湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．（3分）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 2．（3分）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（3分）下列图形中，不一定是相似图形的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个矩形 D．两个圆 6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 7．（3分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（　　） A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD 8．（3分）在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 9．（3分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（　　） A．8.5m B．9m C．9.5m D．10m 10．（3分）在平面直角坐标系中，正方形OABC按照如图所示放置，其边长为1．将正方形OABC按照如下方式进行变换：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA1B1C1；将正方形OA1B1C1绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA2B2C2，…，则正方形OA2024B2024C2024的顶点B2024的坐标为（　　） A．（0，22023） B．（22024，22024） C．（﹣22024，22024） D．（﹣22023，0） 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）化简　 　 ． 12．（3分）已知实数a，b满足，则的值为　 　 ． 13．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则m2+2m+mn的值为 　 　 ． 14．（3分）对于实数a、b（a≠b），定义一种运算如下：，如，那么8⊗4＝ 　 　 ． 15．（3分）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　 　 个班级篮球队参加． 16．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 　 　 m． 17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则　 　 ． 18．（3分）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：． 20．（6分）先化简，再求值：，其中x． 21．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． 22．（8分）“雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次． （1）求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率； （2）南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 23．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDE＝60°． （1）求证：△ABD∽△CDE； （2）若AC＝9，BE＝7，求AD的长． 24．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图2的基础上，将纸片ABCD按图3所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝3，则CG的长为　 　 ． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△QBP与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形． 26．（10分）若三角形的两个内角α与B满足2α+β＝90°时，我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　 　 °； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AD是∠BAC的平分线，求证：△ABD是“准互余三角形”； （3）如图①，在（2）的条件下若有AC＝4，BC＝5．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． （4）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长． 湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C D C D C B 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．（3分）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2024≥0， 解得x≥2024． 故选：D． 2．（3分）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2 【答案】A 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【解答】解：∵（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 解得m＝4． 故选：A． 3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【答案】C 【分析】一移，二配，三变形，将方程配方后，求出a，b的值，进而求出ab的值即可． 【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024， ∴（x﹣1）2＝2025， ∴a＝﹣1，b＝2025， ∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1； 故选：C． 4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（3分）下列图形中，不一定是相似图形的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个矩形 D．两个圆 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 任意两个等边三角形的三个内角都相等， 所以两个等边三角形相似． 故A选项不符合题意． 因为任意两个等腰直角三角形的三个内角均相等， 所以两个等腰直角三角形相似． 故B选项不符合题意． 因为任意两个矩形的四个角都相等，但长、宽的比值不一定相等， 所以两个矩形不一定相似． 故C选项符合题意． 因为任意两个圆的形状均相同， 所以两个圆相似． 故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到，然后根据比例的性质可求出AE． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵AD＝2，BD＝3，AC＝10， ∴， ∴AE＝4． 故选：D． 7．（3分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（　　） A．∠A＝∠CBD B．∠CBA＝∠CDB C．AB•CD＝BD•BC D．BC2＝AC•CD 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可． 【解答】解：∵∠C是公共角， ∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意， C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意． ∵∠C＝∠C， 若再添加，即BC2＝AC•CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意． 故选：C． 8．（3分）在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（　　） A．∠ABE＝∠CBE B．BC＝5 C．DE＝DF D． 【答案】D 【分析】直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，再利用平行线的性质证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝3，则AD＝5，所以BC＝5，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明∠DEF＝∠F得到DE＝DF＝2，则可对C选项进行判断；由于DE∥BC，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断． 【解答】解：由作法得BO平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， ∴AD＝AE+DE＝3+2＝5， ∴BC＝5，所以B选项不符合题意； ∵AB∥CD， ∴∠F＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠F， ∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意； ∵DE∥BC， ∴，所以D选项符合题意． 故选：D． 9．（3分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（　　） A．8.5m B．9m C．9.5m D．10m 【答案】C 【分析】根据题意可得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，从而可得∠ACG＝∠FEG＝90°，然后证明△ACG∽△FEG，从而利用相似三角形的性质求出AC的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE， ∴∠ACG＝∠FEG＝90°， ∴△ACG∽△FEG， ∴， ∴， 解得：AC＝8.5， ∵BC＝DE＝1m， ∴AB＝AC+BC＝8.5+1＝9.5（m）， ∴凉亭的高度约为9.5m， 故选：C． 10．（3分）在平面直角坐标系中，正方形OABC按照如图所示放置，其边长为1．将正方形OABC按照如下方式进行变换：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA1B1C1；将正方形OA1B1C1绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA2B2C2，…，则正方形OA2024B2024C2024的顶点B2024的坐标为（　　） A．（0，22023） B．（22024，22024） C．（﹣22024，22024） D．（﹣22023，0） 【答案】B 【分析】根据所给变换方式可知，每旋转八次，点B对应点的位置出现循环，再根据正方形边长的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为360°÷45°＝8， 所以每旋转八次，点B对应点的位置循环出现， 又因为2024÷8＝253， 所以点B2024在第一象限． 因为正方形OABC的边长为1，且每次旋转后边长扩大为原来的2倍， 所以正方形OA1B1C1的边长为2； 正方形OA2B2C2的边长为22； 正方形OA3B3C3的边长为23； …， 依次类推，正方形OAnBn∁n的边长为2n， 当n＝2024时， 正方形OA2024B2024C2024的边长为22024， 所以点B2024的坐标为（22024，22024）． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．（3分）化简　2025　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：原式＝|﹣2025|＝2025， 故答案为：2025． 12．（3分）已知实数a，b满足，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】设a＝5k，b＝3k，代入所求的式子化简即可． 【解答】解：∵， 设a＝5k，b＝3k， ∴． 故答案为：． 13．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则m2+2m+mn的值为 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据一元二次方程解的定义得到m2+2m＝6，根据根与系数的关系得到mn＝﹣6，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣6＝0的根， ∴m2+2m﹣6＝0， ∴m2+2m＝6， ∴m2+2m+mn＝6+mn， ∵m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根， ∴mn＝﹣6， ∴m2+2m+mn＝6+（﹣6）＝0． 故答案为：0． 14．（3分）对于实数a、b（a≠b），定义一种运算如下：，如，那么8⊗4＝ 　　 ． 【答案】． 【分析】根据新运算法则计算即可． 【解答】解：8⊗4， 故答案为：． 15．（3分）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　10　 个班级篮球队参加． 【答案】10． 【分析】设共有x个班级球队参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛， 根据题意得：45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 即（x﹣10）（x+9）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）， 则共有10个班级球队参加比赛， 故答案为：10． 16．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 　0.2　 m． 【答案】0.2． 【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得． 【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△ABO∽△CDO， 则， ∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m， ∴， 解得：CD＝0.2， ∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m． 故答案为：0.2． 17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则　　 ． 【答案】． 【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵， ∴设AE＝2a，则BE＝3a， ∴AB＝CD＝5a， ∵AB∥CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（3分）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明∠DCE＝90°，推出CPDE，求出DE的最小值，可得结论． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，， ∴△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°， ∴BC5， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD， ∵， ∴， ∴DEAD＝4， ∴CP的最小值为4＝2， 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：． 【答案】﹣1． 【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：原式＝1+24 ＝﹣1． 20．（6分）先化简，再求值：，其中x． 【答案】，． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（） ， 当x1时，原式． 21．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． 【答案】（1）k＞2；（2）k1＝3． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2﹣4ac＞0，把字母和数代入求出k的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出k的值． 【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k， ∵有两个不相等的实数， ∴﹣8+4k＞0， 解得：k＞2； （2）∵方程的两个根为α，β， ∴αβ3﹣k， ∴k2＝3﹣k+3k， 解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）． 22．（8分）“雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次． （1）求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率； （2）南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1）20%； （2）20元． 【分析】（1）设年平均增长率为x，进而根据题意列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【解答】解：（1）设年平均增长率为x， 根据题意得：80（1+x）2＝115.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴年平均增长率为20%． （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300， ∴y2﹣41y+420＝0， ∴y1＝20，y2＝21， ∵让顾客获得最大优惠， ∴y＝20， ∴当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 23．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDE＝60°． （1）求证：△ABD∽△CDE； （2）若AC＝9，BE＝7，求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）AD的长为3或6． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠A＝∠C＝60°，从而证出∠ABD＝∠CDE，根据相似三角形的判定定理即可证出结论； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式即可求出AD的长，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠C＝60°， ∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD， ∵∠BDE＝60°， ∴∠ABD＝∠CDE， ∴△ABD∽△CDE； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝9， ∴CE＝BC﹣BE＝9﹣7＝2， ∵△ABD∽△CDE， ∴， ∴， ∴AD2﹣9AD+18＝0， 解得：AD＝3或AD＝6， 即AD的长为3或6． 24．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图2的基础上，将纸片ABCD按图3所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝3，则CG的长为　6﹣3　 ． 【答案】（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠EBA＝90°． ∴∠EBP+∠ABQ＝90°． ∵点D、Q、A共线， ∴∠AQB＝90°． ∴∠ABQ+∠BAQ＝90°． ∴∠EBP＝∠BAQ． ∵∠BPE＝∠AQB＝90°， ∴△PBE∽△QAB． （2）△PBE∽△BAE． 证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（2）所示，则AB＝2QF＝2BF． 由题意得AB＝PQ＝2BQ， ∴QF＝BF＝BQ． ∴△FBQ为等边三角形， ∴∠ABQ＝60°， ∵∠BQA＝90°， ∴∠BAQ＝30°， 由翻折可知．∠EAB（90°﹣∠BAQ）＝30°， ∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°， ∴∠EBP＝30°， ∴∠EBP＝∠EAB， 又∵∠BPE＝∠ABE＝90°， ∴△PBE∽△BAE． （3）6﹣3． 【分析】（1）由余角的性质可得∠EBP＝∠BAQ，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△QAB； （2）作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，可证△FBQ为等边三角形，可得∠ABQ＝60°，可求∠EBP＝∠EAB＝30°，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△BAE； （3）由“ASA”可证△ABE≌△GBE，可得AB＝BG＝3，由折叠的性质和直角三角形的性质可得AC＝CD＝3，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠EBA＝90°． ∴∠EBP+∠ABQ＝90°． ∵点D、Q、A共线， ∴∠AQB＝90°． ∴∠ABQ+∠BAQ＝90°． ∴∠EBP＝∠BAQ． ∵∠BPE＝∠AQB＝90°， ∴△PBE∽△QAB． （2）△PBE∽△BAE． 证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（2）所示，则AB＝2QF＝2BF． 由题意得AB＝PQ＝2BQ， ∴QF＝BF＝BQ． ∴△FBQ为等边三角形， ∴∠ABQ＝60°， ∵∠BQA＝90°， ∴∠BAQ＝30°， 由翻折可知．∠EAB（90°﹣∠BAQ）＝30°， ∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°， ∴∠EBP＝30°， ∴∠EBP＝∠EAB， 又∵∠BPE＝∠ABE＝90°， ∴△PBE∽△BAE． （3）解：∵∠EAB＝∠EBP＝30°， ∴∠AEB＝∠GEB＝60°， 又∵EB＝EB，∠ABE＝∠EBG＝90°， ∴△ABE≌△GBE（ASA）， ∴AB＝BG＝3， ∴AG＝6， 由折叠可得∠ACD＝90°， ∵∠BAQ＝30°， ∴AD＝2CD＝6，ACCD＝3， ∴CG＝AG﹣AC＝6﹣3， 故答案为：6﹣3． 25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△QBP与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形． 【答案】（1）t＝1或； （2）； （3）t或或． 【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t cm，PM＝3t cm，MC＝（8﹣4t）cm，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可． （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB10（cm）， ∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B， ∴或， 当时， ∴， ∴t＝1， 当， ∴， ∴t； ∴t＝1或时，△QBP与△ABC相似； （2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB＝5t cm， ∵AC⊥BC ∴△PMB∽△ACB， ∴， ∴BM＝4t cm，PM＝3t cm，且BQ＝（8﹣4t）cm，BC＝8cm， ∴MC＝（8﹣4t）cm，CQ＝4t cm， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴， ∴t． （3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ， 则BEBQ＝BQ＝（4﹣2t）cm，PB＝5t cm， 由（2）可知PE＝3t cm， ∴BE4t cm， ∴4t＝4﹣2t， ∴t， ②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：t， ③当BQ＝PQ时，如图，过Q作QG⊥AB于G， 则BGPBt，BQ＝8﹣4t， ∵△BGQ∽△ACB， ∴， ∴， 解得：t． 综上所述：当t或或时，△BPQ是等腰三角形． 26．（10分）若三角形的两个内角α与B满足2α+β＝90°时，我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　15　 °； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AD是∠BAC的平分线，求证：△ABD是“准互余三角形”； （3）如图①，在（2）的条件下若有AC＝4，BC＝5．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由． （4）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长． 【答案】（1）15； （2）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴2∠BAD+∠B＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”； （3）存在点E，使得△ABE是“准互余三角形”，此时BE； （4）20． 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题； （2）由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答； （3）证明△CAE∽△CBA，可得CA2＝CE•CB，由此即可解决问题； （4）如图，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2＝FB•FA，设FB＝x，则有x（x+7）＝122，推出x＝9，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°， ∴2∠B+∠A＝90°， ∴∠B＝15°； 故答案为：15； （2）证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠BAD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴2∠BAD+∠B＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”； （3）存在，理由如下： 在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD， ∴∠B+2∠BAD＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”， ∵△ABE也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B+∠BAE＝90°， ∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°， ∴∠CAE＝∠B， ∵∠C＝∠C＝90°， ∴△CAE∽△CBA， ∴CA2＝CE•CB， ∴CE， ∴BE＝5， ∴存在点E，使得△ABE是“准互余三角形”，此时BE； （4）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF． ∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD，∠F＝∠BDC＝90°， ∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF＝180°， ∴A、B、F共线， ∴∠FAC+∠ACF＝90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°， ∴只有2∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠FCB＝∠FAC， ∵∠F＝∠F， ∴△FCB∽△FAC， ∴CF2＝FB•FA， 设FB＝x，则x（x+7）＝122， 解得：x＝9或﹣16（不合题意，舍去）， ∴AF＝7+9＝16， 在直角三角形ACF中，由勾股定理得：AC20． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $