的内切圆的半径为1，求a的值． 15．如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形． （1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为AB上一点，AD＝1，E为BC中点，连接DE，求证：四边形ADEC为理想四边形； （2）如图②，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，四边形ABCD为理想四边形，请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；（在图中标出必要的数据） （3）在（2）的条件下， ①若△BCD为直角三角形，BC＝2，求AC的长度； ②如图③，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x、y、z之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $