精品解析：广东惠州市仲恺高新区第七学校2025-2026学年八年级第二学期期中考数学卷

仲恺高新区第七学校八年级第二学期期中考数学卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正多边形的每个外角是，则这个正多边形为（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形 4. 如图，在中，，D为边的中点，，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 6. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A. 5m B. 7m C. 8m D. 9m 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 方程思想 9. 如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 10. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 13. 命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的数量关系，并说明理由． 18. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，是的中线，，交于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求线段的长． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第13题13分，第13题14分，共27分． 22. 阅读下列材料，然后回答下列问题： 在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题： （1）若a是的小数部分，则的值为 ； （2）若，求的值； （3）计算： 23. 已知，正方形，是上一点，交的延长线于． （1）在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； （2）如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： （3）如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仲恺高新区第七学校八年级第二学期期中考数学卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，故不能作为直角三角形三边长度； B、因为，故能作为直角三角形三边长度； C、因为，不能组成三角形，故不能作为直角三角形三边长度； D、因为，故不能作为直角三角形三边长度． 故选：B． 2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 解：A、，可化简，原式不是最简二次根式； B、，可化简，原式不是最简二次根式； C、，可化简，原式不是最简二次根式； D、不可化简，原式是最简二次根式，符合题意． 故选D． 3. 已知正多边形的每个外角是，则这个正多边形为（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形每个外角都相等，且外角和为，由此即可求解． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，正多边形的每个外角是， ∴， ∴这个正多边形为正六边形， 故选：． 【点睛】本题主要考查正多边形的外角和的定义和性质，掌握正多边形每个外角都相等，且外角和为的知识是解题的关键． 4. 如图，在中，，D为边的中点，，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解答． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，则CD=AB， ∵AB=6， ∴CD=AB=3， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，属于中考常考题型． 5. 如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（ ） ∵， ∴， 又∵（ ）， ∴四边形是平行四边形． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 6. 如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断之前的高度为（　　） A. 5m B. 7m C. 8m D. 9m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为，由题意和勾股定理，得：， ∴木杆折断之前的高度为； 故选C． 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用二次根式的运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 分类思想 C. 数形结合思想 D. 方程思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 9. 如图，在中，，E，F，G，H分别是边的中点，连接，则对四边形的形状描述最准确的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：连接、， 四边形为平行四边形，， 平行四边形为菱形， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 故选：B． 10. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于以、为直径的两个半圆面积加上 的面积，再减去以为直径的半圆面积；利用勾股定理和圆面积公式化简可得阴影部分面积等于 的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得， ∵半圆的面积公式为， ∴  ∵， ∴， ∴ ∵，，  ∴． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 13. 命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 真 【解析】 【分析】先交换原命题的条件与结论得到逆命题，再结合平行四边形的性质判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”中，条件为“四边形的对角线互相平分”，结论为“四边形是平行四边形”， 交换条件与结论，得到逆命题为“平行四边形的对角线互相平分”， 根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分， 逆命题是真命题． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别是，上的动点，连接、．若、分别为、的中点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作于，先根据三角形的中位线性质得到，则要求的最小值只需求的最小值；根据垂线段最短知当时，最小，最小值为的长度；利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可求解． 【详解】解：连接，过作于， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 则要求的最小值只需求的最小值； 当时，最小，最小值为的长度， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，即可得，，然后利用平行线的性质，求得，又由，得到，即可证得，继而可得． 【详解】解：略 18. 如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点． （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 根据勾股定理得，，，， ， 为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； 【小问1详解】 解：每个小正方形的边长均为1， 根据勾股定理得，； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，是的中线，，交于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， 是的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）证明，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由（1）可知，，得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 20. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量校园内旗杆的高度 测量工具 皮尺等 模型抽象 注：线段表示旗杆，垂直地面于点 测绘过程 第一次操作：如图，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度．第二次操作：如图，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点处用皮尺量出的长度． 数据信息 图中的长度为；图中的长度为． 请根据表格中提供的信息，求学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设学校旗杆的高度为，则图②中，，，，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设学校旗杆的高度为，则图中，，，， 在中，由勾股定理得： ∴． 解得：， 答：学校旗杆的高度为． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第13题13分，第13题14分，共27分． 22. 阅读下列材料，然后回答下列问题： 在进行二次根式的运算时，我们常常会遇到这一类的式子，其实，我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．根据以上信息，完成下列问题： （1）若a是的小数部分，则的值为 ； （2）若，求的值； （3）计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）估算出，则可得到，进而得到，再分母有理化即可得到答案； （2）先分母有理化得到，再求出的值，根据可得答案； （3）设n为正整数，则，据此把所求式子的每一项裂项，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：设n为正整数， 则 ， ∴ ． 23. 已知，正方形，是上一点，交的延长线于． （1）在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； （2）如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： （3）如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：；证明如下： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴； ∵，， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3） 解：； 理由如下：如图，过点C作交于Q，连接； ∵四边形为正方形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵平分，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得；证明即可得； （2）过点P作于点N，则得；由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得，再由勾股定理即可求得； （3）过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明，得，从而得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点P作于点N，则； ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 由（1）知，； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，由勾股定理得； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，角平分线的性质定理等内容，熟练掌握这些知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $