2.8 函数与方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，覆盖函数零点定义、判定定理及二分法等核心考点，对接高考评价体系，分析零点个数确定、参数取值等高频考点权重，归纳选择填空及解答题常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题溯源+分层训练+思维建模”，如通过教材改编题强化基础，用“数形结合法”解析零点个数问题，培养数学眼光与推理能力。特设易错点警示（如零点与交点区别），提能训练分基础、能力、拓展层，助力学生高效突破考点，教师可精准把握学情实现针对性教学。

第二章 函数 第八讲　函数与方程 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[13] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　函数的零点 1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 注：函数的零点不是点，是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点． f(x)＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________. 3．函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_____________，这个c也就是方程f(x)＝0的根． x轴 零点 f(a)f(b)＜0 f(c)＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点二　二分法 1．对于在区间[a，b]上连续不断且___________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间____________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； f(a)f(b)<0 一分为二 零点 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)计算f(c) ①若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c (此时零点x0∈(a，c))； ③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c (此时零点x0∈(c，b))． (4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 1．f(a)f(b)<0是连续函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 2．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 3．定义在R上的周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．(　　) (3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(　　) (5)函数y＝2x－x2只有两个零点．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根． (3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0. (4)函数y＝x2求零点不可用二分法． (5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(必修1P155T1改编)下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　) A．y＝2x B．y＝(x－2)2 [答案]　B [解析]　对于B，y＝(x－2)2有唯一零点x＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1P155T2改编)函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　B [解析]　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点． x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　3 [解析]　当x>0时，令f(x)＝0，可得x＝1；当x≤0时，令f(x)＝0，可得x＝－2或x＝0，因此函数f(x)的零点个数为3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组三　走向考场 A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 函数的零点 考向1　确定函数零点所在区间——自主练透 A．(1，2) B．(2，e) C．(e，3) D．(3，4) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点所在区间为(　　) A．(－∞，a) B．(a，b) C．(b，c) D．(c，＋∞) [答案]　BC [解析]　易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选BC． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：确定函数零点所在区间的方法 1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． 2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 3．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　函数零点个数的确定——师生共研 A．3 B．2 C．7 D．0 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　解法一：(直接法)由f(x)＝0得 解得x＝－2或x＝e. 因此函数f(x)共有2个零点． 解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·河南二模)已知函数f(x)是偶函数，对任意x∈R，均有f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则函数g(x)＝f(x)－log5(x＋1)的零点有________个． [答案]　4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　函数f(x)是偶函数，说明函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)＝f(x＋2)说明f(x)的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝log5(x＋1)的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)＝f(x)－log5(x＋1)有4个零点. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：函数零点个数的判定有下列几种方法 1．直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点． 2．零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点． 3．数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 1．函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　由f(x)＝0可得|ln x|＝e－x，作出函数y＝|ln x|与y＝e－x的图象，如图所示，由图可知，函数y＝|ln x|与y＝e－x图象的交点个数为2，故函数f(x)的零点个数为2. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．函数f(x)＝sin 2x－cos x在[0，3π]上的零点个数为________. [答案]　7 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向3　函数零点的应用——多维探究 角度1　与零点有关的比较大小 A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3 C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　已知函数的零点或方程的根求参数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．比较零点大小常用方法 (1)确定零点取值范围，进而比较大小． (2)数形结合法． 2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 1．(角度1)(2026·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．a>b>c D．c>a>b [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法二：(数形结合法)在同一坐标系中分别作出y＝3x、y＝log3x、y＝－x的图象，结合图象及c＝0可知a<c<b，故选B． 解法三：由概念知b>0，a<0，c＝0，∴b最大，选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　(－1，2] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 令f(x)＝0，即g(x)＝m，所以问题转化为函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点，在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，结合图象可知，当－1<m≤2时，函数g(x)与y＝m的图象有3个交点，故实数m的取值范围为(－1，2]． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 由于函数f(x)＝g(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0,1). 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [引申2]本题条件变为“若f(x)恰好有2个零点”，求实数m的取值范围． [解析]　由例题知m＝－1或m>2时，f(x)恰好有2个零点．即实数m的取值范围是{－1}∪(2，＋∞). 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二分法及其应用——自主练透 A．(0，1) 　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为__________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 2．利用二分法求近似解需注意的问题 (1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 一、嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　5 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．3 B．2 C．0 D．4 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　y＝f[f(x)]－1＝0，即f[f(x)]＝1. 当f(x)≤0时，f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，此时log2x＝0，计算得出x＝1，或者x＋1＝0，计算得出x＝－1. 当f(x)>0时，log2f(x)＝1，即f(x)＝2时，若x＋1＝2，计算得出x＝1(舍去)，若log2x＝2，计算得出x＝4.综上所述，函数y＝f[f(x)]－1的图象与x轴的交点个数为3.故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．5 B．4 C．3 D．6 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、函数零点的综合问题 A．8 B．7 C．6 D．5 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[13] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　函数f(x)＝x＋ln x－4的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数．且f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝－1＋ln 3>0，则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3)．故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·陕西西安部分学校联考)已知函数f(x)＝ln x，则函数y＝f[f(x)]的零点为(　　) A．1 B．0 [答案]　C [解析]　由f(x)＝ln x可得f[f(x)]＝ln(ln x)，由f[f(x)]＝0可得，ln x＝1，解得x＝e.故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．5 B．4 C．3 D．2 [答案]　D [解析]　当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点，给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是(　　) A．[－2.1，－1] B．[4.1，5] C．[1.9，2.3] D．[5，6.1] [答案]　C [解析]　结合图象可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．(2026·陕西西安模拟)若函数f(x)＝lg x＋t在(1，10)上有零点，则t的取值范围为(　　) C．(0，1) D．(－1，0) [答案]　D [解析]　因为f(x)在(1，10)上单调递增，所以f(1)f(10)<0，即t(1＋t)<0，解得－1<t<0.故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．(2026·重庆检测)已知函数f(x)＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为(　　) A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7 [答案]　B [解析]　易知f(x)在[0，1]上单调递增，由表格得f(0.562 5)f(0.625) <0，且|0.625－0.562 5|＝0.062 5<0.1，∴函数零点在(0.562 5，0.625)内，∴根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57. x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f(x) 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．(2026·安康模拟)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　) C．f(x)＝2x－1－1 D．f(x)＝1－ln(x＋2) [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 11．(2026·浙江杭州一模)设f(x)＝ex＋ln x，满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a< b<c)．若函数f(x)存在零点x0，则下面可能成立的是(　　) A．x0<a B．x0>a C．x0<b D．x0>c [答案]　BCD [解析]　函数f(x)＝ex＋ln x的定义域为{x|x>0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f(x)＝ex＋ln x是增函数，由于0<a<b<c，故f(a)<f(b) <f(c)，因为f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，所以f(a)，f(b)，f(c)中有1个是负数(一定是f(a))、两个正数或3个负数，当f(a)<f(b)<f(c)<0时，x0>c；当f(a)<0 <f(b)<f(c)时，a<x0<b，故A不正确．选BCD． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　－1和1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　(－1，0) [解析]　关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B组能力提升 1．(2026·吉林长春质量监测)已知{an}为正项等比数列，若lg a2，lg a2 024是函数f(x)＝3x2－12x＋9的两个零点，则a1a2 025＝(　　) A．10 B．104 C．108 D．1012 [答案]　B [解析]　由题意可得lg a2，lg a2 024为方程3x2－12x＋9＝0的两个根，则lg a2＋lg a2 024＝4，解得a2a2 024＝104，由{an}是正项等比数列得a1a2 025＝a2a2 024＝104.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·江西景德镇质检)函数f(x)＝x2－sin 3πx的零点个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 [答案]　B [解析]　数形结合．故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(2025·福建南平三模)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2]＝2，[2.3]＝2，[－2.3]＝－3，则方程x－|log6x|＝[x]解的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　方程x－|log6x|＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象如图所示： 由图可知函数y＝x－[x]和y＝|log6x|的图象的交点个数为5.方程x－|log6x|＝[x]解的个数为5.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x2<x3<x1 D．x3<x1<x2 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．x1＋x2＝－2 B．x3＋x4>2 C．x1x2>4 D．0<a≤1 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　函数y＝x2＋2x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x＋1在(－∞，－1]上递减，函数值集合为[0，　＋∞)，在[－1，0]上递增，函数值集合为[0，1]，当x>0时，f(x)＝|ln x|在(0，1]上递减，函数值集合为[0，＋∞)，在[1，＋∞)上递增，函数值集合为[0，＋∞)，方程f(x)＝a的根是直线y＝a与函数y＝f(x)图象交点的横坐标，方程f(x)＝a有四个根x1，x2，x3，x4，即直线y＝a与函数y＝f(x)图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线y＝a与函数y＝f(x)的图象，如图，观察图象知，x1＋x2＝－2，0<a≤1，A、D正确；显然|ln x3|＝ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C组拓展应用(选作) A．五　　　　　B．四　　　　　C．三　　　　　D．二 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 C．y＝x＋－3 D．y＝ln x 4．(必修1P144T2改编)函数f(x)＝的零点有______个． 5．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) [解析]　由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5)．故选B． 1．(2026·宣城模拟)方程－＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) [解析]　对于方程－＋1＝0，有x>0，可得x＋ln x－e＝0，令f(x)＝x＋ln x－e，其中x>0，因为函数y＝x－e，y＝ln x均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝1－e<0，f(2)＝2＋ln 2－e<0，f(e)＝1>0，所以f(2)f(e)<0，由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内，则方程－＋1＝0的根所在的区间是(2，e)． 1．函数f(x)＝的零点个数为(　　) 或 [解析]　因为f(x)＝sin 2x－cos x＝2sin xcos x－cos x＝2cos x,令f(x)＝0，可得cos x＝0或sin x＝，且x∈[0，3π]，若cos x＝0，则x＝，，；若sin x＝，则x＝，，，.综上所述，函数f(x)在[0，3π]上的零点个数为7. 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　　) [解析]　由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logx＝0，h(x)＝log2x－＝0，得2x＝－x，x＝logx，log2x＝，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象；y＝x与y＝logx的图象；y＝log2x与y＝的图象，由图可知：－1<x1<0，0<x2<1，x3>1.所以x3>x2>x1. (2025·北京卷)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个不同的实数根a，b，c，则a＋b＋c的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　由图象得，0<m<1，不妨设a<b<c，则由对称性得b＋c＝2，0<log(a＋1)<1，解得－<a<0，故<a＋b＋c<2，选D． [解析]　解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1，∴a∈，又g＝log3＋＝－，g(1)＝1，∴b∈，显然c＝0，∴a<c<b，故选B． 2. (角度2)(2026·河北保定期中)设函数f(x)＝若函数f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为____________. [解析]　由题意，设函数g(x)＝ [引申1]本题中函数f(x)变为“f(x)＝”，问题不变． [解析]　作出g(x)＝的图象如图所示． 1．(2025·广东梅州二模)用二分法求方程log4x－＝0近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) [解析]　令f(x)＝log4x－， 因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数， 所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数， f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0， 所以函数f(x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点， 所以用二分法求方程log4x－＝0近似解时， 所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B． [答案]　 [解析]　区间(1，2)的中点x0＝，令f(x)＝x3－2x－1，f＝－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为. 3．用二分法求方程－＋1＝0在区间(2，3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1(　　) [解析]　∵开区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有<0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 1．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为________. [解析]　令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5. 2．(2025·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是(　　) [解析]　令t＝f(x)＋1＝当t>0时，f(t)＝ln t－，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－>0，所以由函数零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1的图象，直线t＝t1，t＝－2，t＝0如图所示， 3．(2026·江西萍乡期中)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m恰有5个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1] B． C．[1，＋∞) D． [解析]　作出函数f(x)的大致图象，如图所示．因为函数g(x)＝[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m恰有5个零点，所以方程[f(x)]2－2(m＋2)f(x)＋4m＝0有5个根．设t＝f(x)，则方程化为t2－2(m＋2)t＋4m＝0，易知此方程有两个不等的实根t1，t2，结合f(x)的图象可知，t1∈(0，1]，t2∈(1，＋∞)，令h(t)＝t2－2(m＋2)t＋4m，则由二次函数的零点的分布情况得：解得0<m≤.故选B． 【变式训练】 1．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为(　　) 2．(2026·河南名校联考)函数f(x)＝则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是(　　) [解析]　函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝和f(x)＝2的根．函数f(x)＝的图象如图所示， 由图可得方程f(x)＝和f(x)＝2共有6个根，即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有6个零点． 已知定义域为R的偶函数满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为(　　) [解析]　因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，又g(x)＝的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示： 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2＝8，故选A． 【变式训练】 (2026·山西五校联考)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　解法一：显然x≤0时，－2x＝a，有一根不妨记为x1，则x1＝－(a≥0)，当x>0时－x2＋x＝a即x2－x＋a＝0有两个不等正根，不妨记为x2，x3，则Δ＝1－4a>0，即a<，从而－a2∈且x2x3＝a.∴x1x2x3＝－∈，故选A． 解法二：作出y＝f(x)及y＝a的图象，显然0<a<，不妨设x1<x2<x3显然x1<0，x2>0，x3>0，∴x1x2x3<0排除C、D；又当x2趋近x3时，x2x3趋近，x1趋近－，故x1x2x3趋近－.故选A． C．e D． 3．(2026·陕西咸阳模拟)函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．(－10，0) B． [解析]　设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7. 8．(2026·海南模拟预测)已知函数f(x)＝若存在不相等的实数x1<x2<x3<x4，满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为(　　) A． B． C． D． [解析]　函数y＝－x2－x＋1的图象对称轴x＝－2，ymax＝2，函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增，函数值集合为(－∞，2]，在[－2，0]上单调递减，函数值集合为[1，2]，在(0，1]上单调递减，函数值集合为[0，＋∞)，在[1，＋∞)上单调递增，函数值集合为[0，＋∞)，令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则函数y＝f(x)的图 象与直线y＝t有4个交点，在同一坐 标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线 y＝t， 观察图象，得1≤t<2，x1＋x2＝－4，由1≤－log2x3<2，得<x3≤，由|log2x3|＝|log2x4|，得x3x4＝1，则x1＋x2＋x3＋x4＝－4＋x3＋，函数y＝x3＋在上单调递减，≤x3＋<，因此－≤x1＋x2＋x3＋x4<，所以x1＋x2＋x3＋x4的取值范围为.故选C． A．f(x)＝x2－2x－8 B．f(x)＝(x＋1)－2 [解析]　∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误；∵f(x)＝(x＋1)－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点,故B正确；∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数,且f(－1)＝－<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln 5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确． 10．(2025·江苏南通期末)函数y＝lg x－x＋1的零点所在的区间为(　　) [解析]　求函数y＝lg x－x＋1零点，令0＝lg x－x＋1，即lg x＝x－1，分别画出函数y1＝lg x(x>0)与函数y2＝x－1的图象，得到两图象有两个公共点，由图象可知，f(x)有两个零点，分别在区间(0，1)和区间(2，3)上；区间(0，1)上的零点显而易见．令f(x)＝lg x－x＋1，f(2)＝lg 2－×2＋1＝lg 2>0，f(3)＝lg 3－×3＋1＝lg 3－＝lg －<lg －＝0，所以f(2)·f(3)<0，根据零点存在性定理，f(x)在(2，3)存在零点．故选AC． 三、填空题 12．(2026·济南模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________. [解析]　令f(x)＝0得或解得x＝1或x＝－1，∴f(x)的零点为－1和1. 13．(2026·江苏淮安联考)函数f(x)对一切实数x都满足f＝f,并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________. [答案]　 [解析]　因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个根是，另外两个根的和为1，故方程f(x)＝0的三个实根的和为. 14．(2026·广东阳江调研)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________. 15．(2026·新疆喀什模拟预测)已知函数f(x)＝是奇函数，则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为________. [解析]　因为f(x)为奇函数，所以联立解得经验证符合题意，所以f(x)＝g(x)＝f(x)＋，令g(x)＝f(x)＋＝0，当x≤0时，得x2＋x＋＝0，解得x＝－，当x>0时，得－x2＋x＋＝0，解得x＝，所以函数g(x)＝f(x)－的零点个数为2. [解析]　f(x)＝ex＋x－3在(0，＋∞)上为增函数，f＝e－<0，f(1)＝e－2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在　　(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C． 5．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　) [解析]　作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C． 6．(多选题)(2025·陕西咸阳模拟改编)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有四个根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则下列说法正确的是(　　) |ln x4|，而x3<1<x4，则－ln x3＝ln x4，即ln(x3x4)＝0，x3x4＝1，x3＋x4>2＝2，B正确；显然－1<x2≤0，x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0，1)，C错误．故选ABD． (2026·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道＝2.236 067…，令<<，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即<<，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为(　　) [解析]　第一次用“调日法”后得<<，不符合题意；第二次用“调日法”后得<<，不符合题意；第三次用“调日法”后得<<，不符合题意；第四次用“调日法”后得<<，不符合题意；第五次用“调日法”后得<<，且<0.01，符合题意，即用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五． $