内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期九年级阶段试卷（六）数学学科

**基本信息** 初三数学周测试卷涵盖代数与几何核心知识，以春节档票房、“一盔一带”等现实情境为载体，通过几何作图、函数综合、探究性问题设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配60分钟巩固检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4/24|科学记数法（抽象能力）、二次函数性质（运算能力）|基础概念与图像性质结合，如第2题分析增减性| |填空题|4/24|概率计算（数据意识）、菱形中位线（几何直观）|空间观念与计算结合，如第7题借中位线转化线段关系| |解答题|4/52|“一盔一带”应用题（模型意识）、几何综合探究（推理能力）|分层设计，第10题建立方程模型，第12题通过旋转构造全等与相似，体现创新思维|

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（六） 数 学 学 科 时间：60分钟 满分100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.据国家电影局统计，截至月日：，年春节档票房为亿元，观影人次为亿，创下历史纪录将数据“亿”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.对于二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 3.如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点，与轴交于点，点坐标为，连接，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。 5.不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黄球、个绿球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为            ． 6.如图，、分别是的边、上的点，，若：：，则        ． 7.如图，在菱形中，，，分别是边，的中点，连接，，若，则的长为            ． 8.如图，在矩形中，，，连接点为上的一点，连接，且平分，连接交于点，则的长为      ． 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 计算：； 化简：． 10.本小题分“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． 购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ 若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 11.本小题分如图，已知是的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点． 求证：； 若，，求的长． 12.本小题分 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：亿  故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.【答案】  【解析】解：，二次项系数， 抛物线开口向上，选项A错误； 整理后可得顶点式为， 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得，， 抛物线与轴交点坐标是和，选项C错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误， 故选：． 先整理二次函数为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断开口方向、对称轴、与轴交点和增减性，即可得到正确结果． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 3.【答案】  【解析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，     由题意可知：平分， ，， ， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由条件可得点的坐标为， ， 点坐标为， ， ， 设点坐标为， ， ， ， 解得不合题意，舍去， ， 点坐标为， ， 解得． 故选：． 求出点的坐标为，设点坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点坐标为，利用待定系数法即可求出实数的值． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 5.【答案】  【解析】解：袋子中绿球的个数为，  球的总数为，  根据概率计算方法用绿球的个数除以总球的个数可知：  抽到绿球的概率为，  故答案为：． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 本题考查了概率公式．熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】  【解析】解：， ∽， ， ， ， ∽， ， ， 即． 故答案为：． 先证明∽，则根据相似三角形的性质得到，再证明∽，利用相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质求出的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于点    ，分别是边，的中点，，  ，，  菱形中，，  ，，  为等边三角形，  ，，  ，  ，，  ． 连接，过点作交的延长线于点根据中位线定理得出，根据菱形的性质证明是等边三角形，进而求出所需线段长度，最后根据勾股定理求解即可． 本题考查等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8.【答案】  【解析】解：在矩形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 先根据矩形中，，，得出，再解直角三角形得出，再利用相似求出即可． 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形，掌握其性质是解题的关键． 9.【答案】   【解析】解：原式 ； 原式 ． 根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质进行计算即可； 先把括号里的化成分母是的分式，先算括号里面的，再把被除数和除数的分子分解因式，除法化成乘法，然后化简即可． 本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值和零指数幂的性质． 10.【答案】购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元  最多可购进乙型头盔个  【解析】解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意得， 解得， 即购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元． 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； 设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得：， 整理得，， 解得， 的最大值为， 答：最多可购进乙型头盔个． 根据题意，找出等量关系，列方程组，求解即可； 根据题意，列不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意． 11.【答案】证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； 解：， ， ，， ，， ， ， ， ≌， ， 是的直径， ， ，， ，， ，， ， ，， ∽， ， ， ； 故DE的长为．  【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，求得，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论； 根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角函数的定义和相似三角形的性质即可得到结论． 12.【答案】；     如图，连接，      ，，   ，   由旋转知，，   ，   即，   ，   ≌，   ，，   ，   ，      ，   ，   ，   ≌，   ，；    ，理由如下：   连接，      点是的中点，，   ，   ，   ，   ，即   点是的中点，，   ，   ，   是等腰直角三角形，   ，   即，     【解析】解：，，  是等边三角形，  ，  由旋转得，  ，  ；  证明：如图，连接，    ，，  ，  由旋转知，，  ，  即，  ，  ≌，  ，，  ，  ，    ，  ，  ，  ≌，  ，；  解：，理由如下：  连接，    点是的中点，，  ，  ，  ，  ，即  点是的中点，，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  即，  ． 先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案；  连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明≌，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明≌，即可得出答案；  连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $