圆锥曲线——求值、证明问题 课件-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线——求值、证明问题 求值问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2026·湖北武汉部分学校调研)设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点P(3,0)的动直线l交抛物线E于A，B两点，点T(2,2)，当直线AT垂直于x轴时，|AF|＝3. (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T，求△FAB的面积； (3)若直线FT平分∠AFB，求直线l的斜率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 解析几何中，离不开求“角度、距离、面积、比值”等量，最直接的办法就是把这些量表示出来，这就常常需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用韦达定理将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 证明问题 [解析]　(1)由题意，直线l不与x轴重合，设l的方程为x＝ty－1. 代入y2＝4x，并整理得y2－4ty＋4＝0. 由Δ＝16t2－16>0，得t<－1或t>1. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝4. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：证明问题的解题策略 1．圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． 2．解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 解决证明问题的答题模板 注：(1)证明三点共线或直线平行，用斜率相等． (2)证明直线垂直，用斜率之积为－1或方向向量的数量积为0. (3)证明两角相等，用倾斜角互补，斜率之和为0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 提能训练　练案[56] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 整理得49m2＋49＝2(8m2－1)2， 即128m4－81m2－47＝0， 即(128m2＋47)(m2－1)＝0， 解得m2＝1，所以m＝±1， 故直线l的方程为x－y－3＝0或x＋y－3＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (2)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意． 当直线l的斜率存在时， ①当斜率为0时，过F(1,0)的直线l的方程为y＝0，此时|MA|＝|MB|，符合题意； ②当斜率不为0时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 所以MN⊥AB，所以kMN·kAB＝－1， 所以直线l的方程为x－y－1＝0或x－2y－1＝0. 综上所述，直线l的方程为y＝0或x－y－1＝0或x－2y－1＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (2)双曲线C的右焦点为(3,0)， 由题意知直线m的斜率存在且不为0， 设直线m的方程为x＝my＋3(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (1)求C的方程； (2)设C的右顶点为D，直线AB：y＝kx＋m与C交于点A，B(A，B都异于点D)，且DA⊥DB，证明：直线AB过定点Q； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 1．(2025·浙江A10协作体联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点A(0,2)，点P在椭圆C上，斜率为k的直线l过点A交椭圆C于另一点Q. (1)求椭圆C的方程； (2)当△APQ的面积是时，求k. [解析]　(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A(0,2)，所以b＝2， 则椭圆方程为＋＝1， 因为P在椭圆C上，所以＋＝1， 解得a2＝9， 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设直线l的方程为y＝kx＋2，Q(x1，y1)， 联立 消去y并整理得(9k2＋4)x2＋36kx＝0， 由A(0,2)，得x1＝－， 则|AQ|＝|x1－0|＝×， P到直线l的距离d＝＝， 则S△APQ＝|AQ|×d＝×××＝＝， 解得k＝或k＝－. [解析]　(1)由题意，当点A横坐标为2时，点A到准线x＝－的距离为3， 即2＋＝3，解得p＝2， 所以抛物线E的标准方程为y2＝4x. (2)点F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 此时直线l的斜率为＝－2， l的方程可写为x＝－y＋3. 与抛物线方程y2＝4x联立得y2＋2y－12＝0. 由韦达定理，y1＋y2＝－2，y1y2＝－12，Δ＝4＋48＝52>0， 此时△FAB的面积为|FP|·|y1－y2|＝＝＝2. (3)设直线l的斜率为k，显然k≠0，则设直线l方程为x＝y＋3， 将其与抛物线方程y2＝4x联立得y2－y－12＝0. Δ＝2＋48＝＋48>0， 由韦达定理，y1＋y2＝，y1y2＝－12. 由题意：∥. ＋ ＝＋ ＝ ＝， 又＝(1,2)，所以x1y2＋x2y1＋y1＋y2＝4(x1x2－1)． 又因为y＝4x1，y＝4x2， 代入化简得yy2＋y1y＋4(y1＋y2)＝yy－16. 即(y1y2＋4)(y1＋y2)＝(y1y2＋4)(y1y2－4)． 又y1y2＋4＝－8≠0，故y1＋y2＝y1y2－4. 即＝－12－4，解得k＝－. 【变式训练】 (2026·陕西渭南高级中学测试)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E的一条渐近线方程为y＝x，过F1且与x轴垂直的直线与E交于A、B两点，且△ABF2的周长为16. (1)求E的方程； (2)过F2作直线l与E交于C、D两点，若＝3，求直线CD的斜率． [解析]　(1)将x＝－c代入E：－＝1(a>0，b>0)，得y＝±， 所以|AF1|＝|BF1|＝， 所以|AF2|＝|BF2|＝＋2a， 所以由题得⇒ 所以双曲线E的方程为x2－＝1. (2)由(1)知F2(2,0)，显然当直线l斜率不存在或l的斜率为0时，＝3不成立， 故直线l的斜率存在，且不为0， 设l：x＝my＋2(m≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 联立⇒(3m2－1)y2＋12my＋9＝0， 则Δ＝36m2＋36>0，且3m2－1≠0即m2≠， y1＋y2＝－，y1·y2＝， 又＝3， 所以 所以由得＝－，解得m2＝， 故＝15， 故直线CD的斜率为或－. 所以·＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝1＋4＝5. (2)由弦长公式，得|AB|＝·|y1－y2|＝＝4. 线段AB的中点到y轴的距离r＝. 又xi＝tyi－1(i＝1,2)，故r＝(y1＋y2)－1＝2t2－1. 由|AB|＝2r，得4＝4t2－2， 解得t＝±(均满足Δ>0)． 所以直线l的方程为2x±y＋2＝0. (3)证明：设点M(y3≠－y1)，N， 同理可得y3y4＝4. 又直线BN的斜率k1＝＝. 由y2＝，y4＝，得k1＝. 设点Q(0，m)，由A，M，Q三点共线， 得(y3－m)＝(y1－m)． 化简，得m＝. 又直线PQ的斜率k2＝＝m，故k1＝k2，所以BN∥PQ，故△PBN与△QBN的面积相等． 【变式训练】 (2026·陕西宝鸡陈仓区模拟)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A，B两点． (1)求E的方程； (2)若Q(4,0)，过P(1,0)的直线l与E交于M，N两点，求证：＝. [解析]　(1)设E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得m＝，n＝， 所以E的方程为＋＝1. (2)证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，所以M(2,0)，N(－2,0)或M(－2,0)，N(2,0)． 所以＝. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(m2＋2)y2＋2my－3＝0， 所以Δ＝(2m)2＋12(m2＋2)＝16m2＋24>0， y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以kMQ＝，kNQ＝， ∴kMQ＋kNQ＝＋＝＋ ＝ ＝ ＝＝0， 所以QP平分∠MQN，所以＝. 1．(2026·云南部分学校开学考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为3，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝16. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若△ABF1的面积为，求直线l的方程． [解析]　(1)由题意可得 解得a＝1，b＝2， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. (2)由题意可知直线l的斜率不为0，则设直线l：x＝my＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立整理得(8m2－1)y2＋48my＋64＝0， 则8m2－1≠0，Δ＝(48m)2－4(8m2－1)×64>0， y1＋y2＝，y1y2＝. 因为△ABF1的面积为， 所以|F1F2|·|y1－y2|＝×6×＝， 即＝， 2．(2026·陕西咸阳实验中学质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)已知点M，直线l过F且与C交于A，B两点，若|MA|＝|MB|，求l的方程． [解析]　(1)右焦点为F(1,0)，离心率为， 由椭圆的性质知，焦距2c＝2，因此c＝1； 离心率公式为e＝＝，解得a＝； 再根据椭圆的定义b2＝a2－c2，代入a和c的值，可以求得b2＝1. 因此，椭圆C的方程为＋y2＝1. 联立＋y2＝1，消去y，整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 设线段AB的中点为N(x0，y0)， 则x0＝＝， y0＝k(x0－1)＝， 因为|MA|＝|MB|， 而kMN＝＝， 即＝－1，解得k＝或1， 3．(2025·江苏南通如皋中学测试)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，直线l过抛物线y2＝8x的焦点和点(0，b)．已知C的焦距为6且一条渐近线与l平行． (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线m过双曲线C上的右焦点，若m与C交于点A，B(其中点A在第一象限)，与直线x＝交于点T，过T作平行于OA的直线分别交直线OB，x轴于点P，Q，求. [解析]　(1)因为抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)， 所以直线l的斜率kl＝－， 因为双曲线C的一条渐近线与l平行， 所以＝，即a＝2. 又因为双曲线C的焦距为2c＝6，即c＝3， 所以b2＝c2－a2＝5， 所以双曲线C的方程为－＝1. 联立 消去x得(5m2－4)y2＋30my＋25＝0,5m2－4≠0， 且Δ＝400(1＋m2)>0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝， 将x＝代入x＝my＋3得yT＝－， 所以T. 直线PQ方程为y＝－， 与直线OB：y＝x联立， 可得yP＝ ＝＝， 因为y1y2＝－(y1＋y2)， 所以yP＝＝＝－. 因为yQ＝0，所以yP＝， 所以P为TQ的中点，即＝1. 4．(2026·河南期中联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且C的焦点到渐近线的距离为. (3)若动直线l过(2)中的定点Q，且l与C的左、右支分别交于点M，N，与直线x＝－交于点P，证明：|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|. [解析]　(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 由题有＝b＝，又c＝， 所以a2＝c2－b2＝3－2＝1， 所以C的方程为x2－＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消y得(2－k2)x2－2kmx－m2－2＝0， 则Δ＝4k2m2＋4(m2＋2)(2－k2)＝8(m2－k2＋2)>0,2－k2≠0， x1＋x2＝，x1x2＝－， 因为DA⊥DB，D(1,0)， 所以kDA·kDB＝·＝＝－1， 则(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2－(x1＋x2)＋1＝0， 即(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0， 所以(k2＋1)＋(km－1)＋m2＋1＝0， 整理得到3k2＋2km－m2＝0， 即(3k－m)(k＋m)＝0，所以k＝－m或k＝m， 当k＝－m时，直线方程为y＝kx－k＝k(x－1)，直线过点D(1,0)，不符合题意， 当k＝m时，直线方程为y＝kx＋3k＝k(x＋3)，直线过定点Q(－3,0)． (3)由(2)知Q(－3,0)，设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 当kl＝0时，M(－1,0)，N(1,0)，P， 此时|MP|＝，|NQ|＝4，|MQ|＝2，|NP|＝， 所以|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|＝， 当kl≠0时，设l：x＝ty－3，由 消x得(2t2－1)y2－12ty＋16＝0， 则Δ1＝16t2＋64>0,2t2－1≠0， 且y3＋y4＝，y3y4＝， 所以ty3y4＝(y3＋y4)， 因为－＝－ ＝ ＝ ＝＝0， 所以＝，即|MP|·|NQ|＝|MQ|·|NP|. $