圆锥曲线中的求值与证明问题 课件-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的求值与证明 重难解读 　　解析几何中的求值、证明问题是高考考查的热点，难度较大，常出 现在高考题比较靠后的位置.求值问题常涉及求方程、斜率、参数值或范 围、面积、周长等；证明问题常涉及定点、定值、最值、范围问题等. 目录/ CONTENTS 考点一 求值问题 01 考点二 证明问题 02 课时跟踪训练 03 01 PART 考点一 求值问题 目 录 （2024·北京高考19题）已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0），以 椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点（0， t）（t＞ ）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A 和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. （1）求椭圆E的方程及离心率； 高中总复习·数学 目 录 解：由题意可知b＝ ，c＝ ， 所以a＝ ＝2， 故椭圆E的方程为 ＋ ＝1， 离心率e＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 （2）若直线BD的斜率为0，求t的值. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋t（k≠0）， 联立 得（1＋2k2）x2＋4ktx＋2t2－4＝0. 所以Δ＝（4kt）2－4（1＋2k2）（2t2－4）＞0，即4k2－t2＋2＞0， 由根与系数的关系得 高中总复习·数学 目 录 由椭圆的对称性可得D（－x2，y2）， 因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD， 所以 ＝ ，即x1y2＋x2y1－（x1＋x2）＝0. 由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1（kx2＋t）＋x2（kx1＋t）－（x1＋x2） ＝0， 整理得2kx1x2＋（t－1）（x1＋x2）＝0， 所以2k· ＋（t－1）· ＝0，解得t＝2. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　求值问题往往考查以面积、斜率、坐标、代数式等为背景的问题， 对计算能力的要求较高；另外，求值时也要考虑某些特殊情形，如直线 斜率不存在时的特殊值. 高中总复习·数学 目 录 练1 已知点A（2，1）在双曲线C： － ＝1（a＞1）上，直线l交C 于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. （1）求l的斜率； 解：将点A的坐标代入双曲线方程得 － ＝1， 化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2， 故双曲线C的方程为 －y2＝1. 由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 高中总复习·数学 目 录 联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0， 故x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . kAP＋kAQ＝ ＋ ＝ ＋ ＝0， 化简得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0， 故 ＋（b－1－2k） －4（b－1）＝0， 整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0， 又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1. 故直线l的斜率为－1. 高中总复习·数学 目 录 （2）若tan∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积. 解：不妨设直线PA的倾斜角为θ ，由题意知∠PAQ＝π－2θ， 所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝ ＝2 ， 解得tan θ＝ 或tan θ＝－ （舍去）， 由 得x1＝ ， 高中总复习·数学 目 录 所以｜AP｜＝ ｜x1－2｜＝ ， 同理得x2＝ ， 所以｜AQ｜＝ ｜x2－2｜＝ . 因为tan∠PAQ＝2 ，所以 sin ∠PAQ＝ ， 故S△PAQ＝ ｜AP｜｜AQ｜ sin ∠PAQ＝ × × × ＝ . 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 证明问题 目 录 （2024·全国甲卷20题）设椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦 点为F，点M（1， ）在C上，且MF⊥x轴. （1）求C的方程； 解：由题意得F（1，0）， ＝ ， 故 ＝ ，故a＝2，故b＝ ， 故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）过点P（4，0）的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直 线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴. 解：证明：如图，直线AB的斜率必定存在， 设直线AB：y＝k（x－4）， A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 可得（3＋4k2）x2－32k2x＋64k2－12＝0， 故Δ＝1 024k4－4（3＋4k2）（64k2－12）＞0，得－ ＜k＜ . 高中总复习·数学 目 录 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 而N（ ，0），故直线BN：y＝ （x－ ）， 故点Q的纵坐标yQ＝ ＝ ， 所以y1－yQ＝y1＋ ＝ 高中总复习·数学 目 录 ＝ ＝k ＝k ＝k ＝0， 故y1＝yQ，即AQ⊥y轴. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 圆锥曲线中常见的证明问题 （1）位置关系方面：证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线 过定点等； （2）数量关系方面：存在定值、恒成立、相等等. 在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的 代数运算证明. 高中总复习·数学 目 录 练2 已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线 y＝ x上的圆E与x轴相切，且点E，F关于点M（－1，0）对称. （1）求E和Γ的标准方程； 解：设Γ的标准方程为x2＝2py，p＞0，则F（0， ）. 已知点E在直线y＝ x上， 故可设E（2a，a）. 因为E，F关于点M（－1，0）对称， 高中总复习·数学 目 录 所以 解得 所以抛物线Γ的标准方程为x2＝4y. 因为圆E与x轴相切，故半径r＝｜a｜＝1， 所以圆E的标准方程为（x＋2）2＋（y＋1）2＝1. 高中总复习·数学 目 录 （2）过点M的直线l与圆E交于A，B两点，与Γ交于C，D两点，求 证：｜CD｜＞ ｜AB｜. 解：证明：由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，那么其方程为 y＝k（x＋1）（k≠0）. 则E（－2，－1）到l的距离d＝ ， 因为l与E交于A，B两点， 所以d2＜r2，即 ＜1，解得k＞0， 所以｜AB｜＝2 ＝2 . 高中总复习·数学 目 录 由 消去y并整理得，x2－4kx－4k＝0. Δ＝16k2＋16k＞0恒成立，设C（x1，y1），D（x2，y2）， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k， 那么｜CD｜＝ ｜x1－x2｜＝ · ＝ 4 · . 所以 ＝ ＝ ＞ ＝2. 所以｜CD｜2＞2｜AB｜2，即｜CD｜＞ ｜AB｜. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：60分） 目 录 1. （15分）（2026·湖南岳阳模拟）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点 为F，且过点A（1，2）.过点B（－1，0）的一条直线与C交于P，Q两 点（P在线段BQ之间），且与线段AF交于点M. （1）证明：点M到PF和QF的距离相等； 解：证明：由抛物线y2＝2px过点A（1，2），得 22＝2p，解得p＝2，则C的方程为y2＝4x，F（1， 0）， 设直线PQ的方程为x＝my－1，P（x1，y1），Q （x2，y2）， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 由 得y2－4my＋4＝0，则Δ＝（4m）2－16＞0⇔m2＞1，y1＋y2＝4m，y1y2＝4， 直线PF，QF的斜率分别为kPF，kQF，则kPF＋kQF＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0， 而AF垂直于x轴，则∠PFA＝∠QFA，所以M点到PF和QF的距离相等. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）若△PFM的面积等于△AQM的面积，求点P的坐标. 解：由S△PFM＝S△AQM，得S△PFQ＝S△AFQ，则直线PA∥FQ，∠PAF＝ ∠QFA， 由（1）得∠PFA＝∠QFA＝∠PAF，于是PA＝PF，点P在线段AF的中垂 线上， 因此点P的纵坐标为1，代入y2＝4x得横坐标为 ，所以点P（ ，1）. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 2. （15分）（2026·江西景德镇模拟）已知双曲线C： － ＝1（a＞ 0，b＞0）的离心率为 ，点P（4，3）在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； 解：因为点P（4，3）在双曲线C上，所以 － ＝1. 离心率为 ＝ ，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝ . 故双曲线C的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）直线y＝ x＋4与双曲线C交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求｜MN｜； ②已知双曲线C的左、右顶点分别为A，B，设直线AM，BN的斜率分别 为k1，k2，求k1k2. 解：①设M（x1，y1），N（x2，y2）. 联立 得9x2＋32 x＋76＝0， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 故｜MN｜＝ · ＝ . ②y1y2＝（ x1＋4）（ x2＋4）＝3x1x2＋4 （x1＋x2）＋16＝－ . 由题意得A（－2，0），B（2，0），点M，N都在双曲线C的左支上， 且点M在第二象限，所以x2＜x1， 则x2－x1＝－ ＝－ ， 故k1k2＝ · ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 3. （15分）〔一题多解〕（2026·辽宁沈阳模拟）设椭圆方程为 ＋ ＝1（b＞0），F1（－c，0），F2（c，0）为其左右焦点，过椭圆上点Q （c，yQ）的椭圆切线方程为 x＋2y＝4， （1）求椭圆的标准方程； 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 解：把Q（c，yQ）代入 x＋2y＝4，解得切点坐标为Q（c，2－ c）， 代入椭圆方程得 解得 则椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）设点C（－2，t）（t≠0），M（－2， ），点B为椭圆右顶点， 过M作椭圆不与x轴垂直的切线，切点为点P，求证：C，P，B三点共线. 解：证明：法一　如图所示， M（－2， ），设直线MP为y－ ＝k（x＋2）， 联立 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 消去y得（1＋2k2）x2＋（8k2＋2kt）x＋（8k2＋4kt＋ －4）＝0， 由直线MP与椭圆相切得Δ＝0，即 －4（1＋2k2）（8k2＋4kt＋ －4）＝0. 化简得16－16kt－2t2＝0，解得k＝ ，故xP＝－ ＝ ， 故得切点坐标P（ ， ），则kBC＝ ＝－ ， kPC＝ ＝－ ，可知kBC＝kPC，则C，P，B三点共线. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 法二　因为 ＋ ＝1，可得（ ）2＋（ ）2＝1，设 ＝ cos θ， ＝ sin θ， 可知椭圆参数方程为 则椭圆切线方程为 ＋ ＝1， 代入M（－2， ）得－ cos θ＋ ＝1， 联立 可知 cos θ＝ －1， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 因为 sin 2θ＋ cos 2θ＝1，所以 sin 2θ＋（ －1）2＝1，解得 sin θ＝0 （舍）， sin θ＝ ， 故 cos θ＝ ，求得切点坐标P（ ， ）， 则kBC＝ ＝－ ，kPC＝ ＝－ ， 可知kBC＝kPC，故C，P，B三点共线. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 4. （15分）（2026·甘肃庆阳模拟）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞ 0）的左顶点为A（－2，0），上顶点为B（0， ）. （1）求C的离心率； 解：因为B（0， ），所以b＝ ，因为A（－2，0），所以a＝2， 所以C的方程为 ＋ ＝1，c＝ ＝1，故其离心率e＝ ＝ . 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 （2）已知过点P（4，0）的直线交C于M，N两点，点G是线段MN上异 于M，N的一点，且｜GA｜＝｜GP｜，证明：｜PM｜·｜GN｜＝｜ PN｜·｜MG｜. 解：证明：当直线MN的斜率为0时，不妨记M（－2，0），N（2，0）， 则G（1，0），｜PM｜·｜GN｜＝6×1＝6，｜PN｜·｜MG｜＝2×3 ＝6，则｜PM｜·｜GN｜＝｜PN｜·｜MG｜； 当直线MN的斜率不为0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），G（x0， y0）， 直线MN的方程为x＝my＋4， 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 由 得（3m2＋4）y2＋24my＋36＝0， 则Δ＝（24m）2－4（3m2＋4）×36＝144（m2－4）＞0， 所以m2＞4，且y1＋y2＝－ ，y1y2＝ . 如图，因为｜GA｜＝｜GP｜，所以点G在线段AP的垂直平分线x＝1 上，则x0＝1. 设 ＝λ ，则（x0－x1，y0－y1）＝λ（x2－x0，y2－y0）， 则y0－y1＝λ（y2－y0）.　① 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 又点G（1，y0）在直线MN上，所以1＝my0＋4， 则y0＝－ ＝－ ＝ ＝ ，所以y0（y1＋y2）＝2y1y2， 则y2y0－y1y2＝y1y2－y1y0. 整理得y0－y1＝ （y2－y0）.　② 由①②，得λ＝ ，所以 ＝ ，则 ＝ ， 所以 ＝ ＝ . 综上，｜PM｜·｜GN｜＝｜PN｜·｜MG｜. 1 2 3 4 高中总复习·数学 目 录 $