函数与方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，依据高考评价体系梳理了函数零点定义、等价关系、存在定理及二分法等核心考点，通过分析近五年真题明确零点区间判定、个数判定、参数求解三大高频题型占比，构建完整知识网络与解题体系。 课件亮点在于“知识梳理+真题训练+方法总结”的备考模式，如用零点存在定理结合数形结合法解析零点区间判定题，通过换元法突破嵌套零点问题，培养学生数学思维与数学眼光。特设易错点分析与答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

　函数与方程 实数x f (a)f (b)<0 (a，b) f (c)＝0 c f (a)f (b)<0 一分为二 B C 1 (－8，1] ③④ B A C C C B B A B A AD B C C [知识梳理] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的 叫做函数y＝f (x)的零点． (2)函数零点的等价关系 (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f (x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f (x)＝0的根． 2．函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 3．二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (ⅲ)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④. [热身训练] 1．函数f (x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( ). A．(1，2)　　　 B．(2，3) C．和(3，4)　　　 D．(4，＋∞) 2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求相应函数的零点的是( ). 　　　　 　　　　 3．函数f (x)＝ex＋3x的零点个数是 ． 4．若二次函数f (x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ． 5．(易错题)给出下列说法： ①函数f (x)＝x2－1的零点是(－1，0)和(1，0)； ②函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f (a)·f (b)＜0； ③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点； ④若函数f (x)在[a，b]上单调且f (a)·f (b)＜0，则函数f (x)在(a，b)上有且只有一个零点． 其中说法正确的有 ．(填序号) 题型1　函数零点所在区间的判定 【例1】(1)函数f (x)＝0.3x－的零点所在区间是( ). A．(0，0.3)　　　 B．(0.3，0.5) C．(0.5，1)　　　 D．(1，2) 【解析】因为f (x)＝0.3x－，x≥0，且y＝0.3x与y＝－在[0，＋∞)上均单调递减，所以f (x)＝0.3x－在[0，＋∞)上单调递减．又因为f (0)＝1>0，f (0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5>0，f (0.5)＝0.30.5－＝－<0，所以∃x0∈(0.3，0.5)，使f (x0)＝0，即函数y＝f (x)的零点所在区间为(0.3，0.5). (2)若a<b<c，则函数f (x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ). A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 【解析】函数y＝f (x)的图象是开口向上的拋物线，函数f (x)最多有两个零点，因为a<b<c，所以a－b<0，a－c<0，b－c<0，所以f (a)＝(a－b)(a－c)>0，f (b)＝(b－c)(b－a)<0，f (c)＝(c－a)(c－b)>0，所以f (a)f (b)<0，f (b)f (c)<0，所以f (x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 确定函数零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程f (x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看有没有f (a)·f (b)<0.若有，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 【变式】(荆州调研)若x0是方程＝x的根，则x0的值属于区间( ). A．　　　 B． C．　　　 D． 【解析】构造函数f (x)＝－x，易知函数f (x)在R上单调递减，且函数f (x)的图象是一条连续不断的曲线，易知f (0)＝－0＝1>0，f ＝－>0，f ＝－<0，f ＝－<0，f (1)＝－1＝－<0，结合选项，因为f ·f <0，故函数f (x)的零点所在的区间为，即方程＝x的根x0属于区间. 题型2　函数零点个数的判定 【例2】(1)已知函数f (x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f (x)＝g(x)的根的个数为( ). A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 【解析】由已知得g(x)＝(x－2)2＋1，所以g(x)图象的顶点坐标为(2，1)，又f (2)＝2ln 2∈(1，2)，可知点(2，1)位于函数f (x)＝2ln x图象的下方，故函数f (x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点． 答图2.8­1 (2)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x－2)＝f (x)，当0≤x≤1时，f (x)＝x，设函数g(x)＝f (x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为( ). A．6　　　 B．8 C．12　　　 D．14 【解析】由题意可知，函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x－2)＝f (x)，所以f (x)＝f (－x)＝f (－x－2)＝f (x＋2)，所以函数f (x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f (x)－log7|x|＝0，即f (x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f (x)和y＝log7|x|的图象，如答图2.8­2所示．由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点． 答图2.8­2 判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法：若对应方程f (x)＝0可解，则可解方程，方程有几个解就对应有几个零点． (2)函数零点存在定理：利用定理时不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是不是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 【变式】(1)函数f (x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ). A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 【解析】令f (x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝，设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝.画出函数g(x)，h(x)的图象如答图2.8­3所示，易知两函数图象有2个交点，因此函数f (x)有2个零点． 答图2.8­3 (2)已知图象连续不断的函数f (x)的定义域为R，f (x)是周期为2的奇函数，y＝|f (x)|在区间[－1，1]上恰有5个零点，则f (x)在区间[0，2 026]上的零点个数为( ). A．5 050　　　 B．4 053 C．4 049　　　 D．2 025 【解析】由函数f (x)是定义域为R的奇函数，可得f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，又f (x)周期为2，所以f (－1)＝f (1)＝0，由y＝|f (x)|在区间[－1，1]上恰有5个零点，可得函数f (x)在区间(－1，0)和(0，1)内各有1个零点．因为f (x)的周期为2，所以f (x)在区间(1，2)内有1个零点，且f (2)＝0，即函数f (x)在区间(0，2]内有4个零点，所以f (x)在区间[0，2 026]上的零点个数为×4＋1＝4 053. 题型3　利用函数的零点求参数 角度1　根据函数零点个数求参数 【例3】已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为( ). A．(0，4)　　　 B．(0，3) C．(0，2)　　　 D．(0，1) 【解析】作出y＝f (x)的图象，如答图2.8­4所示，函数g(x)＝f (x)－a有4个零点，即y＝f (x)与y＝a的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0，4). 答图2.8­4 已知函数有零点(方程有根)求参数 取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围． (2)值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解． 角度2　根据函数零点所在区间求参数取值范围 【例4】(1)已知函数f (x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f (x0)＝0，则实数a的取值范围是( ). A．　　　 B． C．(－∞，0)　　　 D． 【解析】由f (x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，x∈(－∞，－1).因为函数y＝3x，y＝－在(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3-1＋1＝，又g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为，所以实数a的取值范围是. (2)若函数f (x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是 ． 【解析】因为函数f (x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝－，因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈.所以实数a的取值范围是. 根据函数零点的情况求参数取值范围的常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式】(1)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是( ). A．(1，2]　　　 B．(1，2) C．(0，1)　　　 D．[1，＋∞) 【解析】因为函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，所以函数f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f (x)的图象如答图2.8­5所示．由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1，2]. 答图2.8­5 (2)(多选)设函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f (1－x)＝f (1＋x)，且当x∈[0，1]时，f (x)＝2x－1，若函数g(x)＝f (x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1，7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是( ). A．log32　　　 B．log32 C．3log23　　　 D．9log23 【解析】因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f (x)＝2x－1，所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f (x)＝－f (－x)＝－2－x＋1，即当x∈[－1，0]时，f (x)＝－2－x＋1，又对任意x∈R，都有f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，且f (－x)＝f (2＋x)＝－f (x)，所以f (x)＝f (x＋4)，所以函数f (x)是以4为周期的函数，又函数g(x)＝f (x)－loga(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1，7)上恰有4个不同的零点，所以函数y＝f (x)与y＝loga(x＋2)的图象在(－1，7)上有4个不同的交点， 又f (1)＝f (5)＝1，f (－1)＝f (3)＝f (7)＝－1， 当a>1时，如答图2.8­6，由图可得loga(5＋2)<1＝logaa，解得a>7； 答图2.8­6 当0<a<1时，如答图2.8­7，由图可得loga(7＋2)>－1＝logaa-1，解得0<a<.综上可得a∈∪(7，＋∞)，故选项A，D满足条件． 答图2.8­7 嵌套零点问题 在某些情况下，需要将某函数作为另一个函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自身，就叫递归调用，也叫递归嵌套． 角度1　判断嵌套函数的零点个数 【例1】已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (f (x)－1)的零点个数为( ). A．3　　　 B．5 C．6　　　 D．8 【解析】依题意，函数g(x)＝f (f (x)－1)零点的个数，即为方程f (f (x)－1)＝0根的个数，令f (x)－1＝t，则f (t)＝0.当t>0时，ln t－＝0，令h(t)＝ln t－，t>0，因为函数y＝ln t，y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(t)在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝－1<0，h(e)＝1－>0，所以存在t1∈(1，e)，使得h(t1)＝0.当t≤0时，令－|t＋1|＋1＝0，解得t＝0或t＝－2，作出函数f (x)＝的大致图象， 如答图2.8­8.又f (x)－1＝t，则f (x)＝t＋1.当t＝0时，f (x)＝1，由y＝f (x)的图象知，方程f (x)＝1有2个根；当t＝－2时，f (x)＝－1，由y＝f (x)的图象知，方程f (x)＝－1有2个根；当t＝t1，t1∈(1，e)时，f (x)＝t1＋1∈(2，e＋1)，由y＝f (x)的图象知，方程f (x)＝t1＋1有1个根．综上所述，函数g(x)＝f (f (x)－1)的零点个数为5. 答图2.8­8 角度2　由嵌套函数零点的情况求参数 【例2】已知函数f (x)＝若关于x的方程[f (x)]2＋(m－4)f (x)＋2(2－m)＝0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是( ). A．[1，3)　　　 B．(0，2) C．[1，2)　　　 D．(0，1) 【解析】设h(x)＝x－，x>0，则h′(x)＝1＋>0，则h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(1)＝0，作出f (x)的大致图象，如答图2.8­9所示．令t＝f (x)，则t2＋(m－4)t＋2(2－m)＝0，解得t1＝2，t2＝2－m.由答图可知，直线y＝2与f (x)的图象有2个交点，所以直线y＝2－m与f (x)的图象必须有3个交点，所以0<2－m≤1，解得1≤m<2. 答图2.8­9 求嵌套函数y＝g(f (x))零点的技巧 (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题时一般要先作出函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象． (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f (x)的方程g(f (x))＝0中f (x)解的个数，再根据f (x)解的个数与f (x)的图象的特点，分配每个函数值f i(x)被几个x所对应，从而确定f i(x)的取值范围，进而确定参数的范围． (3)判断嵌套函数零点个数的步骤：①换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f (t)的零点；②依次解方程，令f (t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断函数y＝g(x)与y＝t的图象交点个数． 【变式】已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有且只有1个零点，则实数a的取值范围是( ). A．(－∞，－1)∪[2，＋∞) B．(－∞，0)∪[4，＋∞) C．(－∞，1)∪[4，＋∞) D．(－∞，1)∪[2，＋∞) 【解析】由函数f (x)＝得当x<0时，f (x)＝3－f (－x)＝3－.作出f (x)的图象如答图2.8­10所示．令f (x)＝t，t∈R，因为f (t)＝a有且只有一个根，所以当t≥2时，对应的x只有一个值，此时f (t)≥4，即a≥4；当t<－1时，对应的x只有一个值，此时f (t)<1，即a<1.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)∪[4，＋∞). $