宁夏回族自治区银川一中2026届普通高等学校招生全国统一考试全真数学模拟卷（二）

**基本信息** 以芯片检测、气温与海拔关系等真实情境为载体，全面覆盖函数、立体几何、概率统计等核心知识，注重逻辑推理与数学建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、正态分布、函数性质、等差等比数列|结合偶函数单调性（题3）、正态分布命题真假判断（题2），考查数学思维严密性| |填空题|3题/15分|复数、双曲线离心率、函数最值|双曲线与平面几何结合（题13），体现数学眼光的空间观念| |解答题|5题/77分|概率统计（芯片检测）、立体几何（三棱锥面面垂直）、函数导数（单调性与证明）|芯片检测概率分布（题15）、函数不等式证明（题19），突出数学语言表达与创新应用能力|

2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x∈N|x2-4x≤0}，集合CB=[-1,1],R为实数集，则A∩B=() A.(1,4] B.(1,+o) C.{1,2,3,4} D.{2,3,4 2.已知随机变量X服从正态分布N(山，σ2)，下列四个命题： 甲：P(X>m+1)>P(X<-2): 乙：P(X≥m)=0.5: 丙：P(X≤m)=0.5; 丁：P(-1<X<m)<P(m+1<X<+2), 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 1 3.己知偶函数了y)在(-∞，0)上单调递增，若a=tanb=3、 5,则(） 5,c= 3 A.f(a)<f(c)<f(b) B.f(b)<f(c)<f (a) C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(a)<f(b)<f(c) 4.若m(a+)=号cos(a-p）月3，则ma+m-4 mnctaB=() A.-4 B.1 C.2 D.4 5.若(2x+1)(x-1)°=4+ax+a,x2+…+a,x6(a≠0)，则() A,n=6 B.4=10 C.4+42+…+4=1 D.4+242+30+.+6a。=2 数学试题第1页（共4页） 6.某地区气温T(单位：℃)与海拔h(单位：100m)之间的关系可以由T=T,em近似描 述，其中T,为地面温度，m为常数.已知某时段该地区海拔为3（即300m)、5(即500m), 两处的气温分别为24℃、16℃.下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时 段为()（参考数据：1g2=0.301,lg3=0.477) 时段 早晨 中午 傍晚 夜晚 T,(C) (101-62,101.66 101.6,10.707 100,10747 102-74,10-787 A.早晨 B.中午 C.傍晚 D.夜晚 7.已知直线y=2x-1平分圆C1:x2+y2-x-2y+1=0的面积，圆C1与圆C2: x2+y2+4x+y-3=0外切，则n=() A.-4 B.-2 C.6 D.7 8.若函数f(x)的定义域为(0，+o),且f(x+1)-(x+1)f(x)=2x(x+1),f()=1,则 f(2026)=() A.2026×2027B.2026×2028 C.2026×4051 D.2026×4052 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列{a},{b}分别是等差、等比数列，则必有() A.as+a=a2 B.a6+a7+a2o=3a1 C.bbbo=b,bb D.b+b2,b+b,b+b成等比数列 10.抛物线C:y2=2x的焦点为F,坐标原点为O,A,B为抛物线上的两个动点，且满足 OF=cos20OA+sin0OB,设A,B到y轴的距离分别为d,d2,则以下说法正确的有() A.直线AB过点F B. 1+1- LAF BF 2 C.d,+4d2的最小值为2 D.当4+4d,取最小值时，cos28=- 3 数学试题第2页（共4页） 11.在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，P,Q分别为棱AB,BC的中点，则以下四个 结论正确的是() A.棱C,D上存在一点M,使得AMI∥平面BPQ D B.点B在线段PO上，则BE+DB的最小值是3 2 8 C.过AC且与平面BPQ平行的平面截正方体所得截面面积为 D.过P的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数3,22满足=2=1，且3+22=1，则3-2= 13.已知点F是双南线日若是-K0Q6>0的左焦点，经过原点O的直线与双曲线日 交于P、Q两点，若PF=5QF且∠PFQ=60,则双曲线E的离心率为 14.函数f(x)=e2x-(2x+1)e+x2+x的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信 号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外 观完全相同、 (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯 片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X,求X的分布列与数 学期望。 数学试题第3页（共4页） 16.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC, AB⊥BC,AB=BC=PC=2,D为AC的中点，CE⊥PD,垂足为E, C. F是线段BD上的点， (1)证明：平面CEF⊥平面PBD: AZ- (2)求平面CEF与平面PBC夹角的余弦值的最大值， 17.(15分) 已知数列{a}为等差数列，a2+4,=20,44+4=16. (1)求数列{a}的通项公式： (2)定义数列b}满足递推公式b+1=2b.+1,b=1.求数列{a.·(b,+1}的前n项和S: 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，点R-2.0)为椭圆E。+,1Q>6>0)的左焦点，点P为 E上一点，F为E的右焦点，且△PE,的周长为12. (1)求椭圆E的标准方程： (2②)若直线x=-4与x轴的交点为7，过点T的直线与B交于AB两点，设直线 A,B耳的斜率分别为k,k2,k+k,是否为定值？若是，则求出这个定值：若不是，请说 明理由； 19.(17分) 已知函数f(x)=ae-1+x-2,其中aeR (1)讨论f(x)的单调性： (2)若a≥1，证明：当x>0时，f(x)22hx; e诺a=1,设0<m<1,且/侧+=0，证明：0m叫小f水0 数学试题第4页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数学参考答案及评分标准 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D C A C 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案BC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3. 13. 14.0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)设“至少抽到1个乙类芯片”为事件A,则A表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯 片”，则P4=1-P(a=1S=1-。3 C 15-5 .4分 (2)由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5. .5分 P(X=2)= =i5 P(x-3)-ccx12 _1 .7分 C6415 1248 Px4S9七e}3PX=)=155g5 .9分 所以X的分布列为： 11分 X 15 15 15 15 E(X)=2 +3× 2 +4x +5x8-64 15 15 1 1515 13分 数学试题参考答案第1页（共11页） 16.(15分) 解：(1)因为PC⊥底面ABC,BDC底面ABC,所以PC⊥BD又AB=BC,D是AC中点， 故BD1AC,1分 由于PCOAC=C,PC,ACC平面PAC,因此BDL平面PAC,因为CEC平面PAC,所 以BD1CE,.2分 又因为CE⊥PD,PDOBD=D,PD,BDC平面PBD,所以CE⊥平面PBD,3分 又因为CEC平面CEF,所以平面CEF⊥平面PBD:… .4分 (2)以B为坐标原点，AB,BC所在直线为x,y轴，过B作平面ABC的垂线B=为z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系.5分 AB=BC=PC=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(2,0,2),D11,0),即CD=(11,0),DP=(L,-12), 设DE=DP=(2,-,22),则CE=CD+DE=（1l,0)+(,-,22)=(-1+,1-元，2)，7分 因为CE⊥PD,所以C8.DP=(-1+,1-,2)-(L,-12)=0→-1+2-1+2+4=0→元= 3 限即C8=2,2,2,8分 因为F在BD上，所以可设F(t,t,0),t∈[0，]，则CF=t-2,t,0), 由图可知平面PBC的法向量为=(0，L,0),.9分 设平面CEF的法向量n=(x,y,z), cg=-2x+2y+2=0 则 333 ，令x=-t,可得i=（-t,t-2,20-)）,10分 CF,n=(t-2)x+y=0 mn -2 设平面CEF与平面PBC夹角为O,则cos8 2-t 网网 V-t)}+(t-2)+41-t)}V62-12t+8’ 11分 2-t 1 令2-1=5，则m6-286--12-r8 6s2-12s+8, .12分 设06=6=+号 .13分 当时，即t=2-=子eo.小e, 3 .14分 所以os8= ，即平面CBF与平面P8C夹角的余弦值的最大值为 1√6 .15分 数学试题参考答案第2页（共11页） 17.(15分) 解：(1)设首项为风1，公差为d1分 2a+9d=20 根据题意可得方程组 4=1 2a+7d=16 ,所以解得 d=2 3分 所以a。=1+2(n-1)=2n-1..4分 (2)因为b+1=2bn+1,b=1 所以b1+1=2(亿n+1),+1=2.5分 所以{b。十1是首项为2，公比为2的等比数列.……6分 所以b.+1=2”,·(bn+1)=(2n-1)28分 设Sn=12+3.22+5.23+…+(21-1)2”9分 2S。=1-2+3.232++(21-3）-2”+(2n-1）2110分 所以，两式相减得：-S。=2+2-(22+2+…+2）(2n-1)-2111分 20-2）-(2n-）-2m=2-20-2）(om-102lB分 =2+ 1-2 =2-23+2.2+1-(21-1)）2”1=(3-2）21-6所以Sn=(21-3)2++6.15分 数学试题参考答案第3页（共11页） 18.(17分) 解：(1)设椭圆的焦距为2c,因为椭圆的左焦点为耳(-2,0)，所以c=2,.1分 因为点P为E上一点，耳为E的右焦点，所以P+PF=2a,2分 因为△PFE的周长为12，所以P+P+F引=2a+2c=12, 3分 所以a=4,b=2-C2=12.4分 所以椭圆E的标准方程为+y 1612 =1. 5分 (2)因为直线x=-与x轴的交点为7，所以T(-8,0).6分 当直线AB的斜率为0时，A,B,E三点共线且在x轴上，故k=飞2=0，此时k+k2=0； 7分 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=y-8,A(x,),B(x2,y2),.8分 x=y-8 联立x2,y2 =1化简消去x得：(3m2+4)>-48w+144=0,10分 1612 △=(-48)-4×(3m2+4)×144=144×16m2-144×4(3m2+4)=576(2-4)>0，,.11分 解得<-2或l>2,.12分 48L 144 所以，由韦达定理得y,+y, 3m2+4'y= 3m2+4' 13分 所以k+k=当。+少 +、当 x1+2x2+2y-6y2-6 14分 144 48L -6. 2四y2-6(y+y2) 2.。 32+432+4 m%y-6m+)+36m2,、144 48ml+36 16分 -601· 3m2+4 32+4 288ML 288m 32+43m2+4 28871-2881=0」 144m2-288m2+36(3m2+4）36(4-m2） 3m2+4 综上，k十k2为定值0.…。 17分 数学试题参考答案第4页（共11页） 19.(17分) 解：(1)f'(x）=ae-1+11分 ①若a≥0，则∫(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增.2分 ②若a<0,令f"(x)=0,得x=1-h(-… 3分 当x<1-ln(-a时，f'(x)>0,当x>1-n(-a)时，f'(x)<0,4分 所以f(x)在(-o,1-h(-a)上单调递增，在(1-h(-a),+o)上单调递减..5分 (2)当a≥1时，f(x)2e+X-2.6分 令8()=e+x-2-2nx,则g四)=e+13x>0. .7分 由于y=e,y=-名在(0，+o)单调递增，故g()在(0，+o）上单调递增8分 又g'(1)=0,所以当x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+o)时，g(x)>0,g(x) 单调递增9分 故8(x)n=8(1)=0,即g(x)≥0. 所以f(x)之2lhX得证.10分 (3)当a=1时，f(x)=e+x-2,f(x)在R上单调递增，且f(1)=0.11分 因为0<m<1,所以”1，所以日)0-0 只需证f(n)<0,即证wm<1. .12分 由(2)知fm)>2nm,f1>-21nm, 13分 所以f侧+ >2nm-2hh=0 .14分 又因为@)+=0，所以日}@ .15分 于>1n>1,所以>n,即m1<1 16分 72 因此f(w)<0,从而f(m)才 m <0得证.17分 数学试题参考答案第5页（共11页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数学部分试题解析部分 1.D 解：由题意得集合A={1,2,3,4},集合B=（-∞，-1)U(1,+o),所以A∩B={2,3,4. 2.D 解：若甲：P(X>m+1>P(x<m-2)是真命题，则>m+1+m-2=m- 2 2 ,此时甲为真， 1 若乙、丙为真，则=>- 由L=m可得P(m-1<X<m)=P(m<X<m+1),显然P(m<X<m+1)>P(m+1<X<m+2), 即丁为假，故D符合题意 3.B tanπV 解：因为0分名所以0<m君 2 63 ,故0<a<c, 又易知35， 5>3,即c<b,所以0<a<c<b 因为偶函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以f(x)在(0，+o)上单调递减， 故f(b)<f(c)<f(a) 4.D 4 解：由题意可得sin(a+B)=sinacos B+cosasin B= cos(a-B)=cosacosB+sinasinB=1 5 两式相比得ncosp+o=4,即aa+tamE=4, cosacos B+sinasin B 1+tan atanB 整理得tano+tanB-4 tanatan B=4. 5.C 解：对于A:因为a≠0，所以多项式a。+a4x+a,x2+…+a,x最高次项的次数为6， 所以n+l=6,所以n=5,故A错误； 对于B:4=2×C(-1)+1×C·(1)=-10,故B错误； 对于C:在(2x+1)(x-1)3=4+4x+a2x2+…+a,x6中， 数学试题参考答案第6页（共11页） 令x=0,得(2×0+1)(0-1)=4，所以a=-1, 令x=1,得4+a+a2+…+a。=(2×1+1)1-1)°=0， 所以4+a2+…+a。=0-a=1,故C正确： 对于D:对(2x+1)(x-1)=4,+ax+a4,x2++a4x两边同时求导， 得2(x-1)°+5(2x+1)(x-1=4+2ax+3a4x2…+6a,x3, 令x=1,得4+24，+3%++6，=21-1)+5(2×1+1)1-1)=0，故D错误. 6.A 6=,两式相除消去乙，得e,所以m=n子。 24=Te 3m 解：已知T=T,e,代入两组数据 2 21 代入24=Ze”,得24=e片- 3) \ 所以，=24 两边取对数得s7-1e24+子eg(6x8)+多e3-1eg2) 2 2 =1g3+3g2+31g3-31g2=31g3+31g2. 2 2 5 代入数据得1gT。≈。×0.477+二×0.301=1.1925+0.4515=1.644， 2 所以T,=1064,所以此时间段为早晨. 7.C 解：由题意知，圆C的圆心 在直线y=2x-1上，则1=m-1,解得=2， 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)=1,圆心为C,(1,1),半径为1. 又网准方为4小〔到-片7，国6为c2-到车轻 47, n 八2 n 因为圆G与8外切，所以CC-9-2+=T+7+1,解得=6 8.C 解：由题意得函数f(x)的定义域是(0，+)，且满足方程f(x+1)-(x+1)f(x)=2x(x+1), 数学试题参考答案第7页（共11页） 等式两边同除以xx+1)得+四-=2，令g()国，则有(x+1)-g)=2, x+1x 这说明当x是正整数时，数列{8(x}是一个公差为2的等差数列，由f()=1,得 g0=0=1，因此，对于正整数”有8(=g)+m-)x2=2n-1，则 1 f(n)=n×g(m)=n×(2n-1),所以f(2026)=2026×(2×2026-1)=2026×4051,故C正确. 9.BC 解：对于A选项，若4=21-1，则a+4=22,42=23,此时4+4，=42不成立，A错误. 对于B选项，设公差为d,则a,+a,+ao=3a+30d=3(4+10d)=3a1,B正确. 对于C选项，由于等比数列中有bb,=bb,且b,≠0，故bbb,=bb,b,,C正确. 对于D选项，当公比为-1时，b+b,=b,+b,=b+b。=0,所以b+b2,b+b4,b+b,不是等 比数列，D错误. 10.ACD 解：对于A,OF=cos280A+sin0oB,且cos20+sin0=1,.F,A,B三点共线，即直线AB 过点F,故A正确： 对于B,设直线AB与x轴正半轴的夹角为x.由抛物线C:y2=2x,得p=1: 由抛物线的定义得，AF=AFcosa+1,BFcosa+BF=1,解得AF= 1 .BF=- 1-c0s4 1+cosa 1+L=1-cos)+(1+cos)=2,故B错误： AF BF 对于C,过点A,B分别作AD⊥1，BE⊥l,分别交准线I于点D、E,交y轴于点M、N. d M 数学试题参考答案第8页（共11页） 则d=A子4B-片d+城=A4那- 2/ =AF+4BF-5 由8将和g2:d+-+4-s+g AF>0,BF>0, >0 .BF >0； AF BE 41阳5）582，盟x当票铝即4-时 等号成立，故C正确； 对于D,由C知d+4d2取最小值时，AF=2BF;由A知F,A,B三点共线，.AF=2FB; of=01+号4B=01+o5-aA)-01+o: 3 1 2 又Of=cos80A+sin00B,cos0=3,sim0= co020-200-1=2×1=-字放D正确 3 11.BCD 解：如图所示，建立空间直角坐标系：设D(0,0,0),AL,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0) p(.0D.40.o).z0.LD.C01D.rj.0.Q10. 选项A,设M0,m0≤m≤，BP=Q-号-BQ=(0- iiBP=0 _1y-z=0 2 设平面BPQ的一个法向量n=(x,y,z),则 iB,9=0 2-z=0 令-=-1，可得x=2,y=2,即1=(2,2，-1)， 若AMW平面B,PQ,则AMi=0,即3-2m=0→m=名>1，超出棱CD范围，A错误 2 选项B,B(,戊O)在PO上，满足x+y= 2 则：DB+B,B=V++VG-2+0-1)2+1=22x2-3x+9 =次正数对称特-兮训，代入得摄小准为，B正确 选项C,过AC,且平行于平面BPQ的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为 K0.0,4a.o.c@1.o,2o: 上底长4G=5,下底长9.棉形病石 3 数学试题参考答案第9页（共11页） 面积s=6W5+33-9 22W581 C正确 2 选项D,正方体外接球球心为0吗号为，半径术一号 正方体的外接球球心为O,所有过PQ的截面都经过直线PQ,设H是球心O在直线PQ上的 垂足，OH的长度就是O到直线PQ的固定距离d。 对任意过PQ的截面a,设O到a的距离为d, 由几何关系：OH⊥PQ,d是O到截面a的垂线段长度， 满足d=OH.si8≤OH(8为oH与平面法向量的夹角，范围[0，) 因此d(球心到截面的距离)的最大值就是Q时，H为PQ中点，HC记3 40. 8截面最小半径满足r2=R2-d=3, 则 及最小面只S一之=及，角. D 卡A B 125 解：在复平面中，设z,22分别与向量OZ,,OZ,对应， 由题意可得oZ=0z=1,oZ+0z=1, 因为oz+oz+oz-0z=2oz+z),即1+loz-oz=21+1)=4, 13.5I/5 44 解：设R是右焦点，由双曲线的对称性得PFO是平行四边形，PF引=OF叫， 所以P=51№=5pg,IP-PRl=2a,即4Pg=2a,Pgl=号则Pm- 因为∠PFQ=60°，所以∠FPE=120°， 由余弦定理得|EE=PF+P'-2PF‖PF cos120°， 即（用，即听测所以心本 数学试题参考答案第10页（共11页) F 14.0 解：f(x)=e2x-(2x+1)e*+x2+x=e2x-2.xe+x2-e+x=(ex-x)-(e-x) 设8()=e-x,则g'(x)=e-1, 当x<0时，8'(x)<0,8(x)单调递减， 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 则8(x)≥8(0)=1. 令t=e-x,t≥1，则(e-x)-(e-x)=-t, 因为y=t2-t在[，+o)上单调递增， 所以当t=1时，y=t-t取得最小值，且最小值为0. 数学试题参考答案第11页（共11页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：， 如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．若（），则（ ） A． B． C． D． 6．某地区气温（单位：℃）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为地面温度，为常数．已知某时段该地区海拔为3（即）、5（即），两处的气温分别为、．下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时段为（    ）（参考数据：，） 时段 早晨 中午 傍晚 夜晚 A．早晨 B．中午 C．傍晚 D．夜晚 7．已知直线平分圆：的面积，圆与圆：外切，则（   ） A． B． C．6 D．7 8．若函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列分别是等差、等比数列，则必有（    ） A． B． C． D．成等比数列 10．抛物线:的焦点为，坐标原点为，，为抛物线上的两个动点，且满足，设，到轴的距离分别为，，则以下说法正确的有（   ） A．直线过点 B． C．的最小值为2 D．当取最小值时， 11．在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（   ） A．棱上存在一点，使得平面 B．点在线段PQ上，则的最小值是 C．过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，满足，且，则 ______. 13．已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 14．函数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 16．（15分） 如图，在三棱锥中，底面ABC，=2，D为的中点，，垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 17．（15分） 已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 18．（17分） 在平面直角坐标系中，点为椭圆的左焦点，点为上一点，为的右焦点，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，设直线的斜率分别为．是否为定值？若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由； 19．（17分） 已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，； (3)若，设，且，证明：. 数学试题 第1页（共4页） 试卷第2页，共5页 数学试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数学参考答案及评分标准 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．． 13．/ 14．0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”，则. 4分 （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. 5分 ，， 7分 ，， 9分 所以的分布列为： 11分 2 3 4 5 . 13分 16．（15分） 解：（1）因为底面，底面，所以又，是中点，故， 1分 由于，平面，因此平面 ，因为平面，所以， 2分 又因为，，平面，所以平面 ， 3分 又因为平面 ，所以平面平面； 4分 （2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 5分 ， 则，，，，，即，，设，则， 7分 因为，所以， 即， 8分 因为在上，所以可设，， 则， 由图可知平面的法向量为， 9分 设平面 的法向量， 则，令，可得， 10分 设平面与平面夹角为，则， 11分 令，则， 12分 设， 13分 当时，即，， 14分 所以，即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 15分 17．（15分） 解：（1）设首项为，公差为 1分 根据题意可得方程组，所以解得． 3分 所以 4分 （2）因为 所以， 5分 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 6分 所以 ， 8分 设 9分 10分 所以，两式相减得： 11分 13分 所以． 15分 18．（17分） 解：（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的左焦点为，所以， 1分 因为点为上一点，为的右焦点，所以， 2分 因为的周长为12，所以， 3分 所以， 4分 所以椭圆的标准方程为. 5分 （2）因为直线与轴的交点为，所以． 6分 当直线的斜率为0时，三点共线且在轴上，故，此时； 7分 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，， 8分 联立，化简消去得：， 10分 ， 11分 解得或， 12分 所以，由韦达定理得，， 13分 所以 14分 16分 ， 综上，为定值0． 17分 19．（17分） 解：（1）. 1分 ①若，则恒成立，在上单调递增. 2分 ②若，令，得. 3分 当时，，当时，， 4分 所以在上单调递增，在上单调递减. 5分 （2）当时，. 6分 令，则，. 7分 由于 在单调递增，故在上单调递增. 8分 又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增. 9分 故，即. 所以得证. 10分 （3）当时，，在上单调递增，且. 11分 因为，所以，所以. 只需证，即证. 12分 由（2）知，， 13分 所以. 14分 又因为，所以， 15分 由于,所以，即. 16分 因此，从而得证. 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟卷（二） 数学部分试题解析部分 1．D 解：由题意得集合，集合，所以. 2．D 解：若甲：是真命题，则， 若乙、丙为真， 则，此时甲为真， 由可得，显然， 即丁为假，故D符合题意. 3．B 解：因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 4．D 解：由题意可得， . 两式相比得，即， 整理得. 5．C 解：对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6， 所以，所以，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：在中， 令，得，所以， 令，得， 所以，故C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得，故D错误. 6．A 解：已知，代入两组数据，两式相除消去，得，所以， 代入，得， 所以，两边取对数得 ， 代入数据得， 所以，所以此时间段为早晨． 7．C 解：由题意知，圆的圆心在直线上，则，解得， 所以圆的标准方程为，圆心为，半径为1. 又圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为圆与外切，所以，解得. 8．C 解：由题意得函数的定义域是，且满足方程， 等式两边同除以得，令，则有， 这说明当是正整数时，数列是一个公差为的等差数列，由，得，因此，对于正整数有，则，所以，故C正确. 9．BC 解：对于A选项，若，则，此时不成立，A错误． 对于B选项，设公差为，则，B正确． 对于C选项，由于等比数列中有，且，故，C正确． 对于D选项，当公比为时，，所以不是等比数列，D错误． 10．ACD 解：对于A，，且，三点共线，即直线过点，故A正确； 对于B，设直线与轴正半轴的夹角为.由抛物线，得； 由抛物线的定义得，，，解得，； ，故B错误； 对于C，过点，分别作，，分别交准线于点、，交轴于点、. 则，，； 由B得；； ，； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，由C知取最小值时，；由A知三点共线，； ； 又，，; ，故D正确. 11．BCD 解：如图所示，建立空间直角坐标系：设 ，得. 选项A，设，， 设平面的一个法向量，则， 令，可得，即， 若平面，则，即，超出棱范围，A错误. 选项B，在上，满足， 则： 二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确. 选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为： 上底长，下底长，梯形高， 面积，C正确. 选项D,正方体外接球球心为，半径. 正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离. 对任意过的截面，设到的距离为， 由几何关系：，是到截面的垂线段长度， 满足（为与平面法向量的夹角，范围）. 因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，， 则，截面最小半径满足，最小面积，D正确. 12. 解：在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为，即， 13．/ 解：设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，， 所以，又，即，，则， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，得，即所以离心率. 14．0 解：. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 令，，则， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为0. 答案第8页，共14页 数学试题参考答案 第7页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $