4.3.2 三角函数式的化简与求值 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了三角函数式化简、求值（给角、给值、给角求角）、三角形恒等变换三大核心考点，通过近五年真题分析明确求值问题占比60%的高频分布，归纳出“公式逆用”“角的拆分”等常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+多维探究+素养提升”，以2024新课标Ⅱ卷“tanα+tanβ=4”给值求值题为例，详解“变角策略”与“范围讨论”，培养数学思维的推理能力和数学语言的模型观念。设“考点突破互动探究”和“提能训练练案”，助力学生掌握答题技巧，教师可精准定位复习重点。

第四章 三角函数与解三角形 第三讲　两角和与差的三角函数　二倍角公式 第二课时　三角函数式的化简与求值 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[25] 考点突破 · 互动探究 返回导航 三角函数式的化简——自主练透 化简下列各式： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 1．此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用． 2．应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确． 3．对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 求值问题——多维探究 角度1　给角求值 [答案]　1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：给角求值问题的解题思路 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： 1．观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； 2．观察名，尽可能使函数统一名称； 3．观察结构，利用公式，整体化简． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度2　给值求值 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：给值求值问题的解题关键 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度3　给值求角 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 1．已知三角函数值求角的解题步骤 (1)求出角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围确定角． 2．给值求角的原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 三角形中的恒等变换问题 A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(2025·河北唐山一中质检)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 [分析]　利用cos(B＋C)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin B及两角差的正弦公式求解． [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，知B为锐角． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(2026·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin A＝2sin Bcos C，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　A [解析]　由题意知sin(B＋C)＝2sin Bcos C，整理化简得sin Bcos C－cos Bsin C＝0即sin(B－C)＝0，又－π<B－C<π，∴B－C＝0，即B＝C，故选A. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 提能训练　练案[25] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·山西部分学校联考)(tan 80°＋tan 55°－tan 80°tan 55°) tan 660°＝(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 二、多选题 9．(2026·四川内江六中月考)计算下列各式的值，其结果为2的有(　　) [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三、填空题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 四、解答题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 B组能力提升 1．(2026·江苏南通海安质检)在△ABC中，tan A＝2，tan B＝3，则C＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．135° [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(2025·安徽阜阳期末)已知cos(α－β)＝1，tan αtan β＝2，则cos(α＋β)＝(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 C组拓展应用(选作) (2026·江西丰城中学段考)已知函数f(x)＝cos 3x－cos 2x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则cos x1cos x2的值为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 谢谢观看 (1)sin＋2sin－cos； (2)； (3)(0<θ<π)． [解析]　(1)解法一：原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －　2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋－2sin －cos cos x＝sin x＋cos x＝0. 解法二：原式＝sin－cos＋2sin＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－2sin ＋2sin＝0. 解法三：速解．设x＝0，原式＝sin －2sin －cos ＝0. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝＝cos 2x. (3)原式＝ ＝cos · ＝. 因为0<θ<π，所以0<<， 所以cos >0. 所以原式＝－cos θ. (2026·辽宁丹东阶段测试)求值：＝________. [解析]　＝ ＝＝＝＝＝1. (2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋　tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________. [答案]　－ [解析]　由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，2kπ∈Z,2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－. 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＋α＝－等． 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________,2α－β＝________. [答案]　　 [解析]　因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0<2α<π，又cos 2α>0，所以0<2α<，又β为锐角，所以－<2α－β<，又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 1．(角度1)(2026·宁夏银川二中测试)＝________. [答案]　 [解析]　原式＝ ＝＝ ＝＝. 2．(角度2)(2025·福建漳州质检)已知cos＝，则sin＋sin＝(　　) A． B．－ C． D． [解析]　令α＋＝t，则α＝t－，cos t＝，所以sin＋sin＝sin＋sin＝cos t－cos 2t＝cos t＋1－2cos2t＝＋1－＝.故选A. 3．(角度3)(2026·常州模拟)已知cos α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β＝(　　) A． B． C． D． [解析]　因为cos α＝，sin(β－α)＝－<0，α，β均为锐角，所以sin α＝＝，β－α∈，可得cos(β－α)＝＝，sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝－×＋×＝，则β＝.故选C. 在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝. 三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，tan(A＋B)＝－tan C，sin ＝cos ，cos ＝sin . 1．(2026·贵州毕节模拟)在△ABC中，sin A＝，tan B＝1，则tan(A＋B)＝(　　) A．7 B． C．或7 D． [解析]　因为tan B＝1,0<B<π，所以B＝，所以sin B＝，又sin A＝，所以sin A<sin B，由正弦定理可得a<b，所以A<B，所以cos A＝＝，所以tan A＝＝，所以tan(A＋B)＝＝＝7.故选A. [解析]　∵sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)·sin(A＋C)，∴sin Acos B－ cos Asin B＝1－2cos Asin B，∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，即sin(A＋B)＝1，∴sin C＝1，又0<C<π，∴C＝，∴△ABC为直角三角形，故选D. 1．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，则C＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由已知得①2＋②2，得2cos2A＝1，即cos A＝±.当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形的内角，所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.当cos A＝－时，cos B＝ －，又A，B是三角形的内角，所以A＝π，B＝π不符合题意，舍去．综上可得C＝，故选D. A． B．－ C． D．－ [解析]　根据两角和的正切公式，得－1＝tan(80°＋55°)＝，则tan 80°＋tan 55°＝tan 80°tan 55°－1，即tan 80°＋ tan 55°－tan 80°tan 55°＝－1，根据诱导公式，可得tan 660°＝tan(720°－60°)＝－tan 60°＝－，故原式＝－1×(－)＝.故选A. 2．(2025·河北保定二模)已知tan α＝，则cos 2α＝(　　) A．－ B． C． D．－ [解析]　因为tan α＝＝，所以4sin2α＋11sin α－3＝0，解得sin α＝或sin α＝－3(舍去)，所以cos 2α＝1－2sin2α＝.故选B. 3．(2026·吉林长春模拟预测)已知tan＝7，则sin 2α的值是(　　) A． B． C． D． [解析]　因为tan＝7，所以sin 2α＝sin＝ －cos2＝－cos2＋sin2＝＝＝＝.故选D. 4．(2025·广东汕头二模)若λsin 160°＋tan 20°＝，则实数λ的值为(　　) A．4 B．4 C．2 D． [解析]　由已知可得λ＝＝＝＝＝4.故选A. 5．(2025·辽宁期末)已知α，β∈，tan α＋tan β＋＝tan αtan β，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由已知可得：tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan(α＋β)＝＝－，又α，β∈，则α＋β∈(0，π)，故α＋β＝.故选C. 6．(2026·湖南长沙一中开学考)已知sin 2θ＝，则sin·cos＝(　　) A． B． C． D． [解析]　sin·cos＝sin·cos＝sin＝sin＋＝ sin＋＝sin 2θ＋＝＋＝.故选C. 7．(2025·全国高三专题练习)已知2sin(θ＋30°)＝(＋tan θ)cos θ，则tan θ＝(　　) A．1 B． C． D．2 [解析]　由2sin(θ＋30°)＝(＋tan θ)cos θ，得sin θ＋cos θ＝cos θ，整理得(－1)(sin θ－cos θ)＝0，因此sin θ－cos θ＝0，即sin θ＝cos θ，由同角三角函数的基本关系得tan θ＝1，故A正确．故选A. 8．(2025·江西三模)已知α，β都是锐角，sin(α＋β)＝，tan α＝2tan β，则cos(α－β)＝(　　) A． B． C． D． [解析]　∵tan α＝2tan β，∴sin αcos β＝2sin βcos α，∴sin(α＋β)＝ sin αcos β＋sin βcos α＝3sin βcos α＝，∴sin βcos α＝，sin αcos β＝，从而sin(α－β)＝sin αcos β－sin βcos α＝.由α，β∈知α－β∈，则cos(α－β)>0，那么cos(α－β)＝＝，故选D. A．tan 15°＋tan 60° B．－ C．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°) D．4sin 18°sin 54° [解析]　tan 15°＋tan 60°＝tan(45°－30°)＋＝＋＝2－＋＝2，故A正确；－＝＝＝＝4，故B错误；(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＝2，故C正确；4sin 18°sin 54°＝4sin(90°－ 72°)sin(90°－36°)＝4cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝＝1，故D错误．故选AC. 10．(2026·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　　) A．π B．π C． D．π [解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos>0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin＝ cos＝，∴cos＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选CD. 11．(2025·湖北宜昌二模)已知cos αcos β＝，cos(α＋β)＝，则(　　) A．sin αsin β＝ B．cos(α－β)＝ C．tan αtan β＝ D．cos 2α＋cos 2β＝ [解析]　由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，则sin αsin β＝，故A正确；由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝，故B错误；由tan αtan β＝＝＝，故C正确；由cos 2α＋cos 2β＝2coscos＝2××＝，故D正确．故选ACD. 12．已知sin2＝，则sin 2α的值是________. [答案]　 [解析]　sin2＝2＝(1＋sin 2α)，∴(1＋sin 2α)＝，∴sin 2α＝. 13．(2026·海南儋州模拟预测)sin 70°－cos 20°tan 50°＝________. [解析]　sin 70°－cos 20°tan 50° ＝cos 20°－cos 20°tan 50° ＝cos 20° ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝－1. 14．(2025·重庆三模)若sin2－sin α＝，则cos＝________. [答案]　 [解析]　由条件可知，－sin α＝，则sin＝，所以cos＝1－2sin2＝. 15．(2026·江苏南通期末)已知α，β∈，sin(α＋β)＝5sin(α－β)． (1)求； (2)若tan β＝，求sin(2α－β)的值． [解析]　(1)因为sin(α＋β)＝5sin(α－β)， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝5sin αcos β－5cos αsin β， 化简得3cos αsin β＝2sin αcos β， 因为α，β∈，所以cos α≠0，sin α≠0， 所以＝，即3tan β＝2tan α， 故＝. (2)由tan β＝，β∈得sin β>0，cos β>0， 且＝，sin2β＋cos2β＝1， 所以sin β＝，cos β＝. 因为＝，所以tan α＝， 由α∈，＝， sin2α＋cos2α＝1得sin α＝，cos α＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos 2α＝1－2sin2α＝， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝. [解析]　因为tan A＝2>，tan B＝3>，可知A，B∈，则C＝π－(A＋B)∈，且tan C＝－tan(A＋B)＝－＝1，所以C＝.故选B. A．－ B．－ C． D． [解析]　由cos(α－β)＝1，tan αtan β＝2，可得解得sin αsin β＝，cos αcos β＝，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，故选B. 3．(2026·安徽芜湖模拟预测)已知tan＝2，则cos 2α＝(　　) A． B． C． D．－ [解析]　根据题意，tan α＝tan＝＝＝，cos 2α＝＝.故选A. 4．(多选题)(2025·江苏苏北四市期末)已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝，tan α＋tan β＝1，则(　　) A．sin αcos β＝ B．cos(α－β)＝1 C．tan αtan β＝ D．tan[2(α＋β)]＝－ [解析]　由α，β为锐角，得0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝，则sin(α＋β)＝＝＝　①，由tan α＋tan β＝1，得＋＝＝1　②，由①②得cos αcos β＝，又cos(α＋β)＝，所以sin αsin β＝，则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1，B正确；tan αtan β＝＝，C正确；又cos(α＋β)＝，sin(α＋β)＝，所以tan(α＋β) ＝＝，从而tan[2(α＋β)]＝＝＝－，D正确；由B知cos(α－β)＝1，－<α－β<，则α－β＝0，即α＝β，则sin αcos β＝sin αcos α＝sin 2α.又sin(α＋β)＝，则sin 2α＝，则sin 2α＝，A错误．故选BCD. 5．(2026·舟山调研)已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值． [解析]　(1)由已知得2sin α＝－cos α， 所以tan α＝－. sin αcos α＋cos 2α＝＝＝. (2)由tan2β－6tan β＝1， 可得tan 2β＝＝－， 则tan(α＋2β)＝＝＝－1. 因为β∈，所以2β∈(0，π)， 又tan 2β＝－>－，则2β∈， 因为α∈(0，π)，tan α＝－>－， 则α∈，则α＋2β∈， 所以α＋2β＝. A． B．－ C． D．－ [解析]　易知f(x)＝cos 3x－cos 2x＝cos－cos＝ －2sin ·sin ，令f(x)＝0，则sin sin ＝0，所以sin ＝0或sin ＝0，可得＝kπ或＝kπ，k∈Z，因此x＝kπ或x＝2kπ，k∈Z.又因为x∈(0，π)，所以x1＝π，x2＝π，所以cos x1cos x2＝cos cos ＝＝＝＝＝－.故选B. $