数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数学建模与函数应用专题，依据高考评价体系梳理了函数模型构建、数据处理、模型检验三大核心考点，通过实例分析明确“函数拟合”“导数应用”等高频题型分布，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“情境探究+模型构建+真题验证”的备考策略，如以“体重与脉搏率关系”案例示范对数线性模型推导及散点图分析，培养数学眼光与思维素养。设“模型检验步骤”“易错点警示”，通过高仿真训练提升得分率，助力学生掌握建模方法，教师可精准指导复习。

数学建模活动：描述体重与脉搏率 的关系 建 模 梳 理 一、数学建模活动的概念 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、 用数学方法构建模型解决问题的过程. 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析 问题、构建模型，确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最 终解决实际问题.数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的 一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容. 建 模 梳 理 2 二、数学建模基本过程 建 模 梳 理 3 三、数学建模的主要过程 1.选题 “选题”就是选定研究的问题，选题来源有三： （1）阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似问题. （2）研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究 相关问题. （3）用数学的眼光观察世界，发现、研究新的问题. 建 模 梳 理 4 2.开题 开题是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案. 开题主要做的工作是： （1）明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果； （2）选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案； （3）完成开题报告，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问 题思路、研究计划、预期结果等. 建 模 梳 理 5 3.做题 做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求 解模型、得到结论、反思完善等. 做题要注意两个问题： （1）建立恰当的数学模型； （2）获取客观真实的数据. 4.结题 结题是研究小组撰写研究报告，并向老师和同学们报告研究结果， 进行结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、 算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式. 建 模 梳 理 6 一、数学建模活动实例 1.观察实际情境，发现和提出问题 动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多， 保持体温需要的能量也就越大，那么： （1）动物体内消耗的能量关于身体的表面积 的函数的导数是否为 一个常数？ （2）动物的表面积与体积是否成正比？ （3）动物的体积与体重是否成正比？ （4）动物的大小与心脏大小是否成正比？ 建 模 初 探 7 （5）心脏每次收缩挤压出来的血量 与心脏大小是否成正比？ （6）动物体内消耗的能量关于通过心脏的血流量 的函数的导数 是否为一个常数？ 设脉搏率是单位时间心跳的次数，是动物的体重，试建立与 的关系. 建 模 初 探 8 2.收集数据 下表给出了一些动物体重与脉搏率对应的数据： 动物名 体重/ 脉搏率/（心跳次数· ） 鼠 25 670 大鼠 200 420 豚鼠 300 300 兔 2000 205 小狗 5000 120 大狗 30 000 85 羊 50 000 70 马 450 000 38 建 模 初 探 9 3.分析数据 由收集的数据及生物学中给出的结论可知： （1）动物体内消耗的能量关于身体的表面积 的函数的导数为常数， 即两者成正比，可以表示为 . （2）动物体内消耗的能量关于通过心脏的血流量 的函数的导数 为常数，即两者成正比，可以表示为 . 因此，，其中,, 都为正的比例系数. 建 模 初 探 （3）体积与体重成正比，可以表示为 . （4）表面积大约与体积的次方成正比，可以表示为 . 因此，得到，其中,, 为正的比例系数. 所以构建血流量与体重关系的数学模型，其中 为正的比 例系数. 建 模 初 探 11 4.建立模型 根据脉搏率的定义，再根据生物学假设（ 为正的比例 系数）， 最后得到，也就是，其中 为正的待定系数, 导函数 ,这说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低， 动物脉搏率与体重的 次方成反比. 5.检验模型 根据查到的原始数据，可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合. 建 模 初 探 12 6.求解问题 图①是原始数据的散点图，图②是以和 为坐标的散点图.可 以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此，得到体重和脉 搏率的对数的线性模型，可以把这个模型表达为 动物的脉搏率与体重 的散点图① 和 的散点图② 建 模 初 探 13 二、数学建模活动研究报告 描述体重与脉搏率的关系 ___年____班 研究报告：____年____月____日 课题名称 动物的体重与脉搏率的关系 课题组成 员分工 建 模 初 探 14 实际问题 （1）动物体内消耗的能量与身体的表面积 有何 关系？ （2）动物体内消耗的能量与通过心脏的血流量 有何 关系？ （3）动物的脉搏率与体重 有何关系？ 建立函数 关系式 ；； 续表 建 模 初 探 15 分析与 解答 （1）动物体内消耗的能量关于身体的表面积 的函数 的导数为常数，即两者成正比，可以表示为 . （2）动物体内消耗的能量关于通过心脏的血流量 的 函数的导数为常数，即两者成正比，可以表示为 .因此，，其中,, 都为正的比例系数. （3）体积与体重成正比，可以表示为 . 续表 建 模 初 探 16 分析与解答 （4）表面积大约与体积的 次方成正比，可以表示 为 . 因此，得到，其中,, 为正的比例系数. 构建血流量与体重关系的数学模型 ，其中 为正的比例系数 说明与解释 指导老师审 核意见 续表 建 模 初 探 17 生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的 增长速度. 卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指 出，我国7岁以下女童身高的中位数如下表所示（0岁指刚出生时） 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/ 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/ 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 建 模 应 用 18 这个问题中涉及两个量——年龄和身高，且身高可以看成关于年龄 的函数. ①判断这个函数增长速度的快慢. 解：通过描点法画出该函数的图象，如图，由图可知这个函数的增 长速度越来越慢. 建 模 应 用 19 ②我们学过一些什么函数？ 解：幂函数（包括一次函数、二次函数、反比例函数等）、指数函 数、对数函数. ③你觉得这个函数的图象最像什么函数的图象？ 解：增长速度逐渐变慢的幂函数、对数函数． ④如何求出函数解析式？ 解：先选择适当的函数模型，再选择几组适当的数据，如果选择 ，把数据代入，即可确定,, ； 如果选择 ，把数据代入，即可确定 ,, . 建 模 应 用 20 ⑤你认为应怎样验证函数模型？ 解：从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数 和 ，列表、画图象，验证函数模型. 一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式，看误差有 多大，或者直接列成下表，将函数值与原有数据一一比对； 二是在原来的图象中再画出所求函数的图象,看两个图象的偏差有多大; 三是求出导函数，研究增长速度的快慢． 建 模 应 用 21 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/ 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/ 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 建 模 应 用 22 ⑥你认为应该从哪些方面改进函数模型？ 解：一是改进所选函数类型，二是改进函数中的参数.改进时最好是 结合函数图象与数学运算，不断进行调整,而利用计算机辅助改进效 果最佳. 建 模 应 用 23 $