湖南衡阳市实验中学2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷

湖南衡阳市实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 考生须知： 1．本试卷共三大题，26小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不解方程，判断方程的根的情况是( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定． 5. 如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ） A. 1 B. C. D. 5 6. 如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 6 C. D. 8. 某公司今年1月的营业额为2400万元，按计划第二季度的总营业额要达到9200万元，设该公司2，3两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A. 2400(1+x)2=9200 B. 2400(1+x%)2=9200 C. 2400(1+x)+2400(1+x)2=9200 D. 2400+2400(1+x)+2400(1+x)2=9200 9. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，如果面积为，则四边形的面积为（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 要使有意义，则x的取值范围是______． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 13. 已知，则的值为________． 14. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 15. 如图，在中，D，E分别是和的中点，F是延长线上一点，，交于点G，且，则__________． 16. 若关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是 ___． 17. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 18. 如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算或解方程 （1）计算： （2）解方程： 20. 如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． 21. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 22. 已知关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，试求的值． 23. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 24. 如图，在菱形中，点E在边上，连接，交对角线于点F，过点E作，交于点G． （1）若，求的长． （2）求证：． 25. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； （3）已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 26. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．请直接写出和的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为底边作，使，且，连接．求证：； 【拓展运用】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若，，求正方形的边长． 湖南衡阳市实验中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 考生须知： 1．本试卷共三大题，26小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．考生解题作答必须在答题卡上．答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】2 【16题答案】 【答案】且 【17题答案】 【答案】20 【18题答案】 【答案】或 三、解答题（本题共8小题，共66分） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】 解法一：矩形中，，， ． ， ， ． ． 解法二：矩形中，． ，， ， ． 【21题答案】 【答案】（1）如图，为所作． （2） 如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【24题答案】 【答案】（1） （2） 证明： 由（1）同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【25题答案】 【答案】（1） 一元二次方程是“有爱方程”，理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2） 证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）或 【26题答案】 【答案】（1）； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）正方形的边长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $