精品解析：四川南江县实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

南江县实验中学2025-2026年秋学期期中考试 高2024级数学试卷（题卷） 本试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ） A. 1或 B. C. 2或 D. 1 5. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 6. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 7. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（    ） A. 62 B. 169 C. 170 D. 190 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 过且与直线平行的直线方程为 D. 过且与直线垂直的直线方程为 10. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为16 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，若，则___________． 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，则__________. 14. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______． 四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若，求函数的单调区间． 16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的值. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值． 18. 已知数列中，，满足. （1）证明数列是等比数列； （2）设，求的通项公式； （3）设，的前项和记为，试证明. 19. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江县实验中学2025-2026年秋学期期中考试 高2024级数学试卷（题卷） 本试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的的一个通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式. 【详解】将写成，所以该数列各项分子为，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列， 所以此数列的一个通项公式为，故C正确. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，即得答案. 【详解】因为， 所以z的虚部为. 故选：A. 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的求导法则即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 4. 已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ） A. 1或 B. C. 2或 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项概念和等比数列通项公式即可求公比. 【详解】因为为，的等差中项，所以， 又因为数列为等比数列，设公比为，则有， 解得， 故选：A. 5. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 6. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 7. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象知，的图象为增函数， 且在区间上增长速度越来越快， 而在区间上增长速度越来越慢． 故选B. 8. 已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（    ） A. 62 B. 169 C. 170 D. 190 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 当时，，解得或或； 当时，，解得或或或； 当时，，解得或或或或或； 所以的所有可能取值为， 它们的和为. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 过且与直线平行的直线方程为 D. 过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 10. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以,故C错误； 对于D，， 因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确. 故选：AD. 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. 函数的极小值为0 B. 若，则 C. 若，则有3个相异的零点 D. 若（其中），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是的极大值点，所以，解得， 所以，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确； 对于B中，当时，，则， 因为在区间上单调递减，所以，所以B错误； 对于C中，由，且当时，，当时，， 可得的图象，如图所示， 当时，有3个相异零点，所以C正确； 对于D中，因为，要证，只需证明， 由在上单调递增，需证明， 即当时，证明， 构造函数（其中）， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解． 【详解】 ， 则是周期为3的周期数列， 又， . 13. 已知等比数列的各项均为正数，且，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】应用对数运算结合等比数列下标和性质计算求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为是等比数列，则. 14. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“新不动点”的定义列方程求解即可. 【详解】由，得， 由，得， ，得， 所以， 因为，所以， 所以，得， 所以在区间上的“新不动点”为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若，求函数的单调区间． 【答案】（1）极大值为；极小值为 （2）单调递增区间为和；单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）将代入并求导，再根据导数的符号求得函数的单调性，从而找出极值点，进而求出函数的极值； （2）将代入并求导，从而根据导数的符号求得函数的单调性，进而得到函数的单调区间． 【小问1详解】 若，则， 则， 令，则或， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极大值，且极大值为； 在处取得极小值，且极小值为． 【小问2详解】 若，则， 则， 令，则或， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为． 16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质求出基本量，进而得到方程即可. （2）利用两点间距离公式结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，且经过点， 所以，而离心率为，则，解得， 可得，故椭圆方程为. 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形，设， 令，可得，则，且， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，， 由两点间距离公式得 ，同理可得， 则. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，证明即可求证； （2）结合（1）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可得解； （3）先计算平面的法向量，再结合（2）计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系，及同角三角函数的平方关系即可得解． 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，    由正方体的棱长为2，且和分别为和的中点， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即， 又，则， 又平面，故平面． 【小问2详解】 由（1）可知，平面的法向量为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（1）可知，，平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则，，则， 所以， 则二面角的正弦值为． 18. 已知数列中，，满足. （1）证明数列是等比数列； （2）设，求的通项公式； （3）设，的前项和记为，试证明. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对已知递推公式变形构造目标数列，通过等比数列定义验证公比为常数、首项非零，完成证明；（2）利用第一问的结论求出的通项，代入的对数式化简，直接得到​的通项公式；（3）写出通项后用错位相减法求出前项和，通过放缩证明不等式成立. 【小问1详解】 由已知递推式得，变形得，  首项，因此（常数）， 故数列是首项为​、公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）的结论得：，​ 整理得， 所以 故的通项为； 【小问3详解】 由题意得​， 前项和①，②，  ①②得：， 即  整理得：因为，所以， 因此​，得证. 19. 设函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求a的取值范围； （3）当时，若满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：当时，， 所以在上单调递增，又 ， 所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设，则. 所以在上单调递增，因为，所以. 因为，所以. 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论不等式恒成立时的范围. （3）对函数求导，判断单调性，设，求导判断单调性，进而证明结论. 【小问1详解】 时，，对函数求导得. 所以. 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由得. 因为在 上单调递增，所以. 若，则 在 上恒成立，所以在 上单调递增， 又 ，所以 在 上恒成立， 若 ，令 得或，且. 当时， ，单调递减， 所以，与 在 上恒成立矛盾， 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $