精品解析：湖南省衡阳市船山实验中学-2024-2025学年下学期期中考试试卷 九年级数学

衡阳市船山实验中学2025年上学期期中考试试卷 初三数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸： 本试卷共3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合， 选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形， 故选：A． 2. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿， ∴1兆＝， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键． 3. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：榫的主视图为： 故选：B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方等基本法则．根据并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C正确． 选项D：，故D错误． 故选：C． 5. 将“水中捞月”、“守株待兔”、“瓮中捉鳖”三个成语写在三张无差别卡片上，卡片置于暗箱中摇匀后随机从中抽取1张卡片，抽到卡片上的成语是不可能事件的概率为（　　） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的类型以及求概率．首先确定三个成语对应的事件类型：“水中捞月”是不可能事件，“守株待兔”是随机事件，“瓮中捉鳖”是必然事件．总共有3种等可能情况，其中不可能事件有1种，再由概率公式计算，即可． 【详解】解：根据题意得： “水中捞月”是不可能事件；“守株待兔”是随机事件；“瓮中捉鳖”是必然事件， 则共有3张卡片，其中只有1张是不可能事件， 因此抽到卡片上的成语是不可能事件的概率为． 故选：B． 6. 根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），月的销量1月的销量（1+平均增长率 ），即可得出关于的一元二次方程，即可得解． 【详解】解：设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：； 故选：A． 7. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 8. 如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ） A. 27° B. 29° C. 35° D. 37° 【答案】A 【解析】 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接OD， ∵⊙O与边AC相切于点D， ∴∠ADO＝90°， ∵∠BAC＝36°， ∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段之间的数量关系，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据题意，得出是的中位线，再根据三角形的中位线的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三线合一的性质、三角形的中位线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质． 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息． 由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值． 【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，， ，， 如图③，过点作，则，此时，最短， ， ∴ ，， ∴， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 点在第_________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 故答案为：四． 13. 定义新运算，则方程的解是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新运算得出一元二次方程．根据题目所给的运算得出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：根据题意，即， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 14. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．多边形的内角和为，其中n为正多边形的边数．根据多边形的内角和公式计算，即得答案． 【详解】正八边形的内角和为． 故答案为：． 15. 如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解； 【详解】解：∵与的面积比， ∴与的位似比为， ∴， 故答案为： 16. 如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本作图，得，根据勾股定理得，利用三角形面积的不变性计算即可． 本题考查了垂线的基本作图，勾股定理的应用，熟练掌握作图和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____． 【答案】﹣2＜x＜2 【解析】 【分析】先将点P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4）， ∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2， ∴P（2，﹣4）， 又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0）， ∴关于x的不等式组的解集为 故答案为 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键． 18. 如图，在正方形中，，点边中点，点、分别是边的动点，连接，且始终保持，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，根据正方形的性质和平行四边形的判定与性质分别证明四边形和四边形是平行四边形得到，，，由得当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长，证明得到，进而利用勾股定理求解即可求解． 【详解】解：过D作交于H，过M作，过E作交于G，连接，则四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，当A、M、G共线时取等号，即最小值为的长， ∵四边形是正方形，，点边中点， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在，， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，添加合适的辅助线是解答的关键． 三、解答题（本大题共8小题，19、20题每题6分，21、22题每题8分，23、24每小题9分，25、26每小题10分，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，三角函数． 先计算绝对值、三角函数、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值： ，其中a，b是一元二次方程的两个实数根． 【答案】﹣ab，2． 【解析】 【详解】试题分析：化简整式得原式=﹣ab，根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案． 试题解析：解：原式==﹣ab ∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2． 点睛：本题主要考查整式的化简求值和根与系数的关系，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及根与系数的关系是解题的关键． 21. 为积极落实《关于在义务教育学校实施“专项行动”的通知》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（：篮球：：足球：：排球：：羽毛球：：乒乓球），学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查、绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次调查的学生总数是___________人，选择羽毛球的学生人数为___________人； （2）扇形统计图中，求项目所对应的扇形圆心角的度数； （3）踢足球项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）50，12 （2）扇形统计图中扇形B的圆心角度数是 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，求概率． （1）从两个统计图可知，样本中喜欢“A：篮球”的学生有10人，占被调查人数的，根据频率频数总数即可求出被调查人数；再根据各组频数之和等于样本容量可求出喜欢“D：羽毛球”的人数； （2）求出样本中喜欢“B：足球”的学生人数占被调查人数的百分比，进而可求出相应圆心角的度数； （3）画出树状图，根据概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：人， 样本中喜欢“D：羽毛球”的人数为人． 故答案为：50，12； 【小问2详解】 解：． 答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共12种等可能的情况，其中刚好抽到1名男生与1名女生情况有6种， ∴从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率. 22. 第三届湖南旅发大会后，衡阳“雁城之星”摩天轮（图1）人气飙升．登临其上，东揽湘江碧波，西望廻雁背峰，南眺东洲烟雨，北见石鼓书韵，每旋转一周，皆是雁城诗意与山河画卷的完美交融．如图2，欢欢从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走米到达点，再经过一段坡度（坡面的垂直高度与水平方向的距离的比）为，坡长为米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向左行走米到达点．在处欢欢操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得点处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为．所在的直线垂直于地面，垂足为，点、在同一平面内． （1）求的高度； （2）求的高度．结果精确到1米，参考数据：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）作，由题意得：，，根据即可求解； （2）由（1）可知：；求出，推出，，即可求解； 【小问1详解】 解：作，如图所示： 由题意得：， ， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可知：； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 23. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴． ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质推出，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，即可证明； （2）由圆周角定理得到，由勾股定理求出，证明可求出，证明四边形是矩形得，，从而，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵为直径， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是掌握圆周角定理． 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 关于出票问题的探究 素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于蒸湘区的衡阳保利大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（）原则上不得超过． 素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，蒸湘街道某社区通过民生微实事项目平台，联合衡阳保利大剧院联手推出惠民观剧活动、辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得！ 素材3 2025年4月20日的一场话剧推出、两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动、已知种票8张、种票6张、惠民票4张，共需2820元；购买2张种票比购买1张种票多出的费用，可购得惠民票2张． 问题解决 任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则这场话剧观剧人数有___________人． 任务2 设该话剧种票价元，种票价元，求出该话剧的种、种票价． 任务3 若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图所示函数图象（其中取正整数）．请写出该场话剧票务收入（、和惠民三种票的总收入）与的函数表达式，并指出当为何值时票务收入有最大值． 【答案】任务1：900人；任务2：种票价为220元，种票价为150元；任务3：，当时，W取得最大值，最大值为141000． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数解析式是关键． 任务1：上座率（）原则上不得超过，且上座人数恰好达到相关规定的上限，据此求解即可； 任务2：种票8张、种票6张、惠民票4张，共需2820元；购买2张种票比购买1张种票多出的费用，可购得惠民票2张．据此列出方程组，即可求解； 任务3：先利用待定系数法求出y关于x的函数关系式，再列出话剧票务收入W与x的函数表达式，根据一次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：任务1：人， 即这场话剧观剧人数有900人； 任务2：根据题意得： ， 解得：， 答：该话剧的种票价为220元，种票价为150元； 任务3：设y与x的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， ∴ ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，最大值为141000． 25. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，则的值为___________． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，试判断与的位置关系并求出的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形、若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）4或16或12或 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可求出，从而求出． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： （3）如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3），的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，易证是等腰直角三角形，得到，再证明是等腰直角三角形，根据题意得到是等腰直角三角形，求出直线的解析式为，再求出抛物线的对称轴为，得到，求出，，，设，求出，根据，则分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作轴于点M，求出直线的解析式为，设，再求出直线的解析式为，求出点，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：存在， 由（1）知抛物线的表达式为：， 将代入，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵以为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， ∴点P在点G上方， 设直线的解析式为， 则，解得： 设直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴点G的横坐标为， ∴， ∴，， ∴，，， 设， ∴， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：过点作轴于点M， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵，的面积为的面积为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时，， ∴，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市船山实验中学2025年上学期期中考试试卷 初三数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题．在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意答题要求． 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸： 本试卷共3道大题，26道小题，满分125分（含卷面分5分），时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯结构是中国传统建筑，家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 将“水中捞月”、“守株待兔”、“瓮中捉鳖”三个成语写在三张无差别卡片上，卡片置于暗箱中摇匀后随机从中抽取1张卡片，抽到卡片上的成语是不可能事件的概率为（　　） A. 0 B. C. D. 1 6. 根据乘联会数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源车国内月销量达到万辆，预计年第一季度新能源车国内总销量可以达到万辆．若设年1月至3月新能源车销量的月平均增长率为，依题意，可列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（ ） A. 27° B. 29° C. 35° D. 37° 9. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 12. 点在第_________象限． 13. 定义新运算，则方程的解是___________． 14. 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为________． 15. 如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为___________． 16. 如图，在直角中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ②分别以点为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点； ③连接交与点； 则______． 17. 如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____． 18. 如图，在正方形中，，点边中点，点、分别是边的动点，连接，且始终保持，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，19、20题每题6分，21、22题每题8分，23、24每小题9分，25、26每小题10分，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值： ，其中a，b是一元二次方程的两个实数根． 21. 为积极落实《关于在义务教育学校实施“专项行动”的通知》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（：篮球：：足球：：排球：：羽毛球：：乒乓球），学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查、绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）．请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次调查的学生总数是___________人，选择羽毛球的学生人数为___________人； （2）扇形统计图中，求项目所对应的扇形圆心角的度数； （3）踢足球项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 22. 第三届湖南旅发大会后，衡阳“雁城之星”摩天轮（图1）人气飙升．登临其上，东揽湘江碧波，西望廻雁背峰，南眺东洲烟雨，北见石鼓书韵，每旋转一周，皆是雁城诗意与山河画卷的完美交融．如图2，欢欢从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走米到达点，再经过一段坡度（坡面的垂直高度与水平方向的距离的比）为，坡长为米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向左行走米到达点．在处欢欢操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得点处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为．所在的直线垂直于地面，垂足为，点、在同一平面内． （1）求的高度； （2）求的高度．结果精确到1米，参考数据：， 23. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 24. 请根据以下素材，完成探究任务． 关于出票问题的探究 素材1 为提升市民审美品味和高雅文化消费，位于蒸湘区的衡阳保利大剧院，每月都会在综合剧场（可容纳1200名观众）上演高品质的若干场剧目．按文化和旅游部的相关规定，剧院等演出场所的上座率（）原则上不得超过． 素材2 “每月一剧”惠民计划：为进一步提升辖区居民的幸福感，丰富居民群众的精神文化生活，蒸湘街道某社区通过民生微实事项目平台，联合衡阳保利大剧院联手推出惠民观剧活动、辖区居民只需40元即可购买一张当月上演的一场剧目前往观剧，数量有限，先购先得！ 素材3 2025年4月20日的一场话剧推出、两种观赏票价，并参与“每月一剧”惠民购票活动、已知种票8张、种票6张、惠民票4张，共需2820元；购买2张种票比购买1张种票多出的费用，可购得惠民票2张． 问题解决 任务1 据悉，该话剧深受广大市民欢迎，上座人数恰好达到相关规定的上限，则这场话剧观剧人数有___________人． 任务2 设该话剧种票价元，种票价元，求出该话剧的种、种票价． 任务3 若种票的持票人数与种票的持票人数满足如图所示函数图象（其中取正整数）．请写出该场话剧票务收入（、和惠民三种票的总收入）与的函数表达式，并指出当为何值时票务收入有最大值． 25. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，则的值为___________． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，试判断与的位置关系并求出的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形、若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： （3）如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $