4.4 三角函数的图象与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了定义域、值域、单调性、周期性等核心考点，通过近五年高考真题分析明确“单调性判断”“周期性计算”等高频考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题演练+技巧点拨+素养提升”策略，如以2025上海卷“余弦函数值域”题为例，运用“图象分析+端点代入”法突破，培养数学思维与直观想象素养。设“易错陷阱警示”和“答题模板”，学生可通过分层训练掌握解题节奏，教师能精准把握学情，助力高效备考。

第四章 三角函数与解三角形 第四讲　三角函数的图象与性质 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[26] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　周期函数的定义及周期的概念 1．对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做____________.非零常数T叫做这个函数的________.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__________. 2．正弦函数、余弦函数都是周期函数，__________________都是它们的周期，最小正周期是______. 周期函数 周期 正周期 2kπ(k∈Z，k≠0) 2π 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 对 称 性 对称 中心 __________________ _______________ _______________ 对称 轴 __________________ ________________ 无对称轴 (kπ，0)，k∈Z x＝kπ，k∈Z 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2π 2π π {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [(2k－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 最值   x＝_____________时，ymax＝1；   x＝_________________时，ymin＝－1 x＝___________时， ymax＝1； x＝_____________时， ymin＝－1 无最值 奇偶性 ___________ ___________ ___________ 2kπ(k∈Z) π＋2kπ(k∈Z) 奇函数 偶函数 奇函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 归 纳 拓 展 1．关于周期性 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．关于奇偶性 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．谨防两个易误点 (1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝sin x，x∈[0,2π]，y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点是零点和极值点．(　　) (2)函数y＝cos x在第一、二象限内单调递减．(　　) (4)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同．(　　) (5)y＝|sin x|与y＝sin |x|都是周期为π的偶函数．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组二　走进教材 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组三　走向考场 [答案]　[0,1] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点突破 · 互动探究 返回导航 三角函数的定义域、值域——自主练透 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：三角函数定义域、值域的求解策略 1．求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： (1)形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值). 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三角函数的单调性——师生共研 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略 1．求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数． 注：正、余弦型单调区间长度为半周期． 2．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 1．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究 角度1　周期性 求下列函数的最小正周期： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (3)画出y＝|tan x|的图象． 如图所示． 由图象易知T＝π. ∴y＝|tan x|的最小正周期与y＝tan x的最小正周期相同. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度2　奇偶性 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度3　对称性 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 1．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 1．(角度1)(多选题)(2025·苏州调研)下列函数中，最小正周期为π的是(　　) A．y＝cos|2x| B．y＝|cos x| [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 三角函数的值域与最值 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：求三角函数值域或最值的方法 1．y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋b]． 2．y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．(2026·云南调研)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域是______. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 提能训练　练案[26] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 5．(2026·四川广安模拟预测)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ的值为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 8．(2026·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 二、多选题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 10．已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中正确的是(　　) [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 11．(2026·枣庄模拟)已知函数f(x)＝|sin x|，则下列说法正确的是(　　) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 解法二：画出f(x)＝|sin x|的图象，如图， 由图知A，C，D正确，B错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三、填空题 [答案]　π 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 13．(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)＝cos 2x＋8cos x，则f(x)的最小值为________. [答案]　－7 [解析]　f(x)＝2cos2x＋8cos x－1＝2(cos x＋2)2－9，因为－1≤cos x ≤1，则1≤cos x＋2≤3，故当cos x＝－1时，函数f(x)取得最小值，即f(x)min＝2×(－1＋2)2－9＝－7. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 四、解答题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 B组能力提升 1．(2026·云南昆明模拟预测)下列函数的周期不是3π的为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 C组拓展应用(选作) [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 谢谢观看 ，k∈Z ，k∈Z x＝kπ＋，k∈Z 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 最小 正周期 _____ _____ _____ 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 _____________ _____________ _____ 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 单调性 在_________________， k∈Z上递增； 在_________________， k∈Z上递减 在________________， k∈Z上递增； 在________________， k∈Z上递减 在kπ， ，k∈Z上递增 ＋2kπ(k∈Z) －＋2kπ(k∈Z) (1)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝. y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝. (2)y＝A|sin(ωx＋φ)|＋B或y＝A|cos(ωx＋φ)|＋B 或y＝A|tan(ωx＋φ)|＋B的最小正周期T＝ (3)正弦曲线、余弦曲线相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (4)正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． (1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (2)对于y＝tan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数． (3)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　) [解析]　(1)零点和极值点不是点． (2)y＝cos x在，k∈Z这个区间内单调递减，但不能说在第一、二象限内单调递减． (3)y＝sin x对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z. (4)y＝cos(－x)＝cos x，而y＝cos|x|＝＝cos x．因此y＝cos(－x)与y＝cos|x|图象相同． (5)y＝sin|x|是偶函数，但不是周期函数． 2．(必修1P203T1改编)函数y＝3tan的定义域是(　　) A． B． C． D． [解析]　要使函数有意义，则2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠π＋，k∈Z，所以函数的定义域为. 3．(必修1P207例5改编)函数y＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． [解析]　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.因为x∈[－π，0]，所以所求函数的单调递增区间为. 4．(2025·上海卷)函数y＝cos x在上的值域为________. [解析]　由函数y＝cos x在上单调递增，在单调递减，且f＝0，f(0)＝1，f＝，故函数y＝cos x在上的值域为[0,1]． 5．(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． [解析]　根据正切函数的性质，y＝2tan的对称中心横坐标满足x－＝，k∈Z，即y＝2tan的对称中心是，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，又a>0，则k＝0时a最小，最小值是，即a＝.故选B. 1．函数y＝的定义域为(　　) A． B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．R [解析]　由cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 2．如果函数f(x)＝sin＋＋a在区间上的最小值为，则a的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　因为当x∈时，x＋∈，所以sin∈，当x＝时，sin有最小值－.可得f(x)＝sin＋＋a的最小值为－＋＋a＝，解得a＝. 3．函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值分别为__________、____________. [答案]　　 [解析]　令t＝sin x，因为|x|≤，所以t∈.所以y＝－t2＋t＋1＝－2＋，所以当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.所以函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为. 1．(2026·赣州模拟)已知函数f(x)＝2cos，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　) A． B．， C． D．， [解析]　f(x)＝2cos＝2cos，则2kπ－π≤3x－≤2kπ，k∈Z，解得－≤x≤＋，k∈Z.又x∈，故令k＝0，则－≤x≤；令k＝1，则≤x≤，所以f(x)的单调递增区间是，. 2．(2026·洛阳模拟)若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是____________. [答案]　 [解析]　解法一：∵x∈(ω>0)， ∴ωx∈， ∵f(x)＝2sin ωx在上是增函数， ∴故0<ω≤. 解法二：画出函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)的图象如图所示． 要使f(x)在上是增函数， 需即0<ω≤. 解法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得－＋≤x≤＋(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间是(k∈Z)， 由题意⊆(k∈Z，ω>0)， 从而有即0<ω≤. A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 [解析]　依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在 上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确．故选C. A． B． C． D．π [解析]　本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos x－sin x＝cos.因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以解得0<a≤.故a的最大值是，故选C. (1)y＝2sin； (2)y＝3； (3)y＝|tan x|； (4)y＝－sin＋6sin xcos x－2cos2x＋1. [解析]　(1)∵y＝2sin， ∴T＝＝3π，即y＝2sin的最小正周期为3π. (2)画图知y＝|cos x|的最小正周期是y＝cos x的周期的一半，∴y＝3的最小正周期是y＝3cos的最小正周期的一半，即T＝×＝. (4)y＝－sin 2x·cos －cos 2x·sin ＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin，所以y的最小正周期T＝＝π. 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0≤φ<π)是定义在R上的奇函数，则f＝________. [答案]　－ [解析]　f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)＝2sin，由f(x)为R上的奇函数，得φ－＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，因为0≤φ<π，所以当k＝0时，φ＝，即f(x)＝2sin 2x，则f＝2sin＝－. (2026·陕西模拟)已知函数f(x)＝2cos x·cos，则y＝f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于中心对称 D．关于中心对称 [解析]　f(x)＝2cos x·cos＝2cos x·＝cos2x＋ sin xcos x＝＋sin 2x＝cos＋，f＝cos π＋＝－，函数f(x)关于直线x＝对称，A正确；f＝cos ＋＝0，函数f(x)关于直线x＝不对称，B错误；f＝cos＋≠，函数f(x)关于不成中心对称，C错误；f＝cos＋＝，函数f(x)关于中心对称，D错误．故选A. 2．周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解． 3．对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，令ωx＋φ＝＋kπ或ωx＋φ＝kπ(k∈Z)． C．y＝cos D．y＝tan [解析]　A中，y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；B中，由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π；D中，y＝tan的最小正周期T＝. 2．(角度2)若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是(　　) A． B． C． D．－ [解析]　因为当－＋φ＝kπ＋，k∈Z时，f(x)为偶函数， 即φ＝kπ＋π，当k＝0时，φ＝π，故选A. 3．(角度3)(多选题)(2026·黄山模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－ cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则(　　) A．ω＝2 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)的图象关于点对称 D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 [解析]　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2＝2sin，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin，故A正确；显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；f＝2sin＝2sin(－π)＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确；f＝2sin＝2sin＝－1，所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误． 1．函数y＝的值域为____________. [答案]　 [解析]　解法一：y＝＝2＋，由于－1≤sin x≤1，所以－5≤≤－，∴函数的值域为. 解法二：由y＝，解得sin x＝，∵－1≤sin x≤1， ∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，∴函数的值域为. 2．函数f(x)＝2sin xsin，当x∈时，函数f(x)的值域为____________. [答案]　 [解析]　f(x)＝2sin x＝sin2x＋sin xcos x＝＋＝sin＋， ∵x∈，∴2x－∈， ∴sin∈.∴f(x)∈. 3．函数y＝的值域为____________. [答案]　 [解析]　解法一：由y＝得sin x－ycos x＝3y－1，∴sin(x＋φ)＝，其中sin φ＝，cos φ＝.∴≤1，解得0≤y≤. 解法二：可理解为点P(－cos x，－sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos x，－sin x)在单位圆上，如图所示． 故t＝满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得≤1，解得0≤k≤.从而值域为. [解析]　由条件知0<x≤，令t＝sin x＋cos x＝sin，又0<x≤，∴<x＋≤，得1<t≤；又t2＝1＋2sin xcos x，得sin xcos x＝，得y＝t－＝－(t－1)2＋1，则－＋≤y<1，所以函数的最小值为－＋.故选A. 3．y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2xy＝d＋Asin 2x＋Bcos 2xy＝sin(2x＋φ)＋c，再利用sin(2x＋φ)的有界性求解，注意2x＋φ的取值范围． 4．y＝可反解出sin x＝f(y)(或cos x＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y＝可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin(x＋φ)＝利用三角函数的有界性求解． 5．y＝f(sin x±cos x，sin x·cos x)常用换元法，令t＝sin x±cos x＝ sin，则cos xsin x＝，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值． 1．(2026·黑龙江宜春二中月考)函数y＝的最大值是(　　) A．－1 B．－－1 C．1－ D．1＋ [解析]　y＝，∵2－≤2＋sin≤2＋， ∴y≤＝1＋，故选D. 2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________. [解析]　依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝ －2＋1，因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1. [答案]　 [解析]　设t＝sin x－cos x，则t2＝1－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤，∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1，当t＝－时，ymin＝－－.∴函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为. 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) [解析]　由题意，得2sin x－1≥0，x∈(k∈Z)，则x∈(k∈Z)． 2．函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　) A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 [解析]　f(x)＝sin ＋cos ＝＝sin，最小正周期T＝＝6π；当sin＝1，即x＝π＋6kπ，k∈Z时，f(x)取最大值，故选C. 3．(2025·湖南邵阳三模)下列区间中，函数f(x)＝3tan单调递减的区间是(　　) A． B． C． D．(0，π) [解析]　令kπ－π<－2x＋<kπ＋π，k∈Z，解得－kπ－<x<－kπ＋，k∈Z，令k＝0，可得x∈.故选A. 4．(2025·山东烟台三模)若函数f(x)＝sin(0<ω<2)图象的一个对称中心为，则ω的值为(　　) A． B． C．1 D． [解析]　因为函数f(x)＝sin图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝2k－，k∈Z，又因为0<ω<2，所以ω＝.故选D. A． B． C． D． [解析]　函数f(x)为偶函数，需满足f(－x)＝f(x)．将函数化简：f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝sin.由偶函数性质得： sin＝sin，即sin＝sin利用正弦函数的性质，可得：－2x＋φ＋＝2x＋φ＋＋2kπ(舍去，因为不恒成立)，或－2x＋φ＋＝π－＋2kπ，解得2φ＋＝π＋2kπ，即φ＝＋kπ，结合φ∈[0，π]，得φ＝.故选B. 6．下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos D．y＝sin [解析]　y＝sin＝－cos 2x为偶函数，排除A；y＝cos＝sin 2x在上单调递减，排除B；y＝cos＝－sin 2x为奇函数，在上单调递增，且周期为π，C符合题意；y＝sin＝cos x为偶函数，排除D.故选C. 7．(2025·安徽芜湖模拟预测)已知函数y＝sin πx，x∈既有最小值也有最大值，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ [解析]　由题意，函数y＝sin(πx)，x∈既有最小值也有最大值，∵πx≥，∴①当函数f(x)最大值取得1，最小值为－1时，结合函数f(x)图象可得mπ>π，即m>；②当f(x)取得最大值为，最小值为 －1时，结合函数图象可得解得<m≤，综上所述，实数m的取值范围为<m≤或m>.故选D. A．关于点对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于直线x＝对称 [解析]　∵函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ω>0)的最小正周期为＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin.令x＝，求得f(x)＝sin ≠0，且f(x)不是最值，故A、D错误；令x＝，求得f(x)＝，为最大值，故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确，C错误．故选B. 9．已知A，B是函数f(x)＝tan＋1的图象与直线y＝3的两个交点，则下列结论正确的是(　　) A．|AB|min＝ B．f(x)的定义域为 C．f(x)在区间上单调递增 D．f(x)的图象的对称中心为点，k∈Z [解析]　因为f(x)的最小正周期T＝，所以|AB|min＝T＝，故A正确；令3x＋≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B正确；因为∈，所以结合选项B可知f(x)在区间上不单调，故C错误；令3x＋＝，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以f(x)的图象的对称中心为点，k∈Z，故D错误．故选AB. A．f(x)的最大值为 B．f(x)在区间上单调递增 C．f(x)的图象关于点对称 D．f(x)的最小正周期为π [解析]　f(x)＝sin x－cos x＝sin，对于A，f(x)max＝，A正确；对于B，当x∈时，x－∈，由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确；对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误；对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误． A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．点(π，0)是f(x)图象的一个对称中心 C．π为f(x)的一个周期 D．f(x)在区间上单调递减 [解析]　解法一：由f＝＝|cos x|，f＝＝|cos x|，即有f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；由f(π＋x)＋f(π－x)＝|sin(π＋x)|＋|sin(π－x)|＝|sin x|＋|sin x|＝ 2|sin x|≠0，故f(x)的图象不关于点(π，0)对称，故B错误；由f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，可得π为f(x)的一个周期，故C正确；当x∈时，sin x<0，所以f(x)＝－sin x，此时f(x)在区间上单调递减，故D正确． 12．(2025·云南昆明高三调研测试)函数f(x)＝sin的图象上相邻的两个最高点之间的距离为________. [解析]　函数f(x)的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f(x)的最小正周期，又函数f(x)＝sin的最小正周期为π，故f(x)的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 14．(2026·上海模拟预测)f(x)＝sin x＋cos x，f(x)≤f(θ)恒成立，则tan 2θ＝________. [答案]　－ [解析]　f(x)＝2sin，令x＋＝＋2kπ，得x＝＋2kπ，k∈Z，由f(x)≤f(θ)恒成立，可知，θ＝＋2kπ，k∈Z，则tan 2θ＝tan＝－. 15．(2026·江苏宿迁模拟预测)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ). 条件①：f(x)的最小正周期为π； 条件②：f(x)为奇函数； 条件③：f(x)图象的一条对称轴为x＝； 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使f(x)的解析式唯一确定，回答下列问题． (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝f(x)f，当x∈时，求函数g(x)的值域． [解析]　(1)选择条件①②，由f(x)的最小正周期为π，得ω＝2； 由f(x)为奇函数，0<φ≤，得φ＝， 所以f(x)＝cos＝－sin 2x. 选择条件①③，由f(x)的最小正周期为π，得ω＝2； 由f(x)图象的一条对称轴为x＝， 得2·＋φ＝kπ，k∈Z，而0<φ≤， 则k＝1，φ＝，所以f(x)＝cos＝－sin 2x. 选择条件②③，由f(x)为奇函数，0<φ≤，得φ＝； 由f(x)图象的一条对称轴为x＝， 得ω＋＝kπ，k∈N*， 解得ω＝4k－2，k∈N*， ω值不唯一，不符合题意，即②③不可选． (2)由(1)知f(x)＝－sin 2x， 则g(x)＝－sin 2x· ＝sin 2x ＝sin 4x＋ ＝＋sin， 当x∈时，4x－∈， 则－≤sin≤1， 0≤＋sin≤， 所以函数g(x)的值域是. A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝tan [解析]　对于y＝sin ，最小正周期为＝3π，故A不符合题意；对于y＝cos，最小正周期为＝3π，故B不符合题意；对于y＝sin，最小正周期为＝6π，故C符合题意；对于y＝tan ，最小正周期为＝3π，故D不符合题意．故选C. 2．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)为奇函数，则y＝|f(x)|在上的最大值为(　　) A． B． C．＋1 D． [解析]　因为f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)，所以f(x)＝2＝2sin.因为f(x)为奇函数，所以φ＝－＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝2sin(2x＋kπ)，k∈Z.当x∈时，2x＋kπ∈，k∈Z，所以|sin(2x＋kπ)|∈，所以f(x)的最大值为2sin ＝2sin＝2××＋2××＝.故选D. 3．(2026·甘肃定西模拟)若函数f(x)＝tan(ω>0)在区间(0，π)上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D．(0,3] [解析]　当x∈(0，π)时，ωx＋∈，由f(x)在区间(0，π)上单调递增，得<ωπ＋≤，解得0<ω≤.故选C. 4．(2025·天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)，在上单调递增，且x＝为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　) A．－ B．－ C．1 D．0 [解析]　因为函数在上单调递增，且x＝为它的一条对称轴，所以x＝时函数取最大值，又因为是它的一个对称中心，所以(m，k∈Z)，设f(x)的最小正周期为T，由正弦函数的对称性可知－＝(n∈Z)，即＝，∴ω＝4n＋2，又 f(x)在上单调递增，则≥－，∴≥⇒0<ω≤2，∴ω＝2，则(m，k∈Z)，∵φ∈(－π，π)，∴k＝0，m＝1时，φ＝，∴f(x)＝sin，当x∈时，2x＋∈，由正弦函数的单调性可知f(x)min＝sin ＝－.故选A. 5．(2026·天津红桥区期中)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)在区间上的最大值与最小值． [解析]　(1)已知f(x)＝sin2x－sin2， f(x)＝sin2x－2 ＝sin2x－ ＝sin2x＋sin xcos x－cos2x ＝－(cos2x－sin2x)＋(2sin xcos x) ＝－cos 2x＋sin 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期为π. (2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)， 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调减区间为(k∈Z)． (3)因为x∈， 则t＝2x－∈， 且y＝sin t在区间上单调递减，上单调递增， 而sin＝－<sin＝－<sin ＝， 所以f(x)的最大值为，最小值为－. (2025·全国模拟预测)已知函数f(x)＝sin，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2 B．f(x)图象的一条对称轴方程为x＝ C．f(x)在区间上先单调递增后单调递减 D．f(x)在区间上恰有8个零点 [解析]　函数f(x)的最小正周期为T＝＝1，故A错误；由2πx＋＝kπ＋，k∈Z⇒x＝＋，k∈Z是函数f(x)的对称轴，当k＝0时，x＝，故B正确；2kπ－≤2πx＋≤2kπ＋，k∈Z得函数f(x)的单调递增区间为：，k∈Z，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故C正确；由2πx＋＝kπ，k∈Z⇒x＝－，所以函数f(x) 在上的零点有：－＝，－＝，－＝，…，－＝<，－＝>，所以函数f(x)在上的零点有8个，故D正确．故选BCD. $