第4章 三角函数、解三角形大题规范解答 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了三角函数图象性质、三角恒等变换、解三角形（正弦定理、余弦定理）等核心考点，通过失分分析明确忽略角的范围、公式应用错误等高频失分点，归纳求角、求边、复合角三角函数值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+得分策略+思维建模”，如练案[29]含2025年上海春招卷等真题，“审题破题”构建“已知→公式→化简→性质”逻辑链，培养数学思维（推理、运算）和数学语言（模型构建）素养。通过得分点拆解（如余弦定理求边步骤）和易错警示，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第四章 三角函数与解三角形 高考大题规范解答——三角函数、解三角形 提能训练　练案[29] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [审题破题]　(1)围绕“特殊点代入＋三角方程求解”，利用余弦函数的图象与性质求解． (2)聚焦“三角恒等变换(和角、辅助角公式)＋余弦函数的性质(值域、单调性)”，先化简为标准型，再应用三角函数的基本规律，可以通过“已知→公式→化简→性质”的逻辑链，逐步拆解复杂运算，实现从“未知”到“已知”的化归与转化思想方法． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 失分分析：第(1)问忽略φ的范围，导致答案错误，第(2)问和角公式展开错误，导致后续合并项错误；辅助角公式应用失误(如特殊角取错)，导致值域和单调区间全错；值域求解错误，如化简后的系数错误，则值域必然错误；单调区间端点错误或周期遗漏，部分学生可能仅写出一个周期内的单调区间(如k＝0时的单调区间)；求解复合函数单调区间时，未考虑内层函数，导致结果错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A＋2B)的值． [审题破题]　通过“边角转化(正弦定理)→角的求解(同角关系)→边的求解(余弦定理)→复合角计算(和角公式)”，将分散条件串联，明确每一步的工具和逻辑． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 拆解问题目标如下： 问题 目标 核心思路 所需中间量 (1)求A 求角 利用正弦定理化边为角 tan A的值 (2)求c 求边长 利用c和b的关系及余弦定理求b b的值 (3)求sin(A＋2B) 复合角的三角函数值 利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求得sin B，cos B，进而利用二倍角公式求得sin 2B，cos 2B sin B，cos B， sin 2B，cos 2B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 得分保障：得分点：第(1)问的关键是由正弦定理化边为角，从而求出角A.第(2)问由余弦定理列方程求得b得2分，根据b与c的关系求c得1分，第(3)问由正弦定理求sin B得1分，再由同角三角函数的基本关系求cos B得1分，由二倍角公式求sin 2B和cos 2B各得1分，由和角公式计算sin(A＋2B)得2分． 失分分析：第(1)问忽略角的范围，导致答案错误．本题失分的核心原因是正弦定理、余弦定理运用不熟练，三角恒等变换公式不熟练，忽略隐含条件(如角的范围)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考情速递：凸显通性通法，注重数学本质：本题以学生熟悉的考查方式呈现，既确保了试卷的稳定性，又能很好地考查学生利用“几何与代数”知识解决数学问题的能力．对于“数学建模与数学探究”主线的考查贯穿全卷，解题时需要学生从数学的视角在情境中发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，最终解决问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 提能训练　练案[29] 返回导航 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(2025·上海春招卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝5. (2)若ab＝20，求△ABC的面积的最大值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高． 条件①：a＝6； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (1)求f(0)的值； (2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数f(x)存在且唯一确定．当f(x)在区间(0，a)(a>0)上仅有一个零点时，求a的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 谢谢观看 1．(13分)(2025·全国二卷，15)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，(0≤φ< π)，f(0)＝， (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间． [解析]　(1)因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ<π， 所以φ＝.(4分) (2)第1步：化简g(x) g(x)＝f(x)＋f ＝cos＋cos 2x ＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x ＝cos 2x－sin 2x(5分) ＝ ＝cos.(7分) 第2步：求g(x)的值域 因为余弦函数y＝cos θ的值域是[－1,1]， 令θ＝2x＋， 那么函数y＝cos θ的值域就是[－，]， 所以g(x)的值域为[－，]．(9分) 第3步：求g(x)的单调区间 易知余弦函数y＝cos θ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增， 令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)， 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(11分) 易知余弦函数y＝cos θ在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(13分) 得分保障：得分点：第(1)问的关键是根据f(0)＝得出φ的值．第(2)问化简得到g(x)＝cos 2x－sin 2x得1分，用辅助角公式化简正确得2分，求出值域得2分，写出单调递增区间和单调递减区间各得2分． 2．(14分)(2025·天津卷，16)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝. [解析]　(1)第1步：求tan A的值 因为asin B＝bcos A， 所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，(2分) 因为B∈(0，π)，所以sin B>0， 所以sin A＝cos A，所以tan A＝.(4分) 第2步：确定角A的值 又因为A∈(0，π)，所以A＝.(5分) (2)第1步：由余弦定理求b 因为c－2b＝1，a＝，cos A＝， 所以由a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得7＝b2＋(2b＋1)2－2b(2b＋1)×， 化简得b2＋b－2＝0，又b>0，故b＝1.(7分) 第2步：求c的值 由c＝2b＋1，得c＝3.(8分) (3)第1步：由正弦定理求sin B 由正弦定理＝，得＝， 解得sin B＝.(9分) 第2步：由同角三角函数的基本关系求cos B 因为b＝1<3＝c，所以B为锐角， cos B＝＝.(10分) 第3步：由二倍角公式求sin 2B和cos 2B sin 2B＝2sin Bcos B＝，(11分) cos 2B＝2cos2B－1＝.(12分) 第4步：利用和角公式计算sin(A＋2B) 所以sin(A＋2B)＝sin ＝sin cos 2B＋cos sin 2B ＝×＋×＝.(14分) 1．(2026·湖南三湘联盟联考)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，x∈(0，π)． (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若f(x)在上的最小值为－2，求m的取值范围． [解析]　(1)由题意可得f(x)＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin，x∈(0，π)， 令z＝2x＋，x∈(0，π)，则z∈， 因为y＝sin z，z∈的单调递减区间是， 且由≤z≤，得≤x≤， 所以f(x)的单调递减区间是. (2)当x∈，则2x＋∈， 因为f(x)在区间上的最小值为－2， 即y＝sin z在上的最小值为－1， 又因为z∈，所以≤2m＋<， 即≤m<π，故m的取值范围为. (1)若＝，C＝，求a的值； [解析]　(1)因为＝， 所以由正弦定理得，＝， 则a2＝4b2，即a＝2b， 因为C＝， 所以c2＝a2＋b2＝4b2＋b2＝5b2，(勾股定理) 又c＝5，所以25＝5b2，解得b＝， 所以a＝2b＝2. (2)由余弦定理得cos C＝≥＝＝，(基本不等式) 当且仅当a＝b＝2时，cos C取得最小值， 显然C为锐角，所以当cos C取得最小值时，sin C取得最大值.(提示：sin2C＋cos2C＝1) 因为S△ABC＝absin C， 所以(S△ABC)max＝×20×＝， 即△ABC的面积的最大值为. 3．(2025·北京高考真题)在△ABC中，cos A＝－，asin C＝4. 条件②：asin B＝； 条件③：△ABC的面积为10. [解析]　(1)因为cos A＝－，A∈(0，π)， 所以sin A＝＝， 由正弦定理有asin C＝csin A＝c＝4， 解得c＝6； (2)如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD， 若选①，a＝6， 因为c＝6，所以C＝A， 因为cos A＝－<0，这表明此时三角形ABC有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在； 若选②，asin B＝， 由asin C＝4有＝＝， 由正弦定理得＝，所以b＝5， 所以由余弦定理得 a＝＝＝9， 此时三角形ABC是存在的，且唯一确定， 所以S△ABC＝bcsin A＝BC·AD， 即×5×6×＝×9AD， 所以BC边上的高AD＝； 若选③，△ABC的面积是10， 则S△ABC＝bcsin A＝b×6×＝10， 解得b＝5， 由余弦定理可得a＝＝＝9可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得cos B，cos C也可以唯一确定，即B，C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足： S△ABC＝a·AD＝AD＝10， 即AD＝. 4．(2025·北京顺义一模)已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)． 条件①：f(x)在上是单调函数； 条件②：y＝f(x)图象的一个对称中心为； 条件③：对任意的x∈R，都有f(x)≤f成立． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． [解析]　(1)因为f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)， 所以f(x)＝sin ωxcos －cos ωxsin ＋cos ωx ＝sin ωx＋cos ωx ＝sin， 所以f(0)＝sin ＝. (2)对于条件①：f(x)在上是单调函数， 因为f(x)在上是单调函数， 所以－≤， 所以≥，又因为ω>0，解得0<ω≤2， 因为－＋2k1π≤ωx＋≤＋2k1π(k1∈Z)， 解得－＋≤x≤＋(k1∈Z)， 所以函数f(x)＝sin的单调递增区间为： －＋≤x≤＋(k1∈Z)， 若函数在上单调递增， 则 整理有 当k1＝0时，解得0<ω≤， 当k1＝1时，无解，k1得其他值时不等式无解； 因为＋2k2π≤ωx＋≤＋2k2π(k2∈Z)， 解得＋≤x≤＋(k2∈Z)， 所以函数f(x)＝sin的单调递减区间为： ＋≤x≤＋(k2∈Z)， 若函数在上单调递减， 则(k2∈Z) 整理有(k2∈Z) 当k2＝0时，解得ω＝2， 当k2＝1时，无解，k2得其他值时不等式无解； 对于条件②：y＝f(x)图象的一个对称中心为， 因为ωx＋＝k3π(k3∈Z)， 解得x＝－＋(k3∈Z)， 所以函数f(x)＝sin的对称中心为x＝－＋(k3∈Z)， 若是y＝f(x)图象的一个对称中心， 则＝－＋，解得ω＝－1＋3k3； 对于条件③：对任意的x∈R，都有f(x)≤f成立， 则x＝时，函数取得最大值， 有＋＝＋2k4π(k4∈Z)， 解得ω＝2＋24k4(k4∈Z)； 若选条件①②，则(k∈Z)，方程无解， 或(k3∈Z)，k3＝1时，ω＝2， 所以f(x)＝sin， 因为x∈(0，a)，所以2x＋∈， 因为f(x)在区间(0，a)(a>0)上仅有一个零点， 所以解得<a≤； 若选条件①③，则有(k4∈Z)，方程无解， 或(k4∈Z)，k4＝0时，ω＝2， 所以f(x)＝sin， 因为x∈(0，a)，所以2x＋∈， 因为f(x)在区间(0，a)(a>0)上仅有一个零点， 所以 解得<a≤； 若选条件②③，则有(k3，k4∈Z)， 即k3－1＝8k4(k3，k4∈Z)，方程解不唯一， 此时ω取值不唯一，所以函数f(x)不唯一，不合要求． $