2.9 函数模型及其应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了一次、二次、指数、对数等函数模型，函数性质比较及解应用问题步骤三大考查维度，通过真题与模拟题分析明确“分段函数建模”“指数对数模型应用”等高频考点，归纳选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“真题情境+模型构建+素养提升”的备考策略，如以2023新课标Ⅰ卷声压级问题为实例，指导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维进行对数运算推理，培养数学建模与数据分析素养。特设“易错点警示”和“提分技巧库”，助力学生掌握实际问题转化方法，教师可依托系统框架实现精准复习。

第二章 函数 第九讲　函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[14] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点　函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增 增长速度 越来越______ 越来越______ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与________平行 随x的增大逐渐表现为与________平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 快 慢 y轴 x轴 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 以上过程用框图表示如下： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 2．直线上升、对数增长、指数爆炸． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(　　) (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(必修1P140T6改编)当x非常大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝100x B．y＝log100x C．y＝x100 D．y＝100x [答案]　D [解析]　根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1P152例6改编)某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(必修1P161T8改编)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　) A．26米 B．28米 C．31米 D．33米 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 考向1　利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透 (多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 函数模型及应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可． 2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　已知函数模型的实际问题——师生共研 附：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6. A．148τ B．6.9τ C．13.8τ D．6.72τ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． 2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． 3．利用该模型求解实际问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 A．0～20 dB B．20～40 dB C．40～60 dB D．60～80 dB [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向3　构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1　一次函数、二次函数与分段函数模型 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润． [解析]　(1)由题意知，当0≤x≤8时， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值． 2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　指数函数与对数函数模型 A．1.5 B．1.8 C．2.0 D．2.1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧 1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． 2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．71 B．72 C．73 D．74 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 (2026·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6 400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米， 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12 800元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 【变式训练】 (2025·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A．10 000 B．10 480 C．10 816 D．10 818 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[14] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·北京人大附中开学考)某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如表： 表一：市场供给量 表二：市场需求量 单价/(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4 供给量/t 50 60 70 75 80 90 单价/(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 需求量/t 50 60 65 70 75 80 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间(　　) A．(2.3，2.6)内 B．(2.4，2.6)内 C．(2.6，2.8)内 D．(2.8，2.9)内 [答案]　C [解析]　当供给量和需求量均为50时，供给单价和需求单价相差为2；当供给量和需求量均为60时，供给单价和需求单价相差为1；当供给量和需求量均为70时，供给单价和需求单价相差为0.2；当供给量和需求量均为75时，供给单价和需求单价相差为0.9；当供给量和需求量均为80时，供给单价和需求单价相差为1.6.当供给量和需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小，所以市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间(2.6，2.8)内．故选C． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　) A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案] D [解析] 对于A，由图象可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L，∴当速度大于40 km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，即甲车行驶10 km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80 km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．890.23 t　　　B．755.44 t　　　C．244.69 t　　　D．243.69 t 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案] B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是(　　) A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5(l＋1) C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)l [答案]　D [解析]　由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0，3]；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过(0，W0)．函数W＝0.5W0l和W＝W0·log0.5(l＋1)图象不过(0，W0)，不符合条件，故B、C错误；函数W＝W0＋0.5l单调递增，故A错误；D选项：W＝W0·(0.5)l满足上述条件，故D正确．故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　D [解析]　对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026>lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987<lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P＝lg 729∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态．故选D． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．(2026·山东淄博三模)随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长．某公司现有新一代AI芯片A、B两套研发方案，若A设计方案中初始计算量为N1，每年增长50%；B设计方案中初始计算量为N2(N2＝3N1)，每年增长20%.如此预计至少几年后A设计方案计算量更高？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．31　　　　　B．32　　　　　C．33　　　　　D．34 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍．调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 则下列结论中正确的有(　　) A．调整后房地产业的利润有所下降 B．调整后医疗器械的利润增长量最大 C．调整后生物制药的利润增长率最高 D．调整后金融产业的利润占比最低 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．假设调整前总利润为100，那么调整后总利润为200，对于A，调整前房地产业利润占45%，利润为45，调整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错误；对于B，调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为25，调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为50，故选项B正确；对于C，医疗器械利润增长率为300%，生物制药利润增长率为400%，故选项C正确；对于D，由扇形图可知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占比最低，故选项D正确．故选BCD． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 10．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2025年1月至2025年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 根据折线图，下列结论正确的是(　　) A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 [答案]　CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 11．(2026·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．当x>1时，甲走在最前面 B．当x>1时，乙走在最前面 C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 [答案]　CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 三、填空题 12．调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x分(x为正整数)．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换． (1)当x＝10时，若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换________元； (2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________. [答案]　(1)13　(2)36 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)若某家庭某月产生120 kg生活垃圾，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13(元)． (2)设每个家庭每月产生的垃圾为t kg，每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元．当0≤t<100时，f(t)＝0.1t<0.34t·0.4＝0.136t恒成立；当t≥100时，f(t)＝0.1t＋0.1x≤0.34t·0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 13．(2026·云南昆明模拟)根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为2 m2，第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2，下列函数模型：①y＝at＋1(a>0)，②y＝bt2＋1(b>0)，③y＝ct(c>0，c≠1)，④y＝logd(t＋1)＋1(d>0，d≠1)中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是________(填写序号)，若浮萍蔓延到3 m2，所经过的时间t＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　③　log23 [解析]　y＝at＋1(a>0)为线性增长，y＝logd(t＋1)＋1(d>1)的增长速度会逐渐变慢，由图象可知，模型①④不符合，将t＝1，y＝2代入模型②③，得b＝1，c＝2，即模型②y＝t2＋1，模型③y＝2t，当t＝5时，模型②，y＝26<30不符合，当t＝5时，模型③，y＝25＝32>30，选模型③；由2t＝3，解得t＝log23. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 14．(2025·广东广州模拟预测)“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10－18秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示．《庄子·天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过________天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离．(参考数据：光速为3×108米/秒，lg 2≈0.3，lg 3≈0.48) [答案]　31 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 四、解答题 15．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示)．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时列车为满载状态，载客量为720人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(12－t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为p(t)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)由题知，当10≤t<20时，p(t)＝720， 当2≤t<10时，可设p(t)＝720－k(12－t)2， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人， ∴p(3)＝720－k(12－3)2＝396，解得k＝4. 此时p(t)＝720－4×(12－t)2＝－4t2＋96t＋144，2≤t<10， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∴2≤t<10时，Q(t)max＝Q(3)＝84， 当10≤t≤20上，Q(t)单调递减，则Q(t)max＝Q(10)＝48， 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 n n≥59% 50%≤n<59% 40%≤n<50% 30%≤n<40% 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 张先生居住区2025年比2024年食品支出下降7.5%，张先生家在2025年购买食品和2024年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2025年属于(　　) A．贫困 B．温饱 C．小康 D．富裕 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2025·湖北宜昌协作体期中)荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 2≈0.301 0) (　　) A．60天 B．65天 C．70天 D．75天 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．1.75米　　　　B．1.5米　　　　C．1.25米　　　　D．1米 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(注：取e3≈20) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为5x万元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∴当9≤x<e3时，P′(x)>0，P(x)单调递增， 当x>e3时，P′(x)<0，P(x)单调递减， ∴当x＝e3时，P(x)取得最大值为P(e3)＝11－ln e3－1＝7(万元)， ∵7>3， ∴当x＝e3≈20时，P(x)的最大值为7万元． ∴当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最大，最大年利润为7万元． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C组拓展应用(选作) (多选题)(2026·甘肃定西模拟预测)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2)．但在实际生活中，常用声音的声强级D(dB)来度量，声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D＝alg I＋b，经过多次测定，得到如下数据： 声强I(W/cm2) 10－11 10－10 m 声强级D(dB) 10 20 30 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 已知烟花的噪声的声强级一般在(90，100)，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在(100，110)，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135，145)，其声强为I3，则(　　) A．b－a＝110 B．m＝10－8 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1．函数f(x)＝x＋(a>0，x>0)在区间(0，]内单调递减，在区间[，＋∞)内单调递增． (3)不存在x0，使ax0<x<logax0.(　　) [解析]　(3)当a∈(0，1)时存在x0，使ax0<x<logax0. A．y＝ax＋b B．y＝a·x＋b(a>0) C．y＝xa＋b(a>0) D．y＝ax＋(a>0，b>0) [解析]　由题图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y＝a·x＋b的图象为一条曲线，且当a>0时，该函数在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． [解析]　h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－52＋，h(t)max＝h＝≈31. 题组三　走向考场 5．(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： [解析] 对于C，由题意知20×lg ＝40，即lg ＝2，所以p3＝100p0,故C正确；对于A，由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lg ≥20×lg ，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2＝20×lg ∈[50，60]，所以≤lg ≤3，所以p2∈[10p0，103p0]，即p2≤103p0＝10p3，故B错误；对于D，Lp1＝20×lg ∈[60，90]，所以3≤lg ≤，所以p1∈[103p0，10p0]，因为100p2∈[10p0，105p0]，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD． (2026·辽宁沈阳市郊联体开学考)通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为W0，则经过t秒后这段声音的声强变为W(t)＝W0e，其中τ是一个常数．定义声音的声强衰减到原来的10－3所需的时间为TR，则TR约为(　　) [解析]　由题意知，W(TR)＝10－3W0，即e＝10－3，等号两边同时取自然对数得ln e＝ln 10－3，即－＝－3ln 10，所以TR＝τ×3ln 10＝τ×3×(ln 2＋ln 5)≈3τ×(0.7＋1.6)＝6.9τ.故选B． (2025·广东广州二模)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．轻柔音乐的声强一般在10－8～10－6 W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是(　　) [解析]　当I＝10－8时，L1＝10lg ＝40，当I＝10－6时，L1＝10lg ＝60，故轻柔音乐的声强级范围是40～60 dB．故选C． 某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜量x(单位：吨)有如下关系：P＝设该农业合作社将x(单位：吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(单位：万元)． y＝0.6x＋0.2(14－x)－x2＝－x2＋x＋， 当8<x≤14时，y＝0.6x＋0.2(14－x)－＝x＋2， 即y＝ (2)当0≤x≤8时，y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋， 所以当x＝4时，ymax＝. 当8<x≤14时，y＝x＋2， 所以当x＝14时，ymax＝. 因为>，所以当x＝4时，ymax＝. (2026·广东江门调研)金针菇被采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度h与其被采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h＝mln(t＋a)(a>0)．若被采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%；若被采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则被采摘后的天数为(结果保留一位小数，≈1.41) (　　) [解析]　由题意可得两式相除可得＝2，则ln(3＋a)＝2ln(1＋a)，3＋a＝(1＋a)2，∵a>0，∴a＝1，设t天后金针菇失去的新鲜度为60%，则mln(t＋1)＝0.6，又mln(1＋1)＝0.4，∴＝，2ln(t＋1)＝3ln 2，(t＋1)2＝23＝8，t＋1＝2≈2×1.41＝2.82，则t＝2.82－1＝1.82≈1.8，故选B． 【变式训练】 1．(角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)． [答案]　a2 [解析]　令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－2＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值． 2．(角度2)(2026·北京人大附中质检)深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L＝L0D，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度，已知，某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2＝0.301 0)(　　) [解析]　由题意得L＝0.5×D，依题意0.4＝0.5×D，则D＝，则L＝0.5×，由L＝0.5×<0.2，得到<，所以G>18log＝＝≈73.9，所以所需要的训练迭代轮数至少为74.故选D． 函数y＝x＋(a>0)模型及应用 (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为(a>0)元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功(约定整体报价更低的工程队竞标成功)，求a的取值范围． 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以y＝160×2x×1＋320××1＋6 400， 即y＝320＋6 400≥320×2＋6 400＝12 800，当且仅当x＝，即x＝10时，等号成立， (2)由题意可知，320＋6 400>恒成立，即＋20>对任意的x∈[6，12]恒成立， 所以>，可得>a， 即a<min，＝x＋1＋＋18≥2＋18＝36， 当且仅当x＋1＝，即x＝8时，取最小值36， 则0<a<36，即a的取值范围是(0，36)． 2．利用模型f(x)＝x＋(a>0)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件． [解析]设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立．所以平整这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元．故选C． 3．(2025·海南三亚一模)夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》(GB/T177226－2017)规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风t分钟后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝k∞＋(k0－k∞)e描述，k0%是二氧化碳初始浓度，k∞＝0.03，则该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10%需要的时间t的最小整数值为(参考数据：ln 7≈1.946，ln 11≈2.398)(　　) [解析]　由题意可知，y＝0.03＋(0.14－0.03)e＝0.03＋0.11e，解0.03＋0.11e≤0.1，即e≤，得t≥10(ln 11－ln 7)≈10×(2.398－1.946)＝4.52，该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10%需要的时间t的最小整数值为5.故选C． 4．(2026·湖北高三阶段练习)2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系为v＝2ln.若已知火箭的质量为3 100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量为(参考数值：　　ln 2≈0.69，ln 244.69≈5.50，结果精确到0.01 t，1 t＝1 000 kg)(　　) [解析] 根据题意,m＝3 100,令v＝2ln＝11,则ln2＝ln e11，所以2＝e11，则1＋＝e5.5，即＝e5.5－1≈eln 244.69－1＝244.69－1＝243.69，所以M≈3 100×243.69＝755 439 kg≈755.44 t．故选B． 5．(2025·甘肃一模)某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如下表： l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 [解析]　设x年后A设计方案计算量更高，则x年后，A设计方案计算量为N1x，B设计方案计算量为3N1x，则N1x>3N1x⇒x>3⇒　　xlg >lg 3⇒x>＝＝≈≈4.917，预计至少5年后A设计方案计算量更高．故选B． 8．(2026·河南南阳模拟)在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中G0＝20，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.062 5，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(已知lg 2≈0.3)(　　) [解析]　因为衰减学习率模型为L＝L0D，所以根据已知条件可得0.25＝L0D＝L0D　①，0.065＝L0D＝L0D　②，用②式除以①式可得＝，化简可得D＝0.25.将D＝0.25代入①式中可得L0＝0.5.所以衰减学习率模型为L＝0.5×0.25.当学习率衰减到0.05以下时，即L＝0.5×0.25<0.05.化简上述不等式得lg 0.25<lg 0.1，所以n>×20＝≈33.3.因为n为正数，所以最小值取34.故选D． [解析]　依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2×10－18×3×108＝6×10－10米，经过n天后，剩余的长度f(n)＝n米，由f(n)<6×10－10，得n<6×10－10，两边同时取对数，得n>log(6×10－10)＝＝＝≈≈30.73，而n∈N*，则n＝31，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离． (1)求p(t)的表达式； (2)若该线路每分钟的净收益为Q(t)＝－60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值． ∴p(t)＝ (2)由(1)知：Q(t)＝ ∵2≤t<10时，Q(t)≤132－2＝84，当且仅当t＝3等号成立， B组能力提升 1．(2026·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表： [解析]　设2024年人均食品支出x元，则2025年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x，2025年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕． [解析]　设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天，由题意得a(1＋0.01)x＝2a，即(1＋0.01)x＝2，由于lg 101≈2.004 3，故lg 1.01＝lg ≈0.004 3，则xlg 1.01＝lg 2，∴x＝≈＝70(天)，故选C． 3．(2026·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝40x，现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　) [解析]　设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出泉水高度为2米．由题意知，10×lg ＝40x，即lg m－lg m0＝4x　①.又10×lg ＝40×2＝80，即lg ＝lg 10＋lg m－lg m0＝1＋lg m－lg m0＝8，即lg m－lg m0＝7　②.由①②可得4x＝7，解得x＝＝1.75.故选A． 4．(2026·四川绵阳高三阶段练习)研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系式为v1＝a＋blog3(其中a，b是实数)，据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v(单位：m/s)，耗氧量单位数为Q2，统计发现：v2与log3成正比．当v2＝1 m/s时，Q2＝900.若这种鸟类与鲑鱼的速度v1与v2相同时，则Q1与Q2的关系是(　　) A．Q＝9Q1 B．Q＝9Q2 C．Q＝3Q1 D．Q＝3Q2 [解析]　由题意得解得∴v1＝－1＋log3，设v2＝klog3，由题意得klog3＝1，解得k＝，∴v2＝log3，又v1＝v2，∴－1＋log3＝log3，则log3＋log3＝log3，即log3＝log3，∴＝，即Q＝9Q2.故选B． 5．方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创业，自主研发生产A产品．经过市场调研，生产A产品需投入固定成本1万元，每生产x(单位：万件)，需再投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万件时，C(x)＝＋6x－8，当年产量不小于9万件时，C(x)＝5x＋ln x＋－12.已知每件A产品的售价为5元，若方同学生产的A产品当年全部售完． 依据题意得，当0<x<9时，P(x)＝5x－－1＝7－， 当x≥9时，P(x)＝5x－－1＝11－ln x－， 所以P(x)＝x∈N*. (2)当0<x<9时，P(x)＝7－， 因为＋x≥2＝4， 所以P(x)＝7－≤3， 即当x＝2时，P(x)取得最大值为P(2)＝3(万元)， 当x≥9时，P(x)＝11－ln x－，∴P′(x)＝， C．<I2< D．I1I3>I [解析]　由题意可得即解得所以b－a＝110，故A正确；因为D＝10lg I＋120，所以30＝10lg m＋120，解得m＝10－9，故B错误；由100<10lg I2＋120<110，得<I2<，故C正确；设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1，D2，D3，由题意知90<D1<100，100<D2<110，135<D3<145，所以D1＋D3>2D2，所以10lg I1＋120＋10lg I3＋120>2(10lg I2＋120)，所以lg I1＋lg I3>2lg I2，即lg(I1I3)>lg I，所以I1I3>I，故D正确．故选ACD． $