2026年浙江省台州市天台县九年级素养大赛适应性考试1

素养大赛适应性考试4 一．选择题（共4小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D，DE⊥AB于E，连接CD．若CD＝2，DE＝，则∠ACD＝（　　） A．150° B．135° C．120° D．110° 2．设△ABC的最长边为a，其周长为m，则（　　） A． B． C． D． 3．满足|ab|+|a+b|＝1的整数对（a，b）共有（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 4．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 二．填空题（共6小题） 5．已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 　 　 ． 6．已知非零实数a，b，c满足，则＝　 　 ． 7．已知等腰△ABC的底边BC的长为16，BC上的高为15，点O在线段BC上，且以O为圆心的圆O与两腰AB，AC都相切，则圆O的半径是 　 　 ． 8．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+1）x+3＝0有两个实数根x1，x2，那么代数式的值是 　 　 ． 9．在边长为4的正方形ABCD中，点E是AD中点，点A关于BE的对称点为F，连BF交AC于点G，则线段AG的长度是 　 　 ． 10．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径． （1）求证：OD⊥CE； （2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长． 12．（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0； （2）设a+b+c＝0，求的值． 13．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求： （1）m的值； （2）△ABC的面积． 14．试用直尺，圆规在图中作出∠ACB＝90°，CA＝CB的△ACB，其中A在线段a上，B在线段b上． 15．如图所示，在直角△ABC中，AE是斜边BC上的高，M是边AB的中点，过点A作AF⊥MC于点F，连结EF，若AF的长为6，EF的长为，求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养大赛适应性考试4 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 题号 1 2 3 4 答案 C B C B 一．选择题（共4小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D，DE⊥AB于E，连接CD．若CD＝2，DE＝，则∠ACD＝（　　） A．150° B．135° C．120° D．110° 【答案】C 【分析】连接BD，作DF⊥AC交AC的延长线于F，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC＝2，根据正弦的定义得到∠DBE＝60°，根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质、邻补角的概念计算即可． 【解答】解：连接BD，作DF⊥AC交AC的延长线于F， ∵点D在BC边的中垂线上， ∴DB＝DC＝2， 在Rt△DEB中，sin∠DBE＝＝， ∴∠DBE＝60°， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL） ∴∠DCF＝∠DBE＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°＝120°， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 2．设△ABC的最长边为a，其周长为m，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设△ABC的另外两边分别是x、y，由△ABC的最长边为a，其周长为m，得x≤a，y≤a，则x+y+a≤3a，所以m≤3a，推导出≤3，由三角形的三边关系得x+y＞a，则x+y+a＞2a，所以m＞2a，推导出＞2，所以2＜≤3，于是得到问题的答案． 【解答】解：设△ABC的另外两边分别是x、y， ∵△ABC的最长边为a，其周长为m， ∴x≤a，y≤a，x+y+a＝m， ∴x+y≤2a， ∴x+y+a≤3a， ∴m≤3a， ∴≤3， ∵x+y＞a， ∴x+y+a＞2a， ∴m＞2a， ∴＞2， ∴2＜≤3， 故选：B． 【点评】此题重点考查不等式的性质、三角形的三边关系等知识，设△ABC的另外两边分别是x、y，推导出x+y+a≤3a及x+y+a＞2a是解题的关键． 3．满足|ab|+|a+b|＝1的整数对（a，b）共有（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 【答案】C 【分析】利用绝对值的意义解答即可． 【解答】解：∵|ab|+|a+b|＝1，a，b为整数， ∴|ab|＝0，|a+b|＝1或|ab|＝1，|a+b|＝0， ∴a＝0，b＝1或a＝1，b＝0或a＝0，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝0或a＝1，b＝﹣1或a＝﹣1，b＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 4．若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【解答】解：设， 则x2+y2+z2＝14k2+10k+6， ＝14+． 故最小值为：． 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是设． 二．填空题（共6小题） 5．已知抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是 　　 ． 【答案】 【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把a＝代入代数式即可求得． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1（a≠0）， ∴顶点为（﹣2，1）， 过点A（m，3），B（n，3）两点， ∴a＞0， ∴对称轴为直线x＝﹣2， ∵线段AB的长不大于4， ∴4a+1≥3， ∴a≥ ∴a2+a+1的最小值为：（）2++1＝； 故答案为． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键． 6．已知非零实数a，b，c满足，则＝　﹣　 ． 【答案】﹣． 【分析】根据已知条件求得a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），然后代入即可求得． 【解答】解：∵， ∴2a+2b+2c＝0，即a+b+c＝0， ∴（a+b+c）2＝0， ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0， ∴a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac）， ∴原式＝＝﹣， 故答案为：﹣． 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的化简求值方法，解二元一次方程组的步骤是关键． 7．已知等腰△ABC的底边BC的长为16，BC上的高为15，点O在线段BC上，且以O为圆心的圆O与两腰AB，AC都相切，则圆O的半径是 　　 ． 【答案】． 【分析】设⊙O与AB相切于D，连接OD，由切线的性质定理推出OD⊥AB，由切线长定理推出AO平分∠BAC，由等腰三角形的性质推出AO⊥BC，BO＝CO＝BC＝8，由勾股定理求出AB＝＝17，由三角形面积公式得到17OD＝8×15，求出OD的长，即可得到圆的半径长． 【解答】解：设⊙O与AB相切于D，连接OD， ∴OD⊥AB， ∵圆O与两腰AB，AC都相切， ∴AO平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC，BO＝CO， ∴AO＝15，OB＝BC＝×16＝8， ∴AB＝＝17， ∵△AOB的面积＝AB•OD＝OB•AO， ∴17OD＝8×15， ∴OD＝， ∴圆O的半径是． 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是由切线长定理推出AO平分∠BAC，由等腰三角形的性质推出AO⊥BC，BO＝CO，由三角形的面积得到17OD＝8×15． 8．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+1）x+3＝0有两个实数根x1，x2，那么代数式的值是 　　 ． 【答案】． 【分析】依据题意，根据一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，再利用根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+1）x+3＝0有两个实数根x1，x2， ∴﹣（3m+1）x1+3＝0，﹣（3m+1）x2+3＝0． ∴﹣（3m+1）+3＝0，﹣（3m+1）+3＝0． ∴m（+）﹣（3m+1）（+）+3（+）＝0． ∴＝0++﹣＝． ∵关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+1）x+3＝0有两个实数根， ∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4m×3≥0，且m≠0． ∴（3m﹣1）2≥0． ∴m≠0时，此方程总有两个实数根． ∵方程的两个实数根为x1和x2， ∴，， ∴＝＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 9．在边长为4的正方形ABCD中，点E是AD中点，点A关于BE的对称点为F，连BF交AC于点G，则线段AG的长度是 　　 ． 【答案】． 【分析】延长BF交CD于H，连接EH，EF，过点G作GM⊥BC于M，GN⊥CD于N，则四边GMCN为正方形，设GM＝MC＝CN＝NG＝a，由勾股定理得CG＝，依据“HL”判定Rt△EFH和Rt△EDH全等得FH＝DH＝b，则CH＝CD﹣DH＝4﹣b，BH＝BF+FH＝4+b，b＝1，则CH＝3，BH＝5，然后S△BCH＝S△BCG+S△CHG得a＝，则CG＝，据此可得AG的长． 【解答】解：延长BF交CD于H，连接EH，EF，过点G作GM⊥BC于M，GN⊥CD于N，如图所示： 则∠GMC＝∠GNC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BCA＝∠DCA＝45°，∠BAC＝∠BCD＝∠D＝90°， ∴∠GMC＝∠GNC＝∠BCD＝90°， ∴四边形GMCN为矩形， ∵∠GMC＝90°，∠BCA＝45°， ∴△GMC为等腰直角三角形，即GM＝CM， ∴矩形GMCN为正方形， ∴设GM＝MC＝CN＝NG＝a， 在Rt△△GMC中，由勾股定理得：CG＝＝， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE＝2， ∵点A关于BE的对称点为F， ∴AE＝EF＝2，AB＝BF＝4，∠BAC＝∠BFE＝90°， ∴EF＝ED＝2，∠EFH＝∠D＝90°， 在Rt△EFH和Rt△EDH中， ， ∴Rt△EFH≌Rt△EDH（HL）， ∴设FH＝DH＝b， 则CH＝CD﹣DH＝4﹣b，BH＝BF+FH＝4+b， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝CH2+BC2， 即（4+b）2＝（4﹣b）2+42， 解得：b＝1， ∴CH＝4﹣b＝3，BH＝4+b＝5， ∵S△BCH＝S△BCG+S△CHG， ∴BC•CH＝CH•GN+BC•GM， 即×4×3＝×3a+×4a， 解得：a＝， ∴CG＝＝， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝， ∴AG＝AC﹣CG＝＝． 【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 10．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为　14　 ． 【答案】14． 【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式为，直线CD的解析式是y＝x，OA的中垂线的解析式，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2＝，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解． 【解答】解：由题意，设OA＝3a，则OB＝4a， ∴A（3a，0），B（0，4a）， 设直线AB的解析式是y＝kx+b， 根据题意得：， 解得：， 则直线AB的解析式是， ∵直线CD是∠AOB的平分线， 则OD的解析式是y＝x， 根据题意得：， 解得：， 则D的坐标是（，）， OA的中垂线的解析式是， 则C的坐标是（，），则， ∵以CD为边的正方形的面积为，且， 则， 解得：， ∴， 故答案为：14． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数、正方形的面积等知识，根据题意表示出C、D的坐标是解答的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径． （1）求证：OD⊥CE； （2）若DF＝1，DC＝3，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性质三线合一得到BD＝DC，根据三角形的中位线的性质得到结论； （2）连接EF，由CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，得到∠EFC＝90°，又因为 CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°，推出∠BEF＝∠ECF，于是得到tan∠BEF＝tan∠ECF，得到等积式，求得EF＝2，由勾股定理得BE，再根据平行线分线段成比例，列出比例式求解． 【解答】解：（1）∵⊙O与边AB相切于点E，且 CE为⊙O的直径， ∴CE⊥AB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC， 又∵OE＝OC， ∴OD∥EB， ∴OD⊥CE； （2）连接EF， ∵CE为⊙O的直径，且点F在⊙O上，∴∠EFC＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°． ∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°， ∴∠BEF＝∠ECF， ∴tan∠BEF＝tan∠ECF ∴， 又∵DF＝1，BD＝DC＝3， ∴BF＝2，FC＝4， ∴EF＝2， ∵∠EFC＝90°， ∴∠BFE＝90°， 由勾股定理，得， ∵EF∥AD， ∴， ∴． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．（1）化简，求值：，其中a满足a2+2a﹣1＝0； （2）设a+b+c＝0，求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先把分式化简，再代入求值即可； （2）由已知可得a+b＝﹣c，c＝﹣a﹣b，则2a2+bc＝2a2+b（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+a+b）＝（a﹣b）（a﹣c），同理 2b2+ac＝（b﹣c）（b﹣a），2c2+ac＝（c﹣a）（c﹣b），代入所求代数式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝＝； ∵a2+2a﹣1＝0， ∴a2+2a＝1， ∴原式＝＝1； （2）由已知可得a+b＝﹣c，c＝﹣a﹣b， 则2a2+bc＝2a2+b（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+a+b）＝（a﹣b）（a﹣c）， 同理 2b2+ac＝（b﹣c）（b﹣a），2c2+ab＝（c﹣a）（c﹣b）， ∴原式＝＝， ∵b＝﹣a﹣c， ∴a2（b﹣c）﹣b2（a﹣c）+c2（a﹣b） ＝a2（﹣a﹣2c）﹣（a+c）2（a﹣c）+c2（a+a+c） ＝﹣a3﹣2a2c﹣a3﹣a2c+ac2+c3+2ac2+c3 ＝﹣2a3﹣3a2c+3ac2+2c3 ＝2（c3﹣a3）+3ac（c﹣a） ＝（c﹣a）（2c2+5ac+2a2） ＝（c﹣a）（2c+a）（c+2a） ＝（c﹣a）（2c﹣b﹣c）（﹣a﹣b+2a） ＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c） ∴原式＝＝＝1． 【点评】此题考查分式的化简求值，难度较大，已知条件的反复应用、因式分解的应用都要灵活． 13．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求： （1）m的值； （2）△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值． （2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是整数）． ∵a＝m2﹣1，b＝﹣9m+3，c＝18， ∴b2﹣4ac＝（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）＝9（m﹣3）2≥0， 设x1，x2是此方程的两个根， ∴x1•x2＝＝， ∴也是正整数，即m2﹣1＝1或2或3或6或9或18， 又m为正整数， ∴m＝2； （2）把m＝2代入两等式，化简得a2﹣4a+2＝0，b2﹣4b+2＝0 当a＝b时， 当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2＝0的两根，而Δ＞0，由韦达定理得a+b＝4＞0，ab＝2＞0，则a＞0、b＞0． ①a≠b，时，由于a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12＝c2 故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，S△ABC＝． ②a＝b＝2﹣，c＝2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去． ③a＝b＝2+，c＝2时，因＞，故能构成三角形． S△ABC＝×（2）×＝ 综上，△ABC的面积为1或． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键． 14．试用直尺，圆规在图中作出∠ACB＝90°，CA＝CB的△ACB，其中A在线段a上，B在线段b上． 【答案】见试题解答内容 【分析】①过点C作CD⊥直线b于D．②在直线b上截取DE＝CD．③过点E作EA⊥b交直线a于A．④连接CA，以C为圆心，CA为半径画弧交线段DE于B，连接AB，BC，△ABC即为所求． 【解答】解：如图，△ABC即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．如图所示，在直角△ABC中，AE是斜边BC上的高，M是边AB的中点，过点A作AF⊥MC于点F，连结EF，若AF的长为6，EF的长为，求△ABC的面积． 【答案】78． 【分析】通过证明△EFC∽△MBC和△AFM∽△CFA推出＝，然后推出MF和CF的长度，即可求出答案． 【解答】解：∵∠BAE＝90°﹣∠B＝∠ACE， ∴．∠ACE＝∠MEA． ∵∠AFC＝∠AEC＝90°， ∴A、F、E、C四点共圆， ∴∠EFC＝∠EAC． ∵∠EAC＝90°﹣∠ACB＝∠B， ∴∠EFC＝∠B． ∵∠EFC＝∠MBC，∠ECF＝∠MCB． ∴△EFC∽△MBC， ∴①． ∵∠AFM＝∠CFA＝90°，∠AMF＝90°﹣∠ACF＝∠CAF． ∴△AFM∽△CFA， ∴②，③， 由①②可得：． ∴cos∠ACB＝． ∴tan∠ACB＝＝，tan∠AMC＝． ∴MF＝4， 由③得：CF＝9． ∴S△ABC＝2S△AMC＝2×AF•CM＝78． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，直角三角形的性质，三角函数，三角形的面积等知识点，通过相似三角形推出AC和BC的比例关系是解答本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/27 8:51:58；用户：王哲军；邮箱：13666877054；学号：50980505 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $