第2章 教材拓展5 嵌套函数的零点与函数共零点问题(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“嵌套函数的零点与函数共零点问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了判断零点个数、由零点个数求参数、共零点求值与范围三大考查方向，通过典例与对点练归纳出f(g(x))=0型、f(x)g(x)≥0恒成立等常考题型，体现高考备考的针对性和系统性。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”策略，如以2024新课标Ⅱ卷真题为例，运用“换元解套+数形结合”突破嵌套函数零点，培养学生的数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观），帮助学生掌握分类讨论技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

教材拓展5 嵌套函数的零点与函数共零点问题 高三总复习数学 广东专版 第二章　函数与基本初等函数 　　嵌套函数的零点与函数共零点问题是高中数学中一个重要的知识拓展点，也是高考命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇命制试题. 一、嵌套函数的零点问题 定义：我们把形如y＝f(f(x))或y＝f(g(x))的一类函数称为嵌套函数，把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题 “f(f(x))”型：是同一个函数f(x)自身嵌套问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设f(x)＝t，然后根据题设条件解出相应t的值或范围，最后利用函数f(x)或利用函数y＝f(x)与y＝t的图象关系解决问题. “f(g(x))”型：是两个函数f(x)，g(x)的互嵌问题，求解这一类型的策略是：首先将“内层函数”换元，即设g(x)＝t，然后通过中间变量既是“内层函数”的函数值，又是y＝f(t)的自变量，利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的性质，或作出并利用y＝f(t)与t＝g(x)两个函数的图象来解决问题. 题型一　判断嵌套函数零点个数 (1)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ 则函数g(x)＝[f(x)]2－f(x)的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 典例1 √ 因为当x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，当x＞2时，f(x)＝f(x－2)＋1，所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象.同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的图象.再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示，令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点.故选C. 令u＝f(x)，先解方程f(u)＝1.①当u≤1时，则f(u)＝2u－1＝1，得u1＝1.②当u＞1时，则f(u)＝｜ln (u－1)｜＝1，即ln (u－1)＝±1，解得u2＝1＋，u3＝1＋e.作出函数u＝f(x)的图象，如图所示， (2)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝1的根的个数为 A.7 B.5 C.3 D.2 √ 直线u＝1，u＝1＋，u＝1＋e与函数u＝f(x)图象的交点个数分别为3，2，2，所以方程f(f(x))＝1的根的个数为3＋2＋2＝7.故选A. 破解嵌套函数零点个数问题的主要步骤 第一步：换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点； 第二步：依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象的交点个数. 规律方法 对点练1.已知函数f(x)＝其中e为自然对数的底数，则函数g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零点个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1，f'(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示.因为g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，令t＝f(x)，由g(x)＝0，可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或t＝.当t＝，即f(x)＝有3个解，则g(x)有3个零点；当t＝3，即f(x)＝3有1个解，则g(x)有1个零点.综上，g(x)共有4个零点.故选B. 画出f(x)的大致图象如图所示.令g(x)＝[f(x)]2－2af(x) ＋a2－1＝0，得f(x)＝a－1或f(x)＝a＋1.设f(x)＝t，由 图可知，当t＜0或t＞2时，t＝f(x)有且仅有1个实根， 题型二　由嵌套函数零点的个数求参数 (1)已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝[f(x)]2－ 2af(x)＋a2－1恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是 A.(－1，0)∪(1，2) B.(－1，1)∪(3，＋∞) C.(－1，0)∪[1，2) D.(－1，1]∪(3，＋∞) 典例2 √ 当t＝0或1≤t≤2时，t＝f(x)有2个实根，当0＜t＜1时，t＝f(x)有3个实 根，则g(x)恰有4个不同的零点等价于解得－1＜a＜0或1≤a＜2.故选C. 函数h(x)的零点即为方程h(x)＝0的解，也即g(f(x))＝a 的解.令t＝f(x)，则原方程的解变为方程组 的解.作出函数y＝f(x)和直线y＝t的图象如图①所示. (2)设函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝若函数h(x)＝g(f(x))－a有6 个不同的零点，则实数a的取值范围是________. (2，3] 由图可知，当t＞－1时，有两个不同的x与之对应，当t＝－1时，有一个 x与之对应，当t＜－1时，没有x与之对应.由有6个不同的 解知，需要方程②有三个不同的t，且都大于－1.作出函数y＝g(t)和直线y＝a的图象如图②所示.当a∈(2，3]时满足要求.综上，实数a的取值范围是(2，3]. 　　已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 规律方法 对点练2.(2025·东北三省三校3月联考)已知函数f(x)＝ (a＞0且a≠1)在R上为单调函数.若方程f2(x)－4｜f(x)｜＋3＝0有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是 A.(0，］ B. C. D.(，1) √ 由题意知，函数f(x)在R上是单调函数，所以解得0＜a≤， 图象如图所示.令t＝｜f(x)｜，所以方程f2(x)－4｜f(x)｜＋3＝0可化为t2－4t＋3＝0，解得t＝1或t＝3，所以｜f(x)｜＝1或｜f(x)｜＝3，即f(x)＝±1或f(x)＝±3.由图象知，当f(x)＝－3，－1，3时都有一个交点.因为方程f2(x)－4｜f(x)｜＋3＝0有4个不同的实数解，所以4a＞1，解得a＞，所以实数a的取值范围是(，］. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1有6个 零点，则实数a的取值范围是 A.(2，4] B.(2，＋∞) C. D. 教师备选 √ 设t＝f(x)，则由g(x)＝[f(x)]2－af(x)＋1，可设y＝ h(t)＝t2－at＋1，画出f(x)的图象，如图所示.由图 可知，当t＜－1时，t＝f(x)有且仅有一个解；当t＝ －1或t＞2时，t＝f(x)有两个不同的解； 当－1＜t≤2时，t＝f(x)有三个不同的解，令h(t)＝0，即t2－at＋1＝0，因为函数g(x)有6个零点， 故需t2－at＋1＝0在(－1，2]内有两个不同的根， 所以 解得2＜a≤.故选C. 对点练3.设a∈R，函数f＝若函数y＝f恰有5个零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 设t＝f，当x≥0时，f＝－1，此时t≥0，由 f＝0得t＝1，即f＝－1＝1，解得x＝0或x＝ 2，所以y＝f上有2个零点；当x＜0 时，若a≥0，f＝－x2＋ax，对称轴为x＝，函数y ＝f的大致图象如图①所示，此时f＝－x2＋ax＜0， 即t＜0，则f＜0，所以f＝0无解，则t＝f无零点，y＝f无零点，综上，此时y＝f只有2个零点，不符合题意； 若a＜0，此时f的大致图象如图②所示，令－t2＋at＝0，解得t＝a＜0(t＝0舍去)，显然f＝a在上存在唯一负解，所以要使y＝f(f(x))恰有5个零点，需f＞1，即－＋＞1，解得a＜－2，所以a∈.故选D. 二、函数共零点问题 定义：f(x)≥0的解区间为正区间，f(x)≤0的解区间为负区间 如果对任意x∈D，f(x)·g(x)≥0恒成立，那么函数f(x)，g(x)有相同的正负区间，也就是说他们有共同的解区间的端点，如果有零点，那么这两个函数的零点必须是共有的 如果对任意x∈D，f(x)·g(x)≤0恒成立，那么函数f(x)，g(x)有相反的正负区间，此时他们也需要有共同的解区间的端点，如果有零点，那么这两个函数的零点也必须是共有的 题型三　求值问题 (1)若不等式(｜x－a｜－b)sin(πx＋)≤0对任意x∈[－1，1]恒成立，则a＋b＝ A. B. C.1 D.2 典例3 √ 如图，作出函数y＝sin(πx＋)在[－1，1]上的图象，要使不等式(｜x－a｜－b)sin(πx＋)≤0对任意x∈[－1，1]恒成立，只需函数y＝｜x－a｜－b与函数y＝sin(πx＋)在[－1，1]上有相同的零点.当x∈[－1，1] 时，由y＝sin(πx＋)＝0，得x1＝－，x2＝，所以所以a＋b＝.故选B. (2)已知函数f(x)＝(ex－4x)(x2－ax＋b)，对于∀x∈R，有f(x)≥0，则＝___. 16 令g(x)＝ex－4x，h(x)＝x2－ax＋b，即f(x)＝g(x)·h(x).由题意知，函数g(x)，h(x)同号且有共同的零点.因为g(x)＝ex－4x，所以g'(x)＝ex－4.由g'(x)＞0，得x＞ln 4；由g'(x)＜0，得x＜ln 4，所以x＝ln 4时，g(x)min＝g(ln 4)＝4－4ln 4＜0，所以函数g(x)有两个零点，记为x1，x2，则＝4x1，＝4x2，所以·＝4x1·4x2，即＝16x1x2.且同时x1，x2也是函数h(x)＝x2－ax＋b的两个零点，所以x1＋x2＝a，x1x2＝b，所以ea＝16b，即＝16. 　　若两个函数解析式的乘积恒大于0(或小于0)且这两个函数在定义域内有零点，则这两个函数在定义域内有相同的零点. 规律方法 对点练4.设a∈R，若x＞0时恒有(x2－ax－1)≥0成立，则a＝___. 令g(x)＝(a－1)x－1，h(x)＝x2－ax－1，知g(0)＝h(0)＝－1.又函数h(x)的图象开口向上，所以h(x)在(0，＋∞)上只有一个零点.由题意知，函数g(x)，h(x)同号且有共同的零点，所以a－1＞0，且h()＝0解得a＝或a＝0(舍去). 已知x＋ln x＋2 026＝0，ln(1－y)－y＋2 027＝0，则x＋y的值为 A.－e B.1 C.e－1 D.－e2 教师备选 √ 由ln(1－y)－y＋2 027＝0得(1－y)＋ln(1－y)＋2 026＝0.令f(x)＝x＋ln x＋2 026，易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x＝1－y，即x＋y＝1.故选B. 题型四　求最值或参数范围 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为 A. B. C. D.1 典例4 √ 由题意可知，函数f(x)的定义域是(－b，＋∞).令g(x)＝x＋a，h(x)＝ln(x＋b)，即f(x)＝g(x)·h(x).同时由题意知，函数g(x)，h(x)同号且在(－b，＋∞)上有共同的零点.由g(x)＝x＋a＝0，h(x)＝ln(x＋b)＝0，得x＝ －a，x＝1－b，即b＝1＋a，所以a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2a2＋2a＋1＝2(a＋)2＋≥，所以a2＋b2的最小值为.故选C. x2＋2a2ln x≥ax在x∈上恒成立⇔x2－2ax＋2a2ln x－axln x≥0⇔x(x－2a)＋aln x≥0⇔≥0.所以令f＝x－aln x，则f'＝1－＝，①当a≤e时，f'≥0. f上单调递增，所以f≥f＝e－a≥0.又e－2a≥0，所以a≤； (2)(2025·山东济宁一模)∀x∈，若x2＋2a2ln x≥ax恒成 立，则实数a的取值范围是__________________. ∪ ②当a＞e时，f上单调递减，在上单调递 增，故当x∈[e，a)时，f(x)≤f(e)＝e－a＜0，当时，即2a ＝aln(2a)，解得a＝或a＝0舍去，否则此时x＝0，对数无意义.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，］∪. 解决函数共零点问题要注意对数函数定义域的限制条件. 规律方法 由题意知x＝b是方程x2－ax－1＝0的一个根，且方程只有一个正根，所 以b2－ab－1＝0且b＞0，所以a2＋b2＝()2＋b2＝2b2＋－2≥2 －2＝2－2，当且仅当2b2＝时取等号.故选A. 对点练5.不等式(x－b)(x2－ax－1)≥0对任意x＞0恒成立，则a2＋b2的最小值为 A.2－2 B.2 C.2 D.2＋2 √ 由题意可知，函数f(x)的定义域是(0，＋∞).令g(x)＝x2＋ax＋b，h(x)＝ln x，即f(x)＝g(x)·h(x).同时由题意知，函数g(x)，h(x)同号且在(0，＋∞)上有共同的零点.由h(x)＝ln x＝0，得x＝1，所以g(1)＝0，即1＋a＋b＝0.又函数h(x)在x∈(0，1)时h(x)＜0，所以函数g(x)在x∈(0，1)时g(x)≤0，所以g(0)≤0，即b≤0，所以－a－1≤0，解得a≥－1，所以a的最小值为－1.故选B. 设函数f(x)＝(x2＋ax＋b)ln x，若f(x)≥0恒成立，则a的最小值为 A.－2 B.－1 C.2 D.1 教师备选 √ 由题意可知，令g(x)＝x2＋ax＋b，h(x)＝ex－e，即f(x)＝g(x)·h(x).同时由题意知，函数g(x)，h(x)同号且有共同的零点.由h(x)＝ex－e＝0，得x＝1，所以g(1)＝0，即1＋a＋b＝0.又函数h(x)在x∈(0，1)时h(x)＜0，所以函数g(x)在x∈(0，1)时g(x)≤0，所以g(0)≤0，即b≤0，所以－a－1≤0，解得a≥－1.故选C. 对点练6.已知函数f(x)＝(x2＋ax＋b)(ex－e)， 当x＞0时f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是 A.(－2，0) B.[－2，0] C.[－1，＋∞) D.[0，1] √ 对点练7.(2025·浙江杭州一模)对∀x∈[1，＋∞)，不等式[(ln ax)2－1](ex－b)≥0恒成立，则 A.若a∈(0，)，则b≤e B.若a∈(0，)，则b＞e C.若a∈［，e)，则ab＝ee D.若a∈［，e)，则ba＝ee √ 由题意可知，令g(x)＝(ln ax＋1)(ln ax－1)，h(x)＝ex－b，即f(x)＝g(x)·h(x).同时由题意知，函数g(x)，h(x)同号且有共同的零点.由g(x)＝(ln ax＋1)(ln ax－1)＝0，h(x)＝ex－b＝0，得x＝或x＝或x＝ln b，易知x＝是小根.当＝ln b，即ba＝时，由原不等式在[1，＋∞)上恒成立得，≤1，所以a≥e，即a≥e，ba＝，无答案；当＝ln b，即ba＝ee时，由原不等式在[1，＋∞)上恒成立得，≤1，所以a≥，即a≥，ba＝ee，选项D符合.故选D. 谢 谢 观 看 嵌套函数的零点与函数共零点问题 $