4.6 解三角形 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形”专题，依据高考评价体系梳理了正弦定理、余弦定理、面积计算、实际测量等核心考点，通过近五年真题分析明确“利用定理求边角”“三角形形状判断”“实际应用”等高频考查维度，构建知识网络与题型体系。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的备考设计，如以2023全国甲卷角平分线问题为例，通过面积法与正弦定理双解法培养数学思维，结合“解的个数判断”“范围问题”等专题，提炼“角化边”“边化角”等解题技巧，助力学生提升运算推理能力，教师可依托分层训练精准突破考点，实现高效复习。

第四章 三角函数与解三角形 第六讲　解三角形 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[28] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 _____________________＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝_________________ b2＝_________________ c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2accos B a2＋b2－2abcos C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 定理 正弦定理 余弦定理 常见 变形 ①a＝_____________，b＝__________，c＝___________ ②sin A＝_____，sin B＝_____，sin C＝_____ ③a∶b∶c＝___________________ ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝___________ cos B＝___________ cos C＝___________ 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 定理 正弦定理 余弦定理 解决解 斜三角 形的问题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点二　在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点三　三角形常用面积公式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点四　实际问题中的常用术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360° 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点五　实际测量中的常见问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 归 纳 拓 展 在△ABC中，常有以下结论 1．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 2．tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． 3．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin Ccos A， sin2B＝sin2A＋sin2C－2sin Asin Ccos B， sin2C＝sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C． 4．三角形中判断内角范围的方法：①若b2＋c2>a2，则角A为锐角；②若b2＋c2＝a2，则角A为直角：③若b2＋c2<a2，则角A为钝角． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 5．在锐角三角形ABC中，必有sin A>cos B，sin B>cos C，sin C> cos A等． 6．三角形中的射影定理：bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b，acos B＋bcos A＝c. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中，a∶b∶c＝A∶B∶C.(　　) (2)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．(　　) (3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．(　　) (4)在△ABC中，若bcos B＝acos A，则△ABC是等腰三角形．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组二　走进教材 A．45° B．75° C．105° D．60° [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组三　走向考场 A．45° B．60° C．120° D．135° [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点突破 · 互动探究 返回导航 利用正、余弦定理解三角形——自主练透 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 1．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，如果有解，是一解，还是两解． 2．正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系． 3．在三角形的判断中注意应用“大边对大角”． 4．已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 判断三角形的形状——师生共研 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：判断三角形形状的2种途径 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 (2026·开封调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 正、余弦定理的综合应用——多维探究 角度1　三角形面积问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：三角形面积公式的应用原则 2．与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度2　三角形中的范围问题 (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC周长的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [引申]在本例条件下，若△ABC为锐角三角形，则△ABC周长的取值范围为____________，面积的取值范围为____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路如下：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (1)求角A； (2)若△ABC为锐角三角形，且b＋c＝4，求a的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 三角形中的实际测量问题 角度1　测量距离问题 (2025·武汉模拟)如图，一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：距离问题的常见类型及解法 1．类型：测量距离问题常分为三种类型：山两侧、河两岸、河对岸． 2．解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：(1)基线的选取要恰当准确；(2)选取的三角形及正、余弦定理要恰当．若图中涉及多个三角形，则先解可解三角形，借助公共边、公共角再解其他三角形从而求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度2　测量高度问题 [答案]　60 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：求解高度问题的三个关注点 1．在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键． 2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3．注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 易错提醒：解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来．而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度3　角度问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点． 提醒：方向角是相对于某点而言的，因此确定方向角时，首先要弄清是哪一点的方向角． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 1．(角度1)(2024·南京师大附中期中)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得CD的长为12千米，在点C处测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，在点D处测得∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两点间的距离为________千米．(设A，B，C，D四点在同一平面内) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(角度2)(2026·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了600 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．(角度3)(2026·宜昌模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 提能训练　练案[28] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 A．30°或150° B．60° C．120° D．30° [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B [解析]　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝1＋c2＋c，解得c＝2或－3(舍去)．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．(2025·辽宁辽阳一模)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝7，c＝4，则△ABC的面积为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 A．(2,3] B．(1,4] C．(1,3] D．(2,4] [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 二、多选题 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 10．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　) A．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 B．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 11．(2025·江西八校协作体月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是(　　) A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三、填空题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 四、解答题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 B组能力提升 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．(多选题)(2026·广西河池质检)初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练．在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°＋θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给．若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 C组拓展应用(选作) 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)设O为△ABC的内心(三角形三条内角平分线的交点)，且满足AB＝5，AO2＋BO2＝17，求△ABO的面积． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 谢谢观看 ＝＝ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a<bsin A a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 1．S＝a·ha(ha表示a边上的高)． 2．S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 3．S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 术语名称 术语意义 图形表示 坡角 坡面与水平面的夹角 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直 高度 底部 可达 ∠ACB＝α BC＝a 解直角三角形AB＝atan α 底部 不可达 ∠ACB＝α ∠ADB＝β CD＝a 解两个直角三角形AB＝ 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求水平 距离 山两 侧 ∠ACB＝α AC＝b BC＝a 用余弦定理AB＝ 河两 岸 ∠ACB＝α ∠ABC＝β CB＝a 用正弦定理AB＝ 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求水平 距离 河对 岸 ∠ADC＝α ∠BDC＝β ∠BCD＝δ ∠ACD＝γ CD＝a 在△ADC中，AC＝ 在△BDC中，BC＝ 在△ABC中，应用 余弦定理求AB 7．三角形中的面积S＝. 2．(必修2P48T2改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝(　　) [解析]　由题意：＝，即sin B＝＝＝，结合b<c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.故选B. 3．(必修2P49例9改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________. [答案]　2 [解析]　设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2.所以S＝ bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2. 4．(2025·全国二卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝(　　) [解析]　解法一：cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. 解法二：∵BC<AC，BC<AB，∴角A最小，小于60°，排除B、C、D，故选A. 5．(多选题)(2025·全国一卷)已知△ABC的面积为，cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos Acos Bsin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sin A＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 [解析]　cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sin C＝2，所以sin2A＋sin2B＝sin C，故A正确；令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A＋sin2B＝sin C，得a2＋b2＝c·2R≥c2.若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B>，即A>－B，则sin A>sin＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，矛盾．故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝，所以cos(A＋B) ＝cos Acos B－sin Asin B＝0，又cos Acos Bsin C＝cos Acos B＝，所以 sin Asin B＝.因为S△ABC＝absin C＝ab＝，所以ab＝，所以＝(2R)2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，故B正确；(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sin Asin B＝sin C＋2sin Asin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，故C正确；AC2＋BC2＝AB2＝c2＝2，故D错误．故选ABC. 1．(2026·湖北武汉腾云联盟联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，a＝2，A＝，则角B＝(　　) A． B．或 C． D．或 [解析]　由正弦定理可得＝，即＝，解得sin C＝，因为c>a，所以C>A，又C∈，所以C＝或C＝，所以B＝π－－＝或B＝π－－＝.故选D. 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　) A．2 B．3 C． D． [解析]　由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝ sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝. 3．(2023·全国甲卷理)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________. [解析]　解法一：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC，即()2＝22＋AC2－2×2×AC×cos 60°，即AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋或AC＝1－(舍)，由于AD平分∠BAC，且∠BAC＝60°，所以∠BAD＝∠CAD＝30°.S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即×2×(＋1)×＝×2×AD×＋×(＋1)×AD×，即×(＋1)＝AD＋AD，解得AD＝2. 解法二：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，得sin C＝，又知0°<C<120°，∴C＝45°，∴B＝75°，在△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB，又AB＝2，∴AD＝2. (2026·临沂模拟)在△ABC中，已知＝且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程． [解析]　由＝及正弦定理得 ＝，即a2＋ac＝b2＋bc， ∴a2－b2＋ac－bc＝0， ∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b. 若选①，则△ABC为等边三角形．推理如下： 由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋b2－c2＝ab. ∴由余弦定理得cos C＝＝， 又C∈(0，π)，∴C＝. ∴△ABC为等边三角形． 若选②，则△ABC为等腰直角三角形，推理如下： ∵bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＝c＝csin C， ∴sin C＝1，∴C＝， ∴△ABC为等腰直角三角形． [解析]　解法一(转化为三角函数)：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A．由正弦定理知上式可化为sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A，∴sin 2A＝ sin 2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，得2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＝－B，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D. 解法二(转化为边)：同解法一可得 2a2cos Asin B＝2b2sin Acos B．a2b·＝b2a·，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D. (2026·江西重点中学协作体联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且bcos C＝a＋csin B． (1)求角B； (2)若∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，且EC＝2EA，求△BDE的面积． [解析]　(1)由正弦定理可得 sin Bcos C＝sin A＋sin Csin B． 又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 则cos Bsin C＋sin Csin B＝0. ∵C∈(0，π)，∴sin C≠0， ∴cos B＋sin B＝0，即tan B＝－. 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)由(1)可知B＝， 又△ABC的外接圆的半径为2， ∴由正弦定理得＝4，所以b＝6， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝. 由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD， 可得acsin ＝a·sin ＋c·sin ， 即ac＝(a＋c)，① 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ， 即(a＋c)2－ac＝36，② 由①②可得a＝c＝2. 所以BD⊥AC，又∵EC＝2AE，则DE＝1， 故S△BDE＝×1×＝. 1．对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2026·山东百师联盟期中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足asin B＝bcos. [解析]　(1)由asin B＝bcos及正弦定理得 sin Asin B＝sin Bcos， 故sin Asin B＝sin B＝sin Bcos A＋sin Bsin A， 所以sin Asin B＝sin Bcos A. 因为B∈(0，π)，sin B≠0， 所以sin A－cos A＝sin＝0， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)解法一：由(1)可知，A＝， 由余弦定理，得b2＋c2－a2＝bc， 又a＝2，所以b2＋c2＝bc＋4. 由基本不等式得：b2＋c2≥2bc，即bc＋4≥2bc， 所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，等号成立． 又(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝3bc＋4≤16， 即0<b＋c≤4，又b＋c>a＝2，所以2<b＋c≤4， 所以4<a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的取值范围是(4,6]． 解法二：由(1)知＝＝＝，， ∴b＝sin B，c＝sin， ∴b＋c＝ ＝ ＝4sin，又B＋∈， ∴sin∈， ∴2<b＋c≤4，故4<a＋b＋c≤6， ∴△ABC周长的取值范围是(4,6]． [答案]　(2＋2,6]　 [解析]　若△ABC为锐角三角形， 则 ∴<B<， ∴B＋∈，∴sin∈， ∴b＋c∈(2，4]，故a＋b＋c∈(2(＋1)，6]， 由平面几何知识易知，点A在上运动，(CM⊥BC，BN⊥BC，且BC＝2)． 显然S△ABC∈(S△BCM，S△BCH](H为的中点)，故S△ABC∈. 1．(角度1)(2025·湖北鄂东南期中)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. [解析]　(1)在△ABC中，依题意，S1＝·a2·＝a2，S2＝b2，S3＝c2， 则S1－S2＋S3＝a2－b2＋c2＝， 即a2＋c2－b2＝4， 由余弦定理得cos B＝， 整理得accos B＝2，cos B>0，由sin B＝， 得cos B＝＝，则ac＝＝， 所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝. (2)由正弦定理＝＝， 得＝·＝＝＝， 则＝，所以b＝sin B＝. 2．(角度2)(2026·广东七校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且a2＋4S＝(b＋c)2. [解析]　(1)因为a2＋4S＝(b＋c)2， 所以4×bcsin A＝b2＋c2－a2＋2bc 所以sin A＝＋1， 所以sin A＝cos A＋1， 故sin＝，又A∈(0，π)， 所以A－＝，所以A＝. (2)由正弦定理得＝＝， 所以＝，且A＝，b＋c＝4， 所以a＝＝ ＝＝ ＝， 因为△ABC为锐角三角形，0<B<， 0<C＝－B<，所以<B<， 所以B＋∈，即sin∈. 可得a∈， 即a的取值范围为a∈. A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里 [解析]　过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示， 由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°， 所以∠ACB＝110°－65°＝45°. AB＝24×0.5＝12(海里)． 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝，所以BC＝6(海里)．故选A. (2026·郑州模拟)如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)米，在该建筑的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米． [解析]　在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20.如图过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°.又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以＝＝，所以AC＝60＋20，所以CN＝30＋10，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－10＋30＋10＝60.故填60. (多选题)(2025·广东深圳中学期中)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距(＋)海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着东偏北α角方向直线追击，恰好在E点处追到走私船，则(　　) A．BC＝2 B．当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里 C．∠BCE为钝角 D．α＝15° [解析]　由题设条件知道：AC＝2，AB＝＋，∠BAC＝60°，在△ABC中由余弦定理有BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos 60°＝8＋(8＋4)－(4＋4)＝12，所以BC＝2，选项A正确；设i，j分别是正东、正北方向单位向量，则＝i＋j，＝i－j，所以＝＋＝i＋j，又＝2i，所以＝－＝i＋j⇒||＝＝，所以选项B正确；注：也可在△ABC中， 用正弦定理解得∠ABC＝45°，得到∠CBD＝30°，解得CD＝.在△BCD中，因为BC2＝12＝9＋3＝BD2＋CD2，所以∠BDC＝90°.设巡逻艇用了t时在E点处追到走私船，则DE＝3t，CE＝3t，∠CDE＝360°－135°－90°＝135°，在△CDE中，由正弦定理得：＝，则 sin∠DCE＝＝，因为∠DCE为锐角，所以∠DCE＝30°，因为∠BCD＝60°，所以∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝60°＋30°＝90°，所以选项C错误．所以α＝105°－90°＝15°，选项D正确．故选ABD. [答案]　4 [解析]　在△ADC中，∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝30°＝ ∠ADC，所以AC＝CD＝12；在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－45°－30°＝60°，由正弦定理得，＝，即＝，所以BC＝8sin 75°，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 75°＝144＋192sin275°－24·8sin 75°·cos 75°＝144＋192×－96sin 150°＝240，所以AB＝4，即A、B两点间的距离为4 km. [答案]　300 m [解析]　在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝300.在Rt△ACD中，因为tan ∠DAC＝＝，所以DC＝ACtan ∠DAC＝300×＝300(m)． [解析]　依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 1．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝，BC＝2，则∠C等于(　　) [解析]　由正弦定理知，＝，所以sin ∠C＝＝＝，因为∠C∈(0°，180°)，且BC>AB，所以∠C＝30°.故选D. 2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝，a＝1，B＝，则c等于(　　) A． B．2 C． D．3 A．4 B．2 C．4 D．8 [解析]　在△ABC中，因为a＝5，b＝7，c＝4，所以由余弦定理的推论得cos B＝＝＝－，所以sin B＝＝＝，因此S△ABC＝acsin B＝×5×4×＝4.故选A. 4．(2025·江苏南京、盐城第一次模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b－2c＝acos C－2acos B，则＝(　　) A． B． C．1 D．2 [解析]　由三角形中的射影定理可知a＝ccos B＋bcos C，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos A．因为b－2c＝acos C－2acos B，所以acos C＋ccos A－2(acos B＋bcos A)＝acos C－2acos B，整理得ccos A＝2bcos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以c＝2b，即＝2，故选D. 5．(2025·湖南郴州三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC＝，a＝4，BC边上的高AD＝，则b＋c＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．4 [解析]　根据三角形面积公式得S△ABC＝a·AD＝bcsin∠BAC.将 ∠BAC＝，a＝4，AD＝代入可得×4×＝bcsin ，2＝bc×，bc＝8.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即42＝b2＋c2－2bccos ，即16＝b2＋c2－bc，即16＝(b＋c)2－3bc，把bc＝8代入上式可得16＝(b＋c)2－3×8，即(b＋c)2＝16＋24＝40.因为b、c为三角形的边，所以b＋c＝＝2.故选A. 6．(2026·福建质检联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S.若a＝1，C＝且4S＝cos B＋bcos A，则B＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由4S＝cos B＋bcos A得4×absin C＝cos B＋bcos A⇒b＝＋b，又a＝1，故b＝＋＝c，所以sin B＝sin C＝，故sin B＝，由c>b，得C>B，故B不可能是钝角，因为B∈(0，π)，所以B＝.故选A. 7．(2026·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(　　) A．A＝30°，B＝45° B．C＝75°，A＝45° C．B＝60°，c＝3 D．c＝1，cos C＝ [解析]　由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B. 8．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则bc的取值范围为(　　) [解析]　根据正弦定理利用角B表示bc，利用三角变换及三角函数的性质可求bc的取值范围．因为A＝，a＝，由正弦定理得＝＝2，所以＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，故bc＝(2sin B)·(2sin C)＝4sin Bsin C＝4sin Bsin＝4×sin B＝2sin Bcos B＋2sin2B＝sin 2B＋2×＝sin 2B－cos 2B＋1 ＝2sin＋1，因为三角形为锐角三角形，故故<B<，故<2B－<，故<sin≤1，所以2<2sin＋1≤3；故bc的取值范围为(2,3]，故选A. 9．(2026·南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则B的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac，可得2accos B·＝ac，即sin B＝，因为0<B<π，所以B＝或B＝.故选BD. C．若＝＝，则△ABC是等边三角形 D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形 [解析]　若acos A＝bcos B，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；若bcos C＋ccos B＝b，则由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；若＝＝，则由正弦定理得＝＝，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误．故选BC. C．a＝，b＝，A＝60°，无解 [解析]　sin B＝＝1，有一解，A错误；A>90°，a>b，有一解，B正确；sin B＝＝>1，无解，C正确；sin B＝＝>1，无解，D错误．故选BC. 12．(2025·浙江绍兴二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin B＋csin C－asin A＝bsin C，则A＝________. [答案]　 [解析]　由题意及正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.所以由余弦定理的推论得cos A＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝. 13．(2026·四川绵阳诊断)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝2，c＝3，cos(B＋C)＝－，则a＝________. [答案]　 [解析]　由cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A＝－，故cos A＝，则a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋9－12×＝5，故a＝. 14．(2025·湖北普高联盟期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝________，cos C＝________. [答案]　4　－ [解析]　△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，则：a＋b＝，且△ABC的周长为9，则c＋＝9，解得c＝4.若△ABC的面积等于3sin C，则absin C＝3sin C，整理得ab＝6.由于a＋b＝＝5，故解得或所以cos C＝＝－. 15．(2026·全国T8数学联考)在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足cos2＝. (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足AB＝3AD，求的值． [解析]　(1)在△ABC中，cos2＝， ∴(1＋cos A)＝， ∴cos A＝. 解法一：在△ABC中，由正弦定理得cos A＝， ∴sin B＝cos Asin C， ∵A＋B＋C＝π，∴sin B＝sin(A＋C)， ∴sin Acos C＋cos Asin C＝cos Asin C， ∴sin Acos C＝0. ∵sin A≠0，∴cos C＝0， ∴C＝. 解法二：∵cos A＝，∴＝， ∴a2＋b2＝c2，∴C＝. (2)解法一：如图，过点D作DH垂直AC于点H，由题可得＝＝， 设AH＝x，HC＝2x，tan A＝，tan∠ACD＝， ∴＝2. 解法二：在△ACD中，由正弦定理得 ＝，① 在△BCD中，由正弦定理得 ＝， ∴＝，② ②÷①，得＝2. 1．(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　　) A． B．3 C． D．2 [解析]　因为＝，所以由正弦定理可得＝，所以3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)，又因为sin(A＋C)＝sin(π－B)＝ sin B，所以3sin Bcos C＝sin B，因为sin B≠0，所以3cos C＝1，解得cos C＝，又因为0<C<π，所以sin C>0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2.故选D. 2．(2025·天津河西区期中)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝，则b的取值范围是(　　) A．(0,6) B．(0,2) C．(，2) D．(3，6) [解析]　锐角△ABC中，a＝3，A＝，由正弦定理可得＝＝＝6，所以b＝6sin B，又B＋C＝π，所以解得<B<，所以<sin B<1，所以b∈(3，6)．故选D. A．B舰艇所需的时间为2小时 B．B舰艇与A舰艇对接时距离雷达兵(P处)距离为70公里 C．sin θ＝ D．A舰艇与B舰艇对接时距离Q处为50公里 [解析]　如图所示，设B舰艇经过x小时后在M处与A舰艇汇合，则MQ＝50x，MP＝70x，∠PQM＝120°，由余弦定理得(70x)2＝302＋(50x)2－ 3 000xcos 120°，即8x2－5x－3＝0，解得x＝1或－(舍去)，所以MQ＝50，MP＝70，又由正弦定理得＝，可得sin θ＝＝.故选BCD. 4．(2025·河北张家口期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝(a2＋c2－b2)，则的最大值为________. [答案]　 [解析]　因为S＝acsin B，所以acsin B＝(a2＋c2－b2)，所以sin B＝，即sin B＝cos B，tan B＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.S＝acsin B＝ac，＝×，因为a2＋3c2≥2ac，当且仅当a＝c时取到等号，所以＝×≤×＝. 5．(2024·北京卷)在△ABC中，a＝7，A为钝角，sin 2B＝bcos B． (1)求∠A； (2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积． ①b＝7；②cos B＝；③csin A＝. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分． [解析]　(1)由题意得2sin Bcos B＝bcos B， 因为A为钝角， 则cos B≠0，则2sin B＝b， 则＝＝＝，解得sin A＝， 因为A为钝角，则A＝. (2)选择①b＝7，则sin B＝b＝×7＝， 因为A＝，则B为锐角，则B＝， 此时A＋B＝π，不合题意，舍弃； 选择②cos B＝，因为B为三角形内角， 则sin B＝＝， 则代入2sin B＝b得2×＝b，解得b＝3， sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝， 则S△ABC＝absin C＝×7×3×＝. 选择③csin A＝，则有c×＝， 解得c＝5， 则由正弦定理得＝，即＝， 解得sin C＝， 因为C为三角形内角， 则cos C＝＝， 则sin B＝sin(A＋C)＝sin＝sin cos C＋cos sin C＝×＋×＝， 则S△ABC＝acsin B＝×7×5×＝. (2026·广东肇庆模拟)在①＝，②＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下列问题． [解析]　(1)选择条件①：因为＝， 由正弦定理，得＝， 所以b2＋a2－c2＝ab. 由余弦定理，得cos C＝＝＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. 选择条件②：因为＝， 所以2acos C－bcos C＝ccos B，即2acos C＝ccos B＋bcos C． 由正弦定理得2sin Acos C＝sin Ccos B＋sin Bcos C， 即2sin Acos C＝sin(C＋B)． 因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A， 所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A. 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为点O是内心， 所以∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠CBA. 因为∠ACB＋∠BAC＋∠CBA＝π， 所以∠BAC＋∠CBA＝， 所以∠OAB＋∠OBA＝， 所以∠AOB＝. 由余弦定理得AB2＝AO2＋BO2－2AO·BOcos∠AOB， 即25＝17＋AO·BO，解得AO·BO＝8， 所以S△AOB＝AO·BOsin∠AOB＝2. $