2026年高考数学考前仿真冲刺卷05（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 聚焦高考高频考点，通过生活情境（如玩具卡片收集）与几何、概率等知识融合，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高三综合复习与模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、圆锥体积、函数性质、统计概率等|梯度设计，从基础概念（如集合运算）到复杂推理（如导数零点）| |填空题|3题15分|等比数列、概率、立体几何体积|第13题“取卡片停止”情境，考查数据意识| |解答题|5题77分|三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计|第19题以玩具收集为背景，结合几何分布期望与证明，体现应用意识；立体几何折叠问题考查空间观念与逻辑推理|

2026年高考数学考前仿真冲刺卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合， ，若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求集合，再由即可求解. 【详解】由题意得：，所以，所以， 由，所以. 2．样本数据的分位数为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【详解】由小到大排列为，一共有8个数据， 因为，所以分位数为. 3．已知等比数列的首项为1，前n项和为，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．1或 【答案】C 【分析】根据等比数列的公比是不是，结合等比数列的前n项和公式分类讨论进行求解即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 当时，，不符合题意； 当时，， 所以. 4．已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 6．已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 结合的图象可得， 所以， 所以. 7．已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用抛物线的定义求证，再在直角梯形中计算即可. 【详解】连接，因为，所以， 由抛物线的定义可知，，所以，则， 同理可得，，故， 由，可得，， 故在直角梯形中，， 因为为线段的中点，所以. 8．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】设，若，则， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，若取，显然满足，但，故C错误； 对于D，若取，则，而，，故D错误. 10．下列说法正确的是（    ） A．若事件、满足：，，且，则事件、相互独立 B．已知一组成对数据、、、的经验回归方程为，则 C．是、、相互独立的充分条件 D．若，记函数，，则的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】利用条件概率公式结合事件独立性的定义可判断A选项；利用回归直线过样本中心点可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性和函数的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若事件、满足：，，且， 即， 由条件概率公式可得，即， 故事件、相互独立，A对； 对于B选项，由题意可得，， 因为回归直线过样本中心点，即，解得，B错； 对于C选项，对于事件、、， 若，，，及成立， 则、、相互独立，缺一不可，故，不能推出、、相互独立，C错； 对于D选项，若，记函数， 由正态密度曲线的对称性可知， 即，即，故函数的图象关于点对称，D对. 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为2 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过四点的球的半径的最小值为 【答案】ABD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C错误； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2， 则，设，球心，半径为， 由，得到， 解得，，所以， 又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 【答案】15 【分析】利用等面积法及正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知，所以， 又由余弦定理可知， 即，则的周长为. 13．的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 【答案】120 【分析】根据二项式的展开式，分类讨论产生的情况，求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为： 展开式中的系数有两种情况： 情况1：第一个括号的乘中的项，则， 系数为：. 情况2：第一个括号的乘中的对应项， ，乘完后要得到，则， 系数为：. 合并两种情况的系数：，即的系数为. 14．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 【答案】/ 【分析】设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，这样结合双曲线的定义可把和用表示，再应用余弦定理可得关系，从而得离心率． 【详解】 设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，， 所以， 又，即，，则， 因为，所以， 由余弦定理得， 即， 得，即 所以离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知. (1)求，的值； (2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，列出方程组，求出结果即可； （2）根据二项分布的性质，求出随机变量的分布列，进而求出期望. 【详解】（1）依题意可知组距为，则， 解得. （2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即； 则， ， ， ， . 分布列如下表所示. 0 1 2 3 4 故. 16．如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理证明平面，再应用线面平行性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）分别是线段的中点，. 在三棱柱中，四边形为平行四边形，则. 又平面平面， 平面. 平面，平面平面， . （2）平面平面. 又两两相互垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 设平面的法向量为，则 令，则，得. 平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则. 由题图可知，为钝角，则二面角的大小为. 17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若的面积为，求B； (3)若b＝2，当角A最大时，求的面积． 【答案】(1)0； (2)； (3)． 【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出； （2）由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求； （3）由余弦定理可得，进而得，利用基本不等式可求角的最大值，进而可求△ABC的面积. 【详解】（1） ∵， 由正弦定理可得：， ∴， ∴， 两边同时除以cosBcosC， 可得：； （2） 因为，则， 结合正弦定理得，， 在△ABC中，， 即， 整理可得， 所以， 即， 解得，又， ∴． （3） ， ∴ ， ， ∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时A取到最大值， ∵，∴当A最大时， 此时． 18．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，若函数仅有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【分析】（1）利用导数的性质结合多次求导法判断单调性即可. （2）法一对参数范围进行分类讨论，结合导数的性质判断零点个数检验即可，法二利用分离参数法并结合导数求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 而的图象在点处的切线方程为， 可得，则，解得， 故，则， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以恒成立，故在上单调递增． （2）法一：由题意得，显然， 则是唯一零点，， ①当时，恒成立，故在上单调递增，满足条件； ②当时，令，解得， 当时，则在上单调递减； 当时，则，所以在上单调递增； （i）当时，，且在上单调递增， 故，而， 所以，使，故，有两个零点，不合题意； （ii）当时，，故，满足条件； （iii）当时，，且在上单调递减； 故，而， 所以，使，故有两个零点，不合题意； 综上所述，. 法二：由题意得，显然，则是唯一零点． 当时，分离参数得，令，则， 设，则， 当时，单调递减； 当时，则单调递增，所以， 故，所以在上单调递增，在上单调递增， 又时，时，， 又由洛必达法则知， 所以当时，方程无解， 综上所述，． 19．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【详解】（1）由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. （2）（i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧.    2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学考前仿真冲刺卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合， ，若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．样本数据的分位数为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．已知等比数列的首项为1，前n项和为，若，则（　　） A． B．1 C．2 D．1或 4．已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，，是图象上的两个顶点，为坐标原点，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 7．已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，由，分别向准线引垂线，，垂足分别为，.设，，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B． C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．若事件、满足：，，且，则事件、相互独立 B．已知一组成对数据、、、的经验回归方程为，则 C．是、、相互独立的充分条件 D．若，记函数，，则的图象关于点对称 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为2 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过四点的球的半径的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______． 13．的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 14．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知. (1)求，的值； (2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望. 16．如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)若，求二面角的大小. 17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若的面积为，求B； (3)若b＝2，当角A最大时，求的面积． 18．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，若函数仅有一个零点，求的取值范围． 19．已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $