专题05 三角函数与解三角形（1年汇编）（全国通用）2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2026年高考真题及模拟题，聚焦三角函数与解三角形三大核心考点，融合创新考法与真题命题趋势，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|三角变换（全国Ⅱ卷二倍角公式求值）、图像性质（全国Ⅰ卷奇偶性与单调性综合）、解三角形（北京卷动态几何范围）|多性质综合锁定参数，如全国Ⅰ卷已知奇偶性与单调性反求参数| |填空|约6题|同角关系（上海卷“知一求二”）、图像变换（北京卷平移与对称）|符号辨析与图像参数求解，如上海卷结合角范围确定函数值符号| |解答|约7题|三角函数周期与最值（天津卷）、解三角形证明与计算（全国Ⅰ卷）、物理情境应用（上海卷简谐振动导数）|跨学科融合，如上海卷将三角函数导数与简谐振动速度结合考查实际意义|

专题05 三角函数与解三角形 考点分类 2026年高考命题解读 创新考法 考点01 三角变换与求值 回归运算本质，强调逻辑链条。试题主要考查二倍角公式、同角三角函数关系等基本恒等变换（如全国Ⅱ卷、上海卷）。重点在于根据已知条件选择合适的公式变形，并结合角的范围（如象限角）确定函数值的符号。 “知一求二”与符号辨析： 如全国Ⅱ卷第2题，利用平方关系、二倍角公式求值。这种考法要求考生对公式变形非常熟练，并能准确判断三角函数在不同象限的符号，避免“会而不对”的情况。 考点02 三角函数的图像与性质 突出“数形结合”与“综合性质”。试题不仅考查单一的单调性或奇偶性，而是将两者结合（如全国Ⅰ卷）。同时，图像变换（平移、对称）与参数 ω,φω,φ 的求解依然是难点（如北京卷、上海卷）。 多性质综合锁定与物理情境： 1. 性质互推（全国Ⅰ卷）： 已知函数是偶函数且在某区间单调递增，反求 参数。这需要考生综合运用奇偶性定义和导数与单调性的关系。 2. 物理模型（上海卷）： 将三角函数导数与简谐振动的速度、加速度结合，利用导数为0的点确定极值，考查了三角函数在物理中的实际意义。 考点03 解三角形 强化“几何直观”与“建系坐标法”。试题除了考查正弦、余弦定理的基本应用（如天津卷、全国Ⅰ卷），更出现了利用余弦定理结合不等式求范围的题目（如北京卷）。重点考查在动态几何中分析边角关系的能力。 强化“几何直观”与“建系坐标法”。试题除了考查正弦、余弦定理的基本应用（如天津卷、全国Ⅰ卷），更出现了利用余弦定理结合不等式求范围的题目（如北京卷）。重点考查在动态几何中分析边角关系的能力。 考点01 三角变换与求值 1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·上海卷·高考真题）已知，则__________． 考点02 三角函数的图像与性质 1．（2026·北京卷·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 3．（2026·天津卷·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·上海卷·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 5．（2026·北京卷·高考真题）15．已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值 ②，有3个解； ③，时，有最大值； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 6.（2026·天津卷·高考真题） 已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 7.（2026·北京卷·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 8.（2026·上海卷·高考真题）（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 考点03 解三角形 1．（2026·北京卷·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津卷·高考真题）在中，，，，则__________． 3．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 4．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 2．（2026·河南·三模）已知，且在第二象限，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东湛江·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 5．（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 6．（2026·河北保定·模拟预测）在信号处理领域，简谐信号是最基础的信号形式之一，其波动规律可通过三角函数描述．已知某简谐信号关于时间x的原始波动函数为，为适配传输需求，对该函数依次进行两次图象变换：①将的图像向左平移个单位长度；②将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到目标信号函数的图像，则 （    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 9．（2026·山东济宁·三模）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 10．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 11．（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 12．（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 14．（2026·云南玉溪·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 三、填空题 15．（2026·河北张家口·三模）若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 16．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 17．（2026·浙江·三模）在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 四、解答题 18．（2026·云南·三模）在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. (1)证明：； (2)若，且，求. 19．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 20．（2026·山东济南·模拟预测）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 21．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)当四边形的面积取最大值时，求. 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 答案版 考点01 三角变换与求值 1．C 2．C 3． 考点02 三角函数的图像与性质 1．C 2． 3．C 4． 5．①②③④ 6.【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 7.【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 8.【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 考点03 解三角形 1．A 2．/ 3．【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 4．【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 一、单选题 1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D 9．D 二、多选题 10．ABD 11．AC 12．AC 13．ABD 14．BCD 三、填空题 15．4 16． 17 四、解答题 18．【答案】(1)由，得， 因为，所以，化简得，故. (2) 【分析】（1）根据和三角形面积公式化简证明； （2）根据向量的数量积、余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，因为，所以，化简得， 又因为，所以， 所以，故， 所以的面积. 19．【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 20．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理求即可； （2）根据正弦定理结合正弦和差公式求边长即可． 【详解】（1）解：在中，由余弦定理知， 所以， 在中，由正弦定理知， 所以； （2）因为，所以， 在中，，， 由正弦定理知， 所以． 21．【答案】(1) (2). 【分析】（1）中由正弦定理求出，又在中，由余弦定理求出； （2）结合图形，设，利用正弦定理求得，根据三角形面积公式求出四边形的面积表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得. 【详解】（1）由题得，， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由余弦定理得： . 所以. （2）设，， 则，， 在中，由正弦定理得， 所以四边形的面积 . 因为，所以， 所以当，即时，四边形的面积取最大值. 即当四边形的面积取最大值时，. 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点分类 2026年高考命题解读 创新考法 考点01 三角变换与求值 回归运算本质，强调逻辑链条。试题主要考查二倍角公式、同角三角函数关系等基本恒等变换（如全国Ⅱ卷、上海卷）。重点在于根据已知条件选择合适的公式变形，并结合角的范围（如象限角）确定函数值的符号。 “知一求二”与符号辨析： 如全国Ⅱ卷第2题，利用平方关系、二倍角公式求值。这种考法要求考生对公式变形非常熟练，并能准确判断三角函数在不同象限的符号，避免“会而不对”的情况。 考点02 三角函数的图像与性质 突出“数形结合”与“综合性质”。试题不仅考查单一的单调性或奇偶性，而是将两者结合（如全国Ⅰ卷）。同时，图像变换（平移、对称）与参数 ω,φω,φ 的求解依然是难点（如北京卷、上海卷）。 多性质综合锁定与物理情境： 1. 性质互推（全国Ⅰ卷）： 已知函数是偶函数且在某区间单调递增，反求 参数。这需要考生综合运用奇偶性定义和导数与单调性的关系。 2. 物理模型（上海卷）： 将三角函数导数与简谐振动的速度、加速度结合，利用导数为0的点确定极值，考查了三角函数在物理中的实际意义。 考点03 解三角形 强化“几何直观”与“建系坐标法”。试题除了考查正弦、余弦定理的基本应用（如天津卷、全国Ⅰ卷），更出现了利用余弦定理结合不等式求范围的题目（如北京卷）。重点考查在动态几何中分析边角关系的能力。 强化“几何直观”与“建系坐标法”。试题除了考查正弦、余弦定理的基本应用（如天津卷、全国Ⅰ卷），更出现了利用余弦定理结合不等式求范围的题目（如北京卷）。重点考查在动态几何中分析边角关系的能力。 考点01 三角变换与求值 1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）（2026·全国二卷·高考真题）已知为第二象限角，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 3． （2026·上海卷·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【详解】． 考点02 三角函数的图像与性质 1．（2026·北京卷·高考真题）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3个. 2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 3．（2026·天津卷·高考真题）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 4．（2026·上海卷·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________． 【答案】 【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式． 【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4， 又， 所以，解得，故； 已知初速度为0，则，解得， 已知，则， 速度第一次达到4时用时秒，则，即， 此时． 5．（2026·北京卷·高考真题）15．已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值 ②，有3个解； ③，时，有最大值； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 6.（2026·天津卷·高考真题） 已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 7.（2026·北京卷·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 8.（2026·上海卷·高考真题）（2026·上海·高考真题）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据以及可得，即可求导以及点斜式求解直线方程， （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故， （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或. 考点03 解三角形 1．（2026·北京卷·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 2． （2026·天津卷·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 3．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 4．（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由题设，同理， 所以. 2．（2026·河南·三模）已知，且在第二象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在第二象限，所以， ，根据三角恒等式可得， 则， ，化简可得， 因为在第二象限，即， 所以，即在第一或第三象限，故， 因此解得. 3．（2026·广东湛江·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为， 所以，解得，于是． 当时，． 余弦函数在该区间内单调递减，所以在上单调递增， 所以． 5．（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 【答案】C 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 6．（2026·河北保定·模拟预测）在信号处理领域，简谐信号是最基础的信号形式之一，其波动规律可通过三角函数描述．已知某简谐信号关于时间x的原始波动函数为，为适配传输需求，对该函数依次进行两次图象变换：①将的图像向左平移个单位长度；②将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到目标信号函数的图像，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数伸缩、平移变换法则即可得到函数的解析式，进而求解． 【详解】将的图像向左平移个单位长度得到， 再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到， 所以． 7．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 8．（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当 时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 9．（2026·山东济宁·三模）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据图象的已知点坐标求出的解析式，根据平移变换求出的解析式即可判断 【详解】由题意可得，，得，所以 ， 又因为，所以当时，，函数； 由，得，所以，， 即，又，所以， 当时，，所以函数； 将的图象向右平行移动个单位长度，得函数， 所以，. 二、多选题 10．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】由题意得， ，是函数的图象的一条对称轴，故A正确， 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为， 要使为奇函数，则，解得， 又，则的最小值为，故B正确， 令，则，解得， 当时，或， 函数在区间上有2个零点，故C错误， 当时，令， 在上单调递增，函数在区间上单调递增，故D正确. 11．（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】根据，确定函数的最小正周期，再判断A的真假；利用点坐标和点处函数的性质，可求出的值，判断B的真假；确定点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，判断C的真假；利用二倍角公式，计算，可判断D的真假. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 12．（2026·安徽滁州·三模）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据可判断A；根据及即可判断B；根据两角和的正弦公式可判断C；代入可判断D. 【详解】， 解得，又，所以，故A正确； 联立及，解得， 所以，故B错误； 同理根据及，解得， 所以，故C正确； 因， 所以.故D错误. 13．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及，得，再由及二倍角公式得，即可求解，再结合选项即可依次判断． 【详解】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 14．（2026·云南玉溪·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（     ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 【答案】BCD 【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可. 【详解】设游客甲距离地面的高度与时间的函数为， 由题意，，所以， 由摩天轮转一周需要，知座舱转动的角速度约为，故， 则， 又游客甲坐2号舱位，当时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以， 即，所以，所以， 不妨取，则，故，A错误； 由于摩天轮旋转一周需24分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时， 需经历分钟，B正确； 根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为： ， 则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为米，C正确； 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降， 对于函数， 令得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降， 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同，D正确. 三、填空题 15．（2026·河北张家口·三模）若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得， 所以的最小正周期，当且仅当时等号成立. 所以最小正周期的最大值为4. 16．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【答案】 【详解】，， ，， ，， ， 又，． 17．（2026·浙江·三模）在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 【答案】 【分析】首先根据正弦定理及二倍角公式求出的值，再求出，，的值，利用诱导公式及和角公式得到的值，最后根据的面积公式进行求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 即， 即， 因为， 所以， 即， 因为，所以， ， ， ， 所以的面积. 四、解答题 18．（2026·云南·三模）在中，角的对边分别为，记的面积为，且满足. (1)证明：； (2)若，且，求. 【答案】(1)由，得， 因为，所以，化简得，故. (2) 【分析】（1）根据和三角形面积公式化简证明； （2）根据向量的数量积、余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，因为，所以，化简得， 又因为，所以， 所以，故， 所以的面积. 19．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 20．（2026·山东济南·模拟预测）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理求即可； （2）根据正弦定理结合正弦和差公式求边长即可． 【详解】（1）解：在中，由余弦定理知， 所以， 在中，由正弦定理知， 所以； （2）因为，所以， 在中，，， 由正弦定理知， 所以． 21．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)当四边形的面积取最大值时，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）中由正弦定理求出，又在中，由余弦定理求出； （2）结合图形，设，利用正弦定理求得，根据三角形面积公式求出四边形的面积表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得. 【详解】（1）由题得，， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由余弦定理得： . 所以. （2）设，， 则，， 在中，由正弦定理得， 所以四边形的面积 . 因为，所以， 所以当，即时，四边形的面积取最大值. 即当四边形的面积取最大值时，. 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $