4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，覆盖三角恒等变换、图象及变换、性质、正余弦定理、解三角形综合应用五大核心考点，依据高考评价体系分析6年考频（如三角恒等变换11考、正余弦定理9考），归纳二倍角公式、由图象求解析式等常考题型，对接数学运算、逻辑推理等核心素养，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题示例+方法突破+素养提升”策略，以2025全国二卷三角恒等变换题为例，指导公式脉络整理与角的范围处理技巧，用等分象限法突破象限角判断难点，培养数学运算和直观想象素养。帮助学生掌握答题规范，教师可精准把握高频考点，提升复习效率。

第四章 三角函数与解三角形 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 三角恒等变换 2025全国二卷，8 二倍角公式 11考 数学运算 2023新课标Ⅰ，8 2023新课标Ⅱ，7 2022新高考Ⅰ，18(1) 2025全国二卷，8 和差公式 2024新课标Ⅰ，4 2024新课标Ⅱ，15(1) 2022新高考Ⅱ，6 2023新课标Ⅰ，17(1) 2021新高考Ⅰ，6 弦切互化 2024新课标Ⅱ，13 考 情 清 单 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 三角函数的图象及其变换 2023新课标Ⅱ，16 由图象求解析式 3考 直观想象 数学运算 2024新课标Ⅰ，7 两个函数图象间的关系 2024新课标Ⅱ，9 三角函数的性质 2023新课标Ⅰ，15 函数的零点个数问题 6考 逻辑推理 数学运算 2025全国一卷，4 对称中心 2022新高考Ⅰ，6 2025全国二卷，15(2) 单调区间 2024新高考Ⅰ，4 2022新高考Ⅱ，9 性质综合 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 正弦定理、余弦定理 2024新课标Ⅱ，15(2) 正弦定理 9考 数学运算 2023新课标Ⅰ，17(2) 2022新高考Ⅰ，18(2) 2022新高考Ⅱ，18(2) 2021新高考Ⅰ，19(1) 2025全国二卷，5 余弦定理 2024新课标Ⅰ，15(1) 2021新高考Ⅰ，19(2) 2021新高考Ⅱ，18(1) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 解三角形及其综合应用 2024新课标Ⅰ，15(2) 面积公式 4考 逻辑推理 数学运算 2023新课标Ⅱ，17 2022新高考Ⅱ，18(1) 2021新高考Ⅱ，18(2) 判断三角形形状 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【命题形式】 本章是历年高考常考内容，主要考查内容有利用三角恒等变换“给值求角”“给值求值”与“给角求值”，以及给定函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求解函数解析式及研究函数性质．利用正、余弦定理解三角形．针对本专题公式与知识点比较多的特征，备考时可以采用如下策略与方法： ①扫除公式、定理“障碍”，将公式、定理、推论归类整理形成公式脉络，尤其要熟练运用两角和与差公式以及倍角公式；②规范解题步骤，注意解题中容易忽略的角的范围或多解问题，掌握角的变换技巧；③注重将多个知识点融合交汇的综合题目的处理方法与思路解析明晰化． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 第一讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[22] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　角的有关概念 1．从旋转的角度看，角可分为正角、________和________. 2．从终边位置来看，角可分为__________与__________. 3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为_____________________. 负角 零角 象限角 轴线角 {β|β＝2kπ＋α，k∈Z} 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点二　弧度制及弧长、扇形面积公式 1．1弧度的角 长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝 对值是|α|＝______. 3．角度与弧度的换算 (1)1°＝___________；(2)1 rad＝________. 半径长 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 4．弧长、扇形面积的公式 |α|r 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 知识点三　任意角的三角函数 1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那 么sin α＝______，cos α＝______，tan α＝__________. 2．三角函数的符号 三角函数在各象限的符号一定要熟记口诀：________、________、_________、_________. y x 一全正 二正弦 三正切 三正切 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 归 纳 拓 展 1．象限角 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．轴线角 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　　) (3)若sin α>0，则α终边落在第一、二象限．(　　) (5)若α是第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组二　走进教材 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 3．(必修1P182T4改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　C [解析]　由tan θ>0知，θ是一、三象限角，由sin θ<0知，θ是三、四象限角或终边在y轴非正半轴上，故θ是第三象限角． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 4．(必修1P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 5．(必修1P176T11改编)某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度． [答案]　－4π [解析]　某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 题组三　走向考场 6．(多选题)(2025·包头阶段性测试)已知某扇形的周长和面积均为18，则该扇形的圆心角的弧度数可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 考点突破 · 互动探究 返回导航 角的基本概念——自主练透 1．(2026·宁波模拟)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(2026·湖州阶段测试)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为______________________. [答案]　{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [解析]　终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 (1)等分：将每个象限分成k等份． (2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 扇形的弧长、面积公式的应用——师生共研 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (3)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：弧长和扇形面积的计算方法 1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度． 2．从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 (2026·青岛质检)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三角函数的定义——多维探究 角度1　定义的直接应用 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 角度2　三角函数值符号的应用 1．(多选题)下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°<0 B．cos(－305°)>0 [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [答案]　B [解析]　因为sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos α<0，sin α>0，满足cos α－sin α<0；当α是第四象限角时，cos α>0，sin α<0，则cos α－sin α>0，不符合题意． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨：定义法求三角函数值的两种情况 1．已知角α终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点的距离|OP|＝r，然后利用三角函数的定义求解． 2．已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．(角度2)sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 利用三角函数定义解三角不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 名师点拨： 1．利用单位圆解三角不等式的步骤为：(1)确定区域的边界；(2)确定区域；(3)写出解集． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 【变式训练】 函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________________． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 提能训练　练案[22] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．将－1 845°改写成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 2．在下列三角函数值中，为负数的是(　　) C．cos(－2) D．tan(－2) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 4．某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2 cm，则小轮每秒转过的弧长是(　　) A．10π cm B．5π cm [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 6．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S的最大值为(　　) A．100 cm2 B．625 cm2 C．1 250 cm2 D．2 500 cm2 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [解析]　由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，可设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用配方法即可求解，也可以应用均值定理求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 7．(2026·江苏淮安十校联考)若α为第二象限角，则(　　) A．sin 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin α－cos α>0 D．sin α＋cos α<0 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 二、多选题 9．下列各式中结果为正值的是(　　) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 10．(2026·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　AD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 11．(2026·广东深圳期末)若角α的终边经过点P(t，－2t)(t<0)，则下列结论正确的是(　　) A．α是钝角 B．α是第二象限角 C．tan α＝－2 D．点(cos α，sin α)在第四象限 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 三、填空题 12．2 025°角是第________象限角，与2 025°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________. [答案]　三　225°　－135° [解析]　因为2 025°＝6×360°－135°，所以2 025°角的终边与－135°角的终边相同．所以2 025°角是第三象限角，与2 025°角终边相同的最大负角是－135°.又－135°＋360°＝225°，故与2 025°终边相同的最小正角是225°. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 13．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为___________________________． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 14．(2026·江西抚州期中)已知扇形的弧长为2π，面积为3π，则扇形所在圆的半径为________. [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　10 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 B组能力提升 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 A．1 B．－1 C．3 D．－3 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 C组拓展应用(选作) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章　三角函数与解三角形 谢谢观看 rad ° 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝________，扇形的面积为S＝lr＝_________. |α|·r2 (x≠0) 4．若角α∈，则sin α<α<tan α. (4)角α＝kπ＋(k∈Z)是第一象限角．(　　) [解析]　根据任意角的概念知(1)(2)(4)均是错误的．sin α>0，α也可落在y轴正半轴上，故(3)也不对．由三角函数定义sin α＋cos α＝>1，故(5)正确． 2．(必修1P171T3改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) [解析]　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确． A． B．－ C． D．－ [解析]　|OP|＝＝13，∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. [解析]　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则解得或由α＝得α＝4或α＝1.故选AD. B．是第三象限角 C．＋α是第二象限角 [解析]　因为α是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α的终边在第三象限，所以－α是第三象限角，A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限，所以是第一或第三象限角，B错误；对于C，可得2π＋2kπ<＋α< ＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α的终边在第一象限，所以＋α是第一象限角，C错误；对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上，D正确． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．也可用以下技巧，确定所在的位置． (3)选答：出现数字m的区域，即为所在的象限． 如判断象限问题可采用等分象限法． (2)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积； [解析]　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)设弓形面积为S弓．由题知l＝ cm. S弓＝S扇形－S三角形＝××2－×22×sin ＝cm2. (3)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10，α＝2. 3．记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积． A． B． C．3 D． [解析]　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝. 已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　由题意得点P(－8m，－3)，r＝，所以cos α＝＝－，所以m>0，解得m＝. C．tan>0 D．sin 10>0 [解析]　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan<0，因为3π<10<，所以10是第三象限角，故sin 10<0.故选AB. 1．(角度1)已知角α的终边经过点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________. [答案]　－　± [解析]　设P(x，y)．由题意知x＝－，y＝m，所以r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为坐标原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝.所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，cos α＝－，tan α＝－，当m＝－时，cos α＝－，tan α＝. [解析]　∵<2<3<π<4<，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.故选A. 3．(角度2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　) [解析]　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C. 1．不等式sin x≥的解集为______________． [答案]　 ≤x≤ [解析]　过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1，P2，则以OP1、OP2为终边的角分别为＋2kπ、＋2kπ(k∈Z)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，∴sin x≥的解集为. 2．不等式cos x≥－的解集为________________________． [答案]　 x≤2kπ＋ [解析]　过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1，Q2，则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，其对应的角分别为2kπ＋、2kπ－(k∈Z)，终边落在阴影部分的角的余弦值大于等于－. ∴cos x≥－的解集为. 2. 由图可知sin α>cos α的解集，sin α< cos α的解集； |sin α|>|cos α|的解集 ， |sin α|<|cos α|的解集 [答案]　(k∈Z) [解析]　∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<.∴－<sin x<. 利用三角函数定义画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x∈(k∈Z)． A．－10π＋ B．－10π－ C．－12π＋ D．－12π＋ [解析]　因为－1 845°＝－6×360°＋315°，所以－1 845°转化成弧度为－12π＋. A．sin 3 B．tan [解析]　sin 3>0，tan >0，cos(－2)＝cos 2<0，tan(－2)＝－tan 2>0.故选C. 3．已知点P(sin θ，cos θ)是角－的终边上一点，则tan θ＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　因为P(sin θ，cos θ)是角－的终边上一点，所以cos＝sin θ＝，sin＝cos θ＝－，则tan θ＝＝－. C． cm D． cm [解析]　由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为＝5，因此小轮每秒转的弧度数为＝，所以小轮每秒转过的弧长是×2＝(cm)． 5．(2026·黑龙江哈尔滨三模)已知点P是角α终边上的一点，则sin α＋2cos α＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D． [解析]　由题意可得sin α＝＝－，cos α＝＝，则sin α＋2cos α＝－＋2×＝.故选D. 解法一：设扇形半径为r，弧长为l，则周长为2r＋l＝100，面积为S＝lr，因为S＝lr＝(100－2r)r＝－r2＋50r＝－(r－25)2＋625，所以当r＝25时，Smax＝625. 解法二(应用均值定理)：S＝lr＝(100－2r)r＝(50－r)r≤2＝625，当且仅当50－r＝r，即r＝25时等号成立，故选B. [解析]　若α为第二象限角，当α＝时，可得2α＝在第四象限，此时sin 2α<0，cos 2α>0，即A、B错误；当α＝时，可得sin α＋cos α＝＋＝0，即D错误；由α为第二象限角可得sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，即C正确．故选C. 8．(2026·福建福州模拟)如图所示，两动点P，Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上从点A(1,0)处同时出发做匀速圆周运动．已知点P按逆时针方向每秒钟转α弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转β弧度(0<α<β<π)，且P，Q两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点P走过的总路程为(　　) A． B． C． D． [解析]　根据题意，设经过t秒，第二次相遇．点对应的圆心角为，则有则α＝，β＝π.则由×t＋π×t＝4π，解可得t＝4，所以第二次相遇时，P走过的总路程为4××1＝.故选C. A．sin 1 125° B．tan π·sin π C． D．sin|－1| [解析]　确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于A，因为1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0；对于B，因为π＝2π＋π，则π是第三象限角，所以 tan π>0，sin π<0，故tan π·sin π<0；对于C，因为5弧度的角在第四象限，所以sin 5<0，tan 5<0，故>0；对于D，因为<1<，所以sin|－1|>0.故选ACD. A． B． C． D． [解析]　因为直线x＋y＝0的倾斜角是，所以终边落在直线x＋y＝0上的角的取值集合为或α＝2kπ＋或.故选AD. [解析]　由点P(t，－2t)(t<0)在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，B正确，A错误；tan α＝＝－2，C正确；由sin α>0，cos α<0，则点(cos α，sin α)在第二象限，D错误．故选BC. [答案]　 [解析]　∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为. [解析]　令扇形所在圆的半径为r，依题意，·2π·r＝3π，所以r＝3. 15．(2026·四川成都二模)已知角θ的终边过点P(3,4)，则＝________. [解析]　由角θ的终边过点P(3,4)，得tan θ＝，所以＝＝＝10. 1．(2026·贵州遵义模拟预测)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，则sin θ＝(　　) A．－ B． C． D．－ [解析]　由于终边在第三象限且在直线y＝x上，取x＝－2，则y＝×(－2)＝－1，因此，终边上一点P的坐标为(－2，－1)，设|OP|＝r，根据勾股定理，r＝＝＝＝，则由三角函数的定义可得sin θ＝＝＝－.故选D. 2．(多选题)(2026·唐山模拟)函数f(x)＝＋＋的值可能为(　　) [解析]　由sin x≠0，cos x≠0，知x终边不在坐标轴上，若x为第一象限角，f(x)＝＋＋＝3.若x为第二象限角，f(x)＝＋＋＝－1.若x为第三象限角，f(x)＝＋＋＝－1.若x为第四象限角，f(x)＝＋＋＝－1.故选BC. 3．砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点，图2是根据一个砖雕(如图1)所作的扇环，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若∠AOB＝，C，D分别在OA，OB上，AC＝2，的长度＝2π，则该扇环的面积为(　　) A． B． C． D． [解析]　因为∠AOB＝， ＝2π，所以OA＝ ＝＝3，所以OC＝OA－AC＝3－2＝1.由扇形面积公式可得该扇环的面积S＝×(OA2－OC2)＝×(32－12)＝，故选A. 4．(多选题)(2025·吉林二模)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点A在(1,0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 rad/s的角速度按逆时针方向运动，则(　　) A．经过1 s后，扇形AOB的面积为 B．经过2 s后，劣弧的长为 C．经过6 s后，质点B的坐标为 D．经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 [解析]　由题意可知：经过1 s后，∠AOB＝－＋＝，所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，故选项A错误；经过2 s后，∠AOB＝－2×＋2×＝，所以此时劣弧的长为αr＝，故选项B正确；经过6 s后，质点B转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B为角＋＝的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为 ，故选项C错误；经过 s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度为×＝－，因为－＋＝2π，所以经过 s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故选项D正确．故选BD. 5．(2026·兰州模拟)已知＝－，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M，且OM＝1(O为坐标原点)，求m及sin α的值． [解析]　(1)由＝－，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角． (2)因为OM＝1，所以2＋m2＝1， 解得m＝±. 又α为第四象限角，故m<0， 从而m＝－，sin α＝＝＝－. (2025·兰山模拟)如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝________. [答案]　 [解析]　设扇形的半径为r，则扇形的面积为ar2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为r2tan α，由题意得r2tan α＝2×ar2，即tan α＝2α，所以＝. $