4.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用”专题，依据高考评价体系梳理了五点法作图、图象变换、解析式求解、参数ω范围等核心考点，通过近五年真题分析明确“图象变换”“参数求解”占比超60%的高频考点，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+易错警示+素养提升”策略，如以2022新高考Ⅱ卷真题为例，解析三角函数对称性与单调性的综合应用，培养学生数学思维与推理能力。设“提能训练”分层突破，教师可依托考点权重精准教学，助力学生掌握解题技巧，高效冲刺高考。

第四章 三角函数与解三角形 第五讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[27] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示． x ________ _________ ______ _________ ______ ωx＋φ ______ ______ ______ ______ ________ y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 0 π 2π 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点二　函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点三　简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量 ωx＋φ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 归 纳 拓 展 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组二　走进教材 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组三　走向考场 A．8 B．6 C．4 D．3 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点突破 · 互动探究 返回导航 “五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象——自主练透 (1)求ω的值及f(x)图象的对称轴方程； (2)在如图所示的坐标系中，用“五点法”作出f(x)在[0，π]上的图象，并写出f(x)在[0，π]上的单调递增区间． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (2)关键点列表如下： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得f(x)在[0，π]上的图象如图所示， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤 1．将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的形式． 2．确定周期． 3．确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点． 4．列表． 5．描点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三角函数图象的变换——多维探究 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 2．如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 已知三角函数图象求解析式——师生共研 (多选题)下图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 3．求φ，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 (多选题)(2026·河北邢台模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，则(　　) [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三角函数图象与性质的综合应用——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：三角函数图象与性质的综合问题的求解思路 先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 三角函数中有关ω的范围问题 题型分析　三角函数中的参数问题主要是涉及函数y＝Asin(ωx＋φ)中ω的求解，一般是利用所给函数的单调性、对称性、最值、零点等进行解决． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 一、三角函数的单调性与ω的关系 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 二、三角函数的对称性与ω的关系 (2026·郑州质检)若定义在R上的函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三、三角函数的最值与ω的关系 A．11 B．13 C．15 D．17 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 四、三角函数的零点与ω的关系 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 提能训练　练案[27] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 二、多选题 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三、填空题 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 四、解答题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 B组能力提升 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 4．(2026·甘肃白银模拟)如图，将函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移得到g(x)＝4sin ωx的图象，其中点A是g(x)图象上的最高点，N，M分别是f(x)，g(x)的图象与x轴的相邻交点(如图所示)，若|MN|＝|AM|，△AMN的面积为10，则f(x)＝(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 C组拓展应用(选作) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 谢谢观看 － － － y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ _________ φ 由函数y＝Asin(ωx＋φ1)的图象变换为函数y＝Asin(ωx＋φ2)的图象，是平移变换，当>0时，左移个单位，当<0时，右移个单位． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为. 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标． (2)把y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为y＝sin.(　　) (3)将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．(　　) 2．(必修1P254T10改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2,4π， B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ [解析]　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.故选C. 3．(必修1P239T2改编)用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　) A． B． C． D． [解析]　令4x－＝，得x＝.所以该点坐标为.故选A. 4．(必修1P239T2(2)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需把函数y＝3sin的图象上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 5．(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) [解析]　函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ω>0)，设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π，(k∈N*)，所以T＝＝，(k∈N*)，即ω＝2k，(k∈N*)；又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx＋∈，所以＋≥π，即ω≥3；综上，ω的最小值为4.故选C. (2026·重庆模拟)已知函数f(x)＝2sin ωxsin＋cos2ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π. [解析]　(1)f(x)＝2sin ωx·sin＋cos2ωx－sin2ωx ＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝2sin，ω>0. 由f(x)的最小正周期T＝＝π，得ω＝1， 所以f(x)＝2sin，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)， 得f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)． x 0 π 2x＋ π 2π f(x) 1 2 0 －2 0 1 由图象可知，f(x)在[0，π]上的单调递增区间为，. 6．连线：用平滑曲线连接各点得函数在一个周期(或给定区间)内的图象．注意用“五点法”作图时，表中五点横坐标构成以－为首项，公差为的等差数列． (多选题)(2025·保定期末)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　) A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2 C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 [解析]　曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos＝cos＝sin，故A正确；把曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos＝cos，故B错误；把曲线C1：y＝cos x上各点的 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos＝cos＝cos，故C错误；把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos＝cos＝cos＝sin，故D正确．故选AD. 1．由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的表达式为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D．y＝－cos 2x [解析]　g(x)＝sin＝sin＝－cos 2x.故选D. A．sin B．sin C．cos D．cos [解析]　解法一：由函数图象可知＝－＝，所以T＝π，则|ω|＝＝＝2，所以ω＝±2，当ω＝2时，由函数图象过点，，且f(0)>0，得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin＝sin，同理，当ω＝－2时，φ＝－2kπ，k∈Z，所以y＝sin＝cos.故选BC. 解法二(五点法)：假设ω>0，由五点作图法得： 解得 ∴y＝sin＝sin＝sin 或y＝sin＝sin＝cos.故选BC. 1．求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝. 2．求ω，确定函数的周期T，则ω＝. “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π. A．A＝4 B．ω＝2 C．φ＝ D．k＝1 [解析]　由图象可知，A＝2，k＝＝1，故A错误，D正确；又由图象可得T＝2×＝π，∴＝π，又ω>0，∴ω＝2，故B正确；∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，又f＝3，∴2sin＋1＝3，∴sin＝1，又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin＋1，故C错误．故选BD. (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 [解析]　解法一：由2x＋φ＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以－＝，即φ＝kπ－(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin. 解法二：因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin. 对于A，解法一：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，因为⊆，所以函数f(x)在区间单调递减，故A正确； 解法二：当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间单调递减，故A正确； 对于B，解法一：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，当k＝1时，x＝，当k＝2时，x＝时，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确； 解法二：当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间只有一个极值点，故B不正确； 对于C，解法一：由选项B解法一的分析知，函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－(k∈Z)，而方程－＝(k∈Z)无解，故C不正确； 解法二：因为f＝sin＝sin 3π＝0，所以x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确； 对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－，方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．综上所述，选AD. (2025·天津南开中学月考)已知f(x)＝sin ＋cos ，x＝φ(0<φ<π)是函数f(x)图象的一条对称轴，g(x)＝cos，则下列说法中正确的是(　　) A．x＝是g(x)图象的一条对称轴 B．为g(x)图象的一个对称中心 C．g(x)图象与y轴的交点为(0，) D．g(x)在上单调递增 [解析]　f(x)＝＝sin，令＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z，由x＝φ(0<φ<π)是f(x)图象的一条对称轴，可得φ＝，∴g(x)＝cos，∴g＝cos＝cos ＝0，故A错误，B正确；又g(0)＝cos ＝1，所以g(x)图象与y轴的交点为(0,1)，故C错误；当－≤x≤时，0≤2x＋≤π，由余弦函数性质，知g(x)在上单调递减，故D错误．故选B. 已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　解法一：由题意得 则 又ω>0，所以所以k＝0，则0<ω≤. 解法二：取ω＝1.则f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B. (2025·辽宁八市八校联考)已知函数f(x)＝sin(ω>0)图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f(x)在(－m，m)上是增函数，则m的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意知，T＝2π，即T＝4π，则ω＝＝，则f(x)＝sin，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，所以f(x)在上是增函数，由(－m，m)⊆得0<m≤.故选B. A． B． C． D． [解析]　解法一：由已知得，f(x)＝sin，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，依题意知，满足0≤≤π，即0≤4k＋1≤4ω的整数k有5个，所以k＝0,1,2,3,4，则4×4＋1≤4ω<4×5＋1，故≤ω<. 解法二：由已知得，f(x)＝sin，由x∈，得ωx＋∈，若函数f(x)的图象在区间[0，π]上有5条对称轴，则≤ωπ＋<，解得≤ω<.故选A. 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围． (多选题)(2025·大同质检)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，则ω可取的值为(　　) A． B． C．1 D．4 [解析]　将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin＝cos，又因为F(x)＝f(x)g(x)的图象关于点对称，所以F(x)＝sincos＝sin的图象关于点对称，则2ω·＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为1，故ω可取的值为1,4.故选CD. (2026·烟台质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是(　　) [解析]　由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，所以f＝±1，即 ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z　①，又f＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z　②，由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，又f(x)在区间上有最小值无最大值，所以T≥－＝，即≥，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π －，k1∈Z，又|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈，当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．故ω的最大值为15.故选C. (2025·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　因为ω>0，所以当0<x<时，有<ωx＋<ω＋.因为f(x)在区间内有最大值，但无最小值，结合函数图象得<ω＋≤，解得<ω≤.故选A. (2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)满足f＝f.若f(x)在上恰好有一个最小值和一个最大值，则ω＝________；若f(x)在上恰好有两个零点，则ω的取值范围是________. [答案]　4　 [解析]　因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，设f(x)的最小正周期为T，若f(x)在上恰好有一个最小值和一个最大值，且f＝f，则T＝－＝，所以ω＝＝4.若f(x)在上恰好有两个零点，则解得≤T<π，即≤<π，且ω>0，可得2<ω≤6.当x∈时，ωx＋∈，且<ω＋≤π，<ω＋ ≤4π，且f＝f，可得或或解得ω＝或ω＝4或ω＝6，所以ω的取值范围是. 三角函数两个相邻零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值． (2026·三湘联合体模拟)若函数f(x)＝cos(ω>0)在区间上恰有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D．∪ [解析]　由题可知<－≤，又T＝，所以1<ω≤3.因为ω＋<ωx＋<ω＋，函数f(x)＝cos在区间上恰有两个零点，所以或解得<ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为∪.故选C. 1．(2026·屯昌模拟)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin [解析]　函数y＝2sin的周期为T＝＝π，图象向右平移个周期，即平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝2sin，即y＝2sin.故选D. 2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝2，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝2，φ＝－ D．ω＝，φ＝－ [解析]　由题图可得＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝sin＝1，且－<φ<，则<φ＋<，∴φ＋＝，解得φ＝－.故选C. 3．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin [解析]　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin的图象y＝sin的图象f(x)＝sin的图象．故选B. 4．(2026·全国T8数学联考)图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用，在图2中，一个半径为2 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为 m．设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位：m)(若在水面下则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin(ωt＋φ)＋K，则φ＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　由题得筒车半径为2 m，转动一圈需要40 s，且轴心O距水面高度为 m，∴A＝＝2，ω＝＝，K＝＝(m)．又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，∴d(0)＝0，∴sin φ＝－，又－<φ<，∴φ＝－. 5．(2026·甘肃模拟预测)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g＝(　　) A． B． C．1 D．2 [解析]　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝2sin＝2sin的图象，所以g＝2sin ＝1.故选C. 6．(2025·黑龙江牡丹江模拟)函数f(x)＝2sin(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法错误的是(　　) A．ω＝ B．函数f(x)的图象关于点对称 C．函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数y＝g在上单调递减 [解析]　由图可知，函数f(x)的图象过点，∴f＝2sin＝2，∴sin＝1，∴＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋6k，k∈Z，∵0<ω<1，∴ω＝，故A正确；f(x)＝2sin，令x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋kπ，k∈Z，∴f(x)的图象关于(k∈Z)对称，当k＝0时，函数f(x)关于对称，故B正确；将f(x)向左平移个单位长 度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝2cos x，则g(x)的对称轴为x＝kπ，k∈Z，故C错误；函数y＝g＝2cos，当x∈时，2x＋∈⊆[0，π]，∴函数y＝g在上单调递减，故D正确．故选C. 7．(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋a·cos ωx(a>0，ω>0)的最小正周期为π，最小值为－，则(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－对称 B．f(x)的图象关于点对称 C．先将y＝sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移个单位可得到f(x)的图象 D．先将y＝sin x向左平移个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可得f(x)的图象 [解析]　f(x)＝sin ωx＋a·cos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中tan φ＝a，因为函数的最小正周期为π，ω>0，则＝π，解得ω＝2，又函数的最小值为－，所以＝，因a>0，则可得a＝1，所以f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.对于A，因为f＝sin＝－1≠±，即函数图象不关于直线x＝－对称，故A错误；对于B，因为f＝sin ＝－1≠0，即函数图象不关于点对称，故B错误；对于C，将y＝sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y＝sin 2x的图象，再将图象向左平移个单位可得到y＝sin2＝sin即函数f(x)的图象，故C正确；对于D，将y＝sin x向左平移个单位，可得y＝sin的图象，再将图象上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，而不是函数f(x)的图象，故D错误．故选C. 8．(2026·全国模拟)若直线y＝m与曲线f(x)＝2sin，x∈从左往右仅相交于A，B，C三点，且5|AB|＝|BC|，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． [解析]　函数y＝2sin的最小正周期T＝＝π，作函数f(x)＝2sin，x∈的图象，如图所示．直线y＝m与曲线f(x)＝2sin，x∈从左往右仅相交于A，B，C三点，且5|AB|＝|BC|，所以1≤m<2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由5|AB|＝|BC|，得x2－x1＝T＝　①，又因为A，B两点关于直线 x＝对称，则x1＋x2＝　②.由①②可得x1＝，于是m＝f(x1)＝2sin＝.故选C. 9．(2025·河南期中)已知函数y＝2sin，则(　　) A．函数f(x)的最小值－2 B．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 C．函数f(x)在区间上单调递减 D．函数f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 [解析]　当sin＝－1，函数f(x)的最小值为－2，选项A正确；f＝2sin＝－1，故图象不关于直线x＝－对称，B错误，不符合题意；令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，≤x≤，因为∈，故函数f(x)在区间上单调递减，选项C正确；y＝sin 2x的图象向左平移得到y＝sin，故选项D错误，不符合题意．故选AC. 10．(2025·重庆三模)如图是函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝2cos B．f(x)的图象关于中心对称 C．f(x)在(－1,2)上单调递增 D．f(x)的图象向左平移个单位长度后为奇函数 [解析]　由f(0)＝1得cos φ＝，由－<φ<0得φ＝－，由f＝0得cos＝0，故－(ω＋1)＝＋kπ(k∈Z)，化简得ω＝－－3k(k∈Z)，由图可知该函数的周期T＝>×4，故0<ω<，解得ω＝，所以f(x)＝2cos，故A正确；由f＝2cos ≠0，得不是函数的对称中心，故B错误；由－1<x<2，可得－－<x－<1－，由－ <－－<1－<，得函数f(x)在(－1,2)上单调递增，故C正确；f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数f＝2cos的图象，此时f为偶函数，故D错误．故选AC. 11．(2025·甘肃白银二模)已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)＝sin B．g(x)的图象关于直线x＝对称 C．g(x)在区间内单调递减 D．f(x)与g(x)的图象关于直线x＝对称 [解析]　由题设f(x)＝cos，则g(x)＝f＝cos＝－sin，所以g(x)＝－sin＝－cos，A错误；由g＝－sin＝－1，故g(x)的图象关于直线x＝对称，B正确；由x∈，则2x＋∈，故y＝sin在上单调递增，所以g(x)在区间内单调递减，C正确；由g＝－sin ＝sin＝sin＝－sin，显然g≠f(x)，则f(x)与g(x)的图象不关于直线x＝对称，D错误．故选BC. 12．(2026·嘉定模拟)已知A∈R，实数ω>0，f(x)＝Asin，函数y＝f(x)的部分图象如图所示，若该函数的最小正零点是，则ω＝________. [解析]　由图象知，A＝2，因为该函数的最小正零点是，所以2sin＝0，则ω＋＝π，解得ω＝2. 13．(2026·厦门模拟)将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝________. [答案]　 [解析]　将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin的图象，因为函数g(x)是奇函数，所以g(0)＝sin＝0，则2φ－＝kπ，k∈Z，则φ＝＋，k∈Z，因为0<φ<，所以φ＝. 14．已知f(x)＝4sin(ωx＋φ)·sin，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝________；f(x)在区间[0,2 024π]内有________条对称轴． [答案]　　8 096 [解析]　f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin＝2sin(2ωx＋2φ)，由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝，由于点(0，)在单调递增的区间内，故2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝；由图象过点，则ω＋＝2π，解得ω＝2.故f(x)＝2sin，令4x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.令0≤＋≤2 024π，k∈Z，则－≤k≤8 096－，k∈Z.所以f(x)在[0,2 024π]内有8 096条对称轴． 15．(2025·北京东城二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求ω的值； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，并求函数f(x)在上的最大值和最小值． 条件①：函数f是奇函数； 条件②：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin ωx的图象； 条件③：f(0)＝f. [解析]　(1)设f(x)的最小正周期为T， 由题意可得：＝－x0＝，即T＝π， 且ω>0，所以ω＝＝2. (2)由(1)可知：f(x)＝sin(2x＋φ)， 若选条件①：函数f＝sin＝sin是奇函数， 且0<φ<，则<＋φ<， 可得＋φ＝π，解得φ＝， 则f(x)＝sin， 又因为x∈，则2x＋∈， 可知：当2x＋＝，即x＝时，f(x)取到最小值－； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取到最大值1； 若选条件②：将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后， 得到y＝f＝sin＝sin＝sin 2x， 且0<φ<，则－<φ－<， 可得φ－＝0，解得φ＝，则f(x)＝sin， 又因为x∈，则2x＋∈， 可知：当2x＋＝，即x＝时，f(x)取到最小值－； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取到最大值1； 若选条件③：因为f(0)＝f， 即sin φ＝sin， 且0<φ<，则<＋φ<， 可知sin φ>0，sin<0， 即sin φ≠sin，不合题意，舍去． 1．(2026·湖北恩施模拟)要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝cos的图象(　　) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 [解析]　因为y＝cos＝cos＝sin，由y＝sin向左平移个单位长度，即得y＝sin＝sin.故选D. 2．(2026·辽宁大连阶段练习)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则g＝(　　) A． B． C．1 D．0 [解析]　观察函数图象，函数f(x)的最小正周期T＝＝，解得ω＝2，由f＝1，得2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，则k＝0，φ＝，f(x)＝sin，将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin的图象，因此g(x)＝sin，所以g＝ sin ＝1.故选C. 3．(2025·广东佛山三模)将函数f(x)＝4cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　) A．g(x)是奇函数 B．g(x)的图象关于直线x＝对称 C．g(x)在上的值域为[－2,4] D．g(x)在上单调递增 [解析]　由题意知g(x)＝4cos，g(x)不是奇函数，故A错误；g＝4cos＝2≠±4，g(x)不关于直线x＝对称，故B错误；由x∈，得2x－∈，则4cos∈[－2,4]，故C正确；当x∈时，2x－∈，而y＝cos x在上不单调，所以g(x)在上不单调，故D错误．故选C. A．4sin B．4sin C．4sin D．4sin [解析]　函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移最小θ(θ>0)个单位得到g(x)＝4sin ωx，则4sin[ω(x＋θ)＋φ]＝4sin(ωx＋ωθ＋φ)＝4sin ωx，又ω>0，|φ|<π，所以ωθ＋φ＝0，即θ＝，所以|MN|＝，三角形△AMN的面积××4＝10，即＝－5，又函数的周期为，所以|AM|＝＝，联立＝－5，解得：ω＝，φ＝－，所以f(x)＝4sin，故选A. 5．(2025·湖北襄阳二模)已知函数f(x)＝sin ＋cos ＋. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝g(x)的图象，当函数y＝g(x)－k在上有一个零点时，求k的取值范围． [解析]　(1)f(x)＝sin ＋cos ＋＝sin＋， 令＋2kπ≤＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＋， 则y＝g(x)－k＝sin＋－k， 因为0≤x≤，所以－≤－≤π， 所以要使函数y＝g(x)－k在上有一个零点，则y＝g(x)与y＝k只有一个交点， 结合正弦函数的图象： 可得当－≤－<0或－＝， 即0≤x<或x＝， 即0≤sin＋<或sin＋＝，0≤k<或k＝时，y＝g(x)与y＝k只有一个交点， 所以实数k的取值范围为. (2025·湖南一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则g(－2)＝(　　) A． B．0 C． D．－ [解析]　由题知，函数f(x)的最小正周期T满足＝xM－xP＝－1＝，解得T＝6，所以ω＝＝，则f(x)＝Asin，由图象与x轴的交点为M得×＋φ＝kπ(k∈Z)，则φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝Asin，则f(0)＝Asin ＝A，所以f(x)图象与y轴的交点为N，则＝，＝，因为NM⊥NP， 所以·＝－＝0，解得A＝－(负舍)，所以A＝，所以f(x)＝sin，所以若将f(x)的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则g(x)＝sin＝cos x，所以g(－2)＝ cos＝－cos ＝－.故选D. $