第六节 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用专题，依据高考评价体系梳理了概念辨析、五点法作图、图象变换、解析式求解、实际应用五大核心考点。通过近五年真题分析明确图象变换和解析式求解占比超60%，归纳出选择填空及解答题常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”策略，如结合2023新高考Ⅱ卷真题，详解根据图象求ω和φ的“周期公式+特殊点代入法”，培养学生数学抽象和逻辑推理素养。特设易错点警示（如平移量混淆）和模型应用实例（筒车盛水问题），助力学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第六节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用 1 知识清单 1.函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝____ f＝＝ ____ φ ωx＋φ 返回导航 2 2.用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x ____ ____ ____ ____ ____ y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 返回导航 3 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 |φ| || 返回导航 4 【常用结论】 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是(ω>0)个单位长度． 返回导航 5 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin (2x＋)．(　　) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　) × × 返回导航 6 (3)将函数y＝2sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin 的图象．(　　) (4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　) × √ 返回导航 7 2．(人教A版必修一P254T10改编)简谐运动可用函数f(x)＝sin (8x－)，x∈[0，＋∞)表示，则这个简谐运动的初相为(　　) A． B．－ C．8x－ D．8x 答案：B 解析：该简谐运动的相位为8x－，当x＝0时的相位为初相，即初相为－. 返回导航 8 3．(人教A版必修一P239T2(2)改编)已知函数y＝3sin (x＋)的图象为C，为了得到函数y＝3sin (2x＋)的图象，只要把C上所有的点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：B 解析：把函数y＝3sin (x＋)的图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝3sin (2x＋)的图象． 返回导航 9 4．(人教A版必修一P241T5改编)将函数y＝3sin (2x＋)的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝____________． 3sin (2x＋) 解析：函数y＝3sin (2x＋)的图象向左平移后得到函数y＝g(x)＝3sin [2(x＋)＋]＝3sin (2x＋)的图象，故g(x)＝3sin (2x＋). 返回导航 10 02.考教衔接·活用教材 返回导航 11 命题点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 例1 已知函数f(x)＝2sin (2x＋)． (1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)； 解析：因为x∈[0，π]，所以2x＋∈[，]. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 返回导航 12 描点、连线得图象如图所示． 返回导航 13 (2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ 解析：将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再将y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x＋)的图象，再将y＝sin (2x＋)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x＋)的图象． 返回导航 14 学霸笔记：(1)五点法作图，用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 返回导航 15 　跟踪训练　(人教A版必修一P254复习参考题T8(4))画出函数y＝3sin ()在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出是由函数y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到的？ 返回导航 16 解析：作图如下， 令－＝0⇒xA＝，依次求出xB＝xA＋＝2π， xC＝xA＋＝，xD＝xB＋＝5π，xE＝xA＋T＝. 返回导航 17 变换方式：横坐标伸长到原来的3倍，再将图象关于y轴对称，向右移，最后纵坐标伸长到原来的3倍， 返回导航 18 命题点二　根据图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 例2 (1)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝ (　　) A．sin (x＋) B．sin (－2x) C．cos (2x＋) D．cos (－2x) 答案：BC　 返回导航 19 返回导航 20 (2)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 返回导航 21 返回导航 22 　真题探源　(源自人教A版必修一P241T4)函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω>0，0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________． 返回导航 23 返回导航 24 学霸笔记：确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ．常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 返回导航 25 命题点三　三角函数模型的实际应用 例3 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：米)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：秒)之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K(A>0，ω>0，－<φ<)，则(　　) A．ω＝ B．φ＝－ C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 答案：D 返回导航 26 返回导航 27 学霸笔记：已知函数的解析式利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系． 返回导航 28 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P245例1)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为___________________． 返回导航 29 返回导航 30 03.课时作业27 返回导航 31 1．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间满足关系式y＝20sin ，则该弹簧振子运动的最小正周期为(　　) A．0.6 s B．0.5 s C．0.4 s D．0.3 s 答案：A 解析：由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期T＝＝0.6 s.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 32 2．(2026·福州模拟)为了得到函数g(x)＝tan (x＋1)的图象，只需把函数f(x)＝tan x图象上所有的点(　　) A．向右平移1个单位长度 B．向左平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 33 解析：对于A，函数f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x－1)＝tan (x－1)，A错误；对于B，函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得f(x＋1)＝tan (x＋1)，B正确；对于C，函数f(x)的图象向上平移1个单位长度得f(x)＋1＝tan x＋1，C错误；对于D，函数f(x)的图象向下平移1个单位长度得f(x)－1＝tan x－1，D错误．故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 34 3．(2026·南京二模)把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝(　　) A．cos B．cos C．cos D．cos 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 35 解析：把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)后的函数为y＝cos 2x，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为y＝cos .故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 36 4. (2025·全国Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3　　　B．4 C．6　　　D．8 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 37 解析：令3x－＋k1π，k1∈Z，则x＝，k1∈Z， 又x∈［0，2π］，所以x＝ 令3x－＝k2π，k2∈Z，则x＝ 又x∈ ［0，2π］，所以x＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 38 如图，作出函数y＝sin x与y＝2sin在［0，2π］上的大致图象，由图可知，两函数图象共有6个交点．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 39 5．(2026·保定模拟)函数g(x)＝sin 的图象向左平移个单位得到函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的解析式为(　　) A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x C．y＝cos 2x D．y＝－cos 2x 答案：D 解析：由g(x)＝sin的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin ＝－cos 2x.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 40 6．(2026·蚌埠模拟)将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y＝sin x－cos x的图象，则φ的最小值为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：B 解析：由y＝sin x＋cos x＝，y＝sin x－cos x＝，则将函数y＝sin x＋cos x的图象向右平移的最小正值为个单位长度，得到函数y＝sin x－cos x的图象，所以φ的最小值为故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 41 7．(2026·哈尔滨模拟)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将y＝sin x图象上的所有点(　　) A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C．向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍 D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 答案：BD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 42 解析：对于A，y＝sin x→y＝→y＝sin，A错误；对于B，y＝sin x→y＝sin 2x→y＝sin 2，B正确；对于C，y＝sin x→y＝sin→y＝sin ，C错误；对于D，y＝sin x→y＝sin，D正确．故选BD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 43 8．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝ B．ω＝1 C．f的图象关于原点对称 D．直线x＝－是f(x)的图象的对称轴 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 44 解析：由题意及题图得，在f(x)＝A sin (ωx＋φ)中，A＝，故A正确；，∴T＝π，ω＝2，故B错误；∴f(x)＝，∵图象过点，∴2×＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)，∵|φ|，∴φ＝，f(x)＝，∴f，当x＝0时， 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 45 的图象关于原点对称，故C正确；当x＝，2x＋，当直线x满足2x的对称轴，∴不存在整数k使得x＝时，kπ＋，即－(k∈Z)，故D错误．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 46 9．(2026·长沙模拟)将函数f(x)＝tan 的图象向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)的对称中心为______________． 解析：由题意，函数g(x)＝，则y＝g(x)的对称中心为(k∈Z)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 47 10．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A，B，若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g＝________． －1 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 48 解析：因为A在函数图象上且纵坐标互为相反数，结合图象可知，根据T，解得ω＝6.再将代入f(x)＝2sin (ωx＋φ)，解得2sin φ＝，sin φ＝.因为|φ|<，所以φ＝，所以函数的解析式为f(x)＝2sin .将f(x)的图象向左平移个单位长度得g(x)＝2sin＝2sin＝2sin ＝－1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 49 11．(13分)已知函数f(x)＝cos . (1)利用“五点法”完成以下表格，并画出函数f(x)在一个周期内的图象； 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 50 (2)如何由y=cosx的图象变换得到f（x）的图象？ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 51 解析：方法一　先将y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos的图象， 再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得f(x)＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 52 方法二　先将y＝cos x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到y＝cos 2x的图象， 再将曲线向右平移个单位长度， 得y＝cos 2＝cos的图象， 最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍，得到f(x)＝ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 53 12．(15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，如图所示． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 54 (1)求函数f(x)的解析式； 解析：由题图得 因为T＝π，所以ω＝ 由f，得A sin 所以＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z. 又因为|φ|<，所以当k＝1时，φ＝ 又由f(0)＝，得A sin φ＝，A＝2. 故f(x)＝2sin 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 55 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的单调递增区间． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 56 解析：将f(x)＝2sin 的图象向右平移个单位， 得到y＝2sin＝2sin的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到g(x)＝2sin 的图象． 由2kπ－ 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 57 当k＝0时， 因为x∈，所以函数g(x)在区间上的单调递增区间为 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 58 ．(5分)若函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，|φ|<π)的图象上有两个相邻顶点为M(-3，)，N(1，-).将f(x)的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移 个单位后得到g(x)的图象，则g(4/3)的值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 59 解析：函数图象上有两个相邻顶点为M，则＝1－(－3)＝4，即T＝8，可得＝8，解得ω＝，由顶点纵坐标为则f(x)＝过M，代入得，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z，∵|φ|<π，∴φ＝，可知f(x)＝，则g(x)＝，则g故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 60 14.(5分)(2026·武汉模拟)将函数f(x)＝-的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上的最大值为1，则θ＝________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 61 解析：将函数f(x)＝－2sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝－2sin，当x∈时，3x－，由于g(x)在区间上的最大值为1，则g(x)在区间 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 1 62 解析：由函数图象可知＝－＝，所以T＝π，则＝＝＝2，不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的解析式为y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋＋)＝cos (2x＋)＝sin (－2x)，而cos (2x＋)＝－cos (－2x)．故选BC. － 解析：对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点(画图)法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π　①. 由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4，代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－. y＝2sin (2x＋) 解析：由题图得A＝2，最小正周期T＝2(＋)＝π，则ω＝＝＝2，把(－，2)代入y＝2sin (2x＋φ)得2＝2sin (－＋φ)，即sin (－＋φ)＝1，所以－＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以此函数的解析式为y＝2sin (2x＋). 解析：点P到水面的距离d与时间t之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K，对于A，依题意，A＝3，K＝1.5，T＝＝40，则ω＝＝＝，A错误；对于B，由t＝0时，得d＝3sin φ＋1.5＝0，即sin φ＝－，而－<φ<，则φ＝－，B错误；对于C，d＝3sin (t－)＋1.5，令d＝－1.5，得3sin (t－)＋1.5＝－1.5，解得sin (t－)＝－1，则t－＝，解得t＝，即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；对于D，由d≤0，得3sin (t－)＋1.5≤0，即sin (t－)≤－，则＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋40k≤t≤40＋40k，k∈Z，所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为40－＝秒，D正确．故选D. y＝10sin (x＋)＋20 解析：从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，又×＝14－6，所以ω＝.所以A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20，又×10＋φ＝2π，解得φ＝，所以y＝10sin (x＋)＋20. $