第13讲 函数与方程课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，依据课标要求梳理函数零点定义、存在性定理、二次函数零点关系等核心考点，对接高考评价体系，明确零点区间判定、参数范围求解等高频考点权重，归纳5类常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题演练+方法提炼”，如以2025年湖北十堰模拟题为例，用零点存在性定理判断区间，培养数学思维与数学眼光，提供二分法步骤、二次函数零点分布策略，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升备考效率。

第2章 函数 第13讲 函数与方程 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数. 2.利用函数的零点求解参数的取值范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)，我们把使　 　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  (2)三个等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有　 .  f(x)=0 零点 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，此时c就是方程f(x)=0的解.但反之，不一定成立. 3.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 4.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 5.二次函数<m></m>的图象与零点的关系 二次函数 的 图象 _____________________________ _________________________ _________________________ 与 轴的交点 ______________ _______ 无交点 零点个数 ___ ___ ___ ， 2 1 0 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【重要结论】 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　) (2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y=f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点.(　　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　) (5)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(　　) [解析] (1)零点是实数，不是交点. × × × √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 教材改编 2.[必修1p155T2]已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) B [解析] 由所给的函数值的表格可以看出， x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同， 即f(2)·f(3)<0，所以函数在区间(2，3)内必有零点. 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 3.[必修1p143例1]函数f(x)=log2x+2x-3的零点所在的区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) B [解析] 函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则f(x)=0在(0，+∞)上最多只有一个根， 又f(1)=-1，f(2)=2，所以f(1)·f(2)<0， 故f(x)的零点所在的区间为(1，2). 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 4.[必修1p146T2]用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间(0，1)上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 C [解析] 因为开区间(0，1)的长度等于1， 每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过n(n∈N*)次操作后，区间长度变为， 令<0.01，解得n≥7，且n∈N*， 故所需二分区间的次数最少为7. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 5.已知函数f(x)=x2+(m-2)x+1的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)之内， 则实数m的取值范围为　　　 　.  [解析] ∵f(x)=x2+(m-2)x+1的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)之内， ∴即 解得-<m<0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 考的1 函数零点区间的判定和求解 例1　(1)(2025·湖北十堰·模拟预测)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) C [解析] 函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0，+∞)， 因为f(x)在(0，+∞)上连续且为增函数， 且f(2)=-2+ln 2<0，f(3)=-1+ln 3>0，则f(2)·f(3)<0. 由零点存在定理可知， 函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2，3).故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 (2)已知函数f(x)=x4+2alog2(|x|+2)-a-1的零点有且只有一个，则实数a的取值集合为　　　　.  {1} [解析] 因为f(x)=x4+2alog2(|x|+2)-a-1的定义域为R， 又f(-x)=(-x)4+2alog2(|-x|+2)-a-1=x4+2alog2(|x|+2)-a-1=f(x)， 所以f(x)为偶函数， 因为函数f(x)的零点有且只有一个， 故f(0)=0，即2a-a-1=0，即a=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]利用函数零点存在性定理解题的步骤 在判断一个函数在某个区间上是否存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理,要综合函数性质进行分析判断. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.(多选)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点(　　) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2) AD [解析] f(-2)= >0，f(-1)= -1<0， f(0)=-1<0，f(1)=e-3<0，f(2)=e2-4>0， 因为f(-2)·f(-1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(-2，-1)和(1，2)内存在零点. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 考点2 二次函数的零点问题 例2　(1)若a<b<c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a，b)和(b，c)内 B.(-∞，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，+∞)内 D.(-∞，a)和(c，+∞)内 A [解析] 因为a<b<c， 所以f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点， 又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 (2)已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2，2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围 为　　　　.  [解析] 当m=0时，函数f(x)=-x-1有一个零点x=-1，满足条件. 当m≠0时，函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2，2)上恰有一个零点， 需满足①f(-2)·f(2)<0或②或③或④ 解①得-<m<0或0<m<;②无解;解③得m= ;④无解. 综上可知-<m≤. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [小结]解决与二次函数有关的零点问题: (1)可利用一元二次方程的求根公式; (2)可利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图象列不等式组. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 2.(2025高三·全国·专题练习)已知函数f(x)=x2+bx+c的两个零点分别为2，3.若函数g(x)=f(x)+mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，则实数m的取值范围 为　　　　　.  [解析] 依题意，2，3为方程x2+bx+c=0的两根， 则解得 故f(x)=x2-5x+6，则g(x)=x2+(m-5)x+6， 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 因函数g(x)=f(x)+mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内， 则即 解得-<m<0， 故实数m的取值范围是. 名师导学第一轮总复习 高三数学 考点3 函数零点个数的判断和求解 例3　(1)函数f(x)=-x3-2在定义域内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 B [解析] 函数y=，y=x3+2分别是R上的减函数和增函数， 则函数f(x)=-x3-2是减函数， 而f(-1)=-(-1)3-2=1>0，f(0)= -1<0， 所以函数f(x)在R上的零点个数是1.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 (2)(2025·上海·三模)函数f(x)=sin-log2x的零点个数为　　　　　.  3 [解析] 根据f(x)=sin-log2x的零点个数转化为 y1= sin与y2=log2x的图象的交点个数， x=5时，函数f(x)= sin取最大值， x=4时，函数y=log2x的值为， 又因为5<4<6，结合图象可知，两函数图象共有3个交点. 所以f(x)= sin-log2x的零点个数为3个. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结]函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数; (3)利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 3.函数f(x)=-x+1的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B [解析] 易知0不是函数的零点，故f(x)=-x+1=0⇔-1+=0(x≠0)， 令g(x)=-1+=0(x≠0)，则g(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减， 又g(-1)>0，g<0，g(1)>0，g(2)<0， 故g(x)在区间，(1，2)上各有一个零点，即零点个数为2，故选B. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 4.(2025·湖南长沙·三模)已知函数 f(x)=方程 f(x)=-x+的根的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B [解析] 当x≥0时，f(x)=f(x-2) ，故2是f(x)的一个周期，又0≤x<2时，-2≤x-2<0，则f(x)=f(x-2)=ex-2， 作出函数f(x)和g(x)=-x+的函数图象， 因为f(2)=f(0)=f(-2)=e-2<g(2)=， f(4)=f(2)=e-2>g(4)=0， 结合图象可知，f(x)和g(x)的函数图象交点个数为3.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 考点4 函数零点的应用 角度1.根据函数零点的个数求参数范围 例4　(2025·北京海淀·三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-mx有三个零点，则实数m的取值范围为　　　　　 　.  (0，1)∪(2，+∞) [解析] 易知x=0为g(x)的零点，当x≠0时，令g(x)=f(x)-mx=0， 得=m，令h(x)=， 可得到h(x)= 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 作出h(x)的图象，如下图， 依题意，只需y=m与y=h(x)有两个交点即可. 由图可得m∈(0，1)∪(2，+∞). [小结]已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 5.已知函数f(x)=则“k∈(-∞，3]”是“函数F(x)=f(x)-1有两个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [解析] f(x)的图象如图所示， 函数F(x)=f(x)-1有两个零点，即y=f(x)图象与y=1图象有两个交点， 由图可知，log3k≤1，即0<k≤3. 所以“k∈(-∞，3]”是“函数F(x)=f(x)-1有两个零点”的必要不充分条件. 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 角度2.根据函数零点范围求参数的范围 例5　已知函数y=f(x)，其中f(x)=lo，若关于x的方程f(x)=lo(x+k)在区间[3，4]上有解，则实数k的取值范围为　　　　.  [-1，2] [解析] f(x)=lo(x+k)等价于x+k= ， 即k= -x= -x+1在[3，4]上有解. 记g(x)= -x+1，因为g(x)在[3，4]上为严格减函数， 所以，g(x)max=g(3)=2，g(x)min=g(4)= -1， 故g(x)的值域为[-1，2]，因此，实数k的取值范围为[-1，2]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 [小结]根据函数零点的情况求参数范围有三种常用方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 6.(2025·辽宁抚顺·模拟预测)函数f(x)=kx-4+xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　) A.[-4，1) B.(-4，1] C.[-1，4) D.(-1，4] D [解析] 当x∈[1，4)时，由f(x)=kx-4+xlog2x=0可得k+log2x-=0， 令g(x)=k+log2x-，因为函数y=log2x，y=k-在[1，4)上均为增函数， 故函数g(x)=k+log2x-在[1，4)上为增函数， 因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点， 所以解得-1<k≤4，因此，实数k的取值范围是(-1，4].故选D. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 考点5 嵌套函数的零点 例6　已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 A [解析] 求函数g(x)=f-2的零点个数， 即求方程f=2的不同实数根的个数， 如图，作出函数y=f(x)的大致图象， 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 令t=f(x)-1，则f(t)=2，解得t1=-2，t2=0，t3=log35. 当t1=-2时，f(x)-1=-2，则f(x)=-1，此时方程无解; 当t2=0时，f(x)-1=0，则f(x)=1，此时方程有3个不同实数根; 当t3=log35时，f(x)-1=log35，则f(x)=1+log35，此时方程有2个不同实数根.综上可知，函数g(x)=f(f(x)-1)-2的零点个数为5.故选A. [小结]求嵌套函数y=g[f(x)]零点的技巧: 此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题时一般要先作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 7.已知1<a<，函数f(x)=则方程4f2(x)-2(a+1)·f(x)+a=0的解的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B [解析] 因为4f2(x)-2(a+1)f(x)+a=0， 所以[2f(x)-1][2f(x)-a]=0， 所以f(x)= 或f(x)= ，画出f(x)的大致图象，如图， 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 因为>，所以 < < < ， 因为直线y= 与函数y=f(x)的图象有1个交点， 直线y= 与函数y=f(x)的图象有2个交点， 故方程4f2(x)-2(a+1)f(x)+a=0的解的个数是3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 角度2.由嵌套函数的零点个数求参数的范围 例7　已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-2(m+1)·f(x)+4m恰有5个零点，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，1] B. C. D.(0，1) B [解析] 令g(x)=0，则[f(x)-2m][f(x)-2]=0，故f(x)=2m或f(x)=2， 令f(x)=2，则或故x= 或x=9， 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 故f(x)=2m有3个不同的解，且解异于，9. 故有一个解且有两个解且解不为，9， 故m≠1，且0<2m≤1，2m>0，解得0<m≤.故选B. [小结]若已知嵌套函数y=g[f(x)]零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g[f(x)]=0中f(x)解的个数，再根据f(x)解的个数与f(x)的图象的特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而确定参数的范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 8.函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　 　.  [-1，+∞) [解析] 设t=f(x)，令f(f(x))-a=0，则a=f(t). 在同一坐标系内作y=a，y=f(t)的图象(如图). 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 40   当a<-1时，y=a与y=f(t)的图象只有一个交点，设为t0， 由图知t0<-1，此时t0=f(x)只有一解. 当a≥-1时，y=a与y=f(t)的图象有两个交点. 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)， 则t1<-1，t2≥-1. 当t1<-1时，t1=f(x)有一解; 当t2≥-1时，t2=f(x)有两解. 综上，当a≥-1时，函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 走进高考 1.(2025·天津)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　) A.(0，0.3) B.(0.3，0.5) C.(0.5，1) D.(1，2) B [解析] 由指数函数、幂函数的单调性可知:y=0.3x在R上单调递减， y=在[0，+∞)单调递增，所以f(x)=0.3x-在定义域上单调递减， 显然f(0)=1>0，f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0， f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0， 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于区间(0.3，0.5).故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 $