精品解析：上海市文建中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试卷

上海市文建中学2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 试卷注意事项 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、班级、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一．填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 已知角的终边经过点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据终边上的点，结合即可求函数值. 【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过， ∴. 故答案为：. 2. 角属于第___________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】即可得解. 【详解】, 所以角的终边与角的终边相同，位于第二象限. 故答案为：二 3. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】把圆心角化为弧度数，然后由面积公式计算． 【详解】（弧度）， 所以， 故答案为：． 4. 已知 是第二象限角，，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】根据公式 ，可以得到：， 已知 ，代入计算：， 又因为 是第二象限角，在第二象限中余弦值为负，因此：． 5. 已知，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式，结合“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】因为，则. 故答案为：3. 6. 函数是奇函数，则实数____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得，结合，即得答案. 【详解】由题意知函数是奇函数， 则，结合，可得， 故答案为： 7. 函数 的频率为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由周期与频率的关系进行求解． 【详解】频率为： 8. 将 化成 的形式为 _____． 【答案】 【解析】 【详解】， ． 9. 函数的零点为______． 【答案】或 【解析】 【详解】令，解得， 故或． 10. 函数的值域为_____． 【答案】 【解析】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 11. 设的内角所对的边分别为，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】先对化简，然后利用余弦定理可求出角 【详解】解：由，得，即， 由余弦定理得， 因为，所以 故答案为： 【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题 12. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 【答案】 【解析】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【详解】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A：，错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确． 14. 如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：直接由三角函数的定义得到结果即可. 详解：根据三角函数的定义得到点的坐标为：. 故答案为A. 点睛：这个题目考查了三角函数的定义的应用，三角函数的定义主要是将三角函数终边上的点坐标和旋转角的三角函数值联系起来. 15. 已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，得到，进而可求出结果. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数求值的问题，熟记同角三角函数基本关系，即可求解，属于常考题型. 16. 已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由正弦定理得 ， ， ，即 ， ，， ，， ． 三．解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 在中，已知，，． （1）求的值及外接圆半径 （2）求中最大角的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 根据余弦定理得， 解得，由正弦定理得， 即． 【小问2详解】 的最大边为，对应的角为最大角， 由余弦定理得， 又，因此． 18. （1）已知，并且是第二象限角，求和的值． （2）已知，求和的值． 【答案】（1），； （2）当是第二象限角时，； 当是第三象限角时，． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系结合角的象限求解即可； （2）利用同角三角函数关系，按照角的象限分类讨论求解即可. 【详解】（1），又因为是第二象限角， 所以，． （2）， 因为，所以是第二或第三象限角， 当是第二象限角时，； 当是第三象限角时，． 19. 已知角 的终边经过点 （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知角 的终边经过点 ，点到原点的距离， 根据三角函数定义： ． 【小问2详解】 ，， ，， 代入原式： ， 由点 可知： ，所以． 20. 已知函数：． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的值域及取到最值时的值； （3）求函数在上的严格增区间． 【答案】（1） （2）值域为，时取最大值，时取最小值 （3）和 【解析】 【小问1详解】 ， 最小正周期． 【小问2详解】 因为，所以， 当时取得最大值，此时， 解得， 当时取得最小值，此时， 解得． 【小问3详解】 的单调增区间满足， 解得， 结合，可知和， 当时，结合，知，时，结合，知， 所以在上的严格增区间为和． 21. 如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形所在的圆心，，扇形绿地的半径为，广场管理部欲在绿地上修建观光小路，修建标准为在弧上选一点，过修建与平行的小路，与平行的小路． （1）当时，求小路到的距离； （2）设，求与（用表示）； （3）试求小路与的长度和关于的函数，并求出的最大值及此时的值． 【答案】（1） （2）， （3），， 【解析】 【小问1详解】 已知，，故四边形OECD为平行四边形， 当时，则点到OA的距离为． 【小问2详解】 在平行四边形OECD中，可知，， 由正弦定理， 因，解得，， 所以． 【小问3详解】 ， 又， 因此， 当时，取得最大值。此时， 解得，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市文建中学2025学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 试卷注意事项 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、班级、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一．填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 已知角的终边经过点，则________. 2. 角属于第___________象限. 3. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的面积为___________. 4. 已知 是第二象限角，，则 ______． 5. 已知，则________. 6. 函数是奇函数，则实数____________. 7. 函数 的频率为 ______． 8. 将 化成 的形式为 _____． 9. 函数的零点为______． 10. 函数的值域为_____． 11. 设的内角所对的边分别为，若，则____． 12. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是 A. B. C. D. 15. 已知，则的值为 A. B. C. D. 16. 已知分别为 三个内角的对边，且满足，则角 的大小为（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 在中，已知，，． （1）求的值及外接圆半径 （2）求中最大角的值． 18. （1）已知，并且是第二象限角，求和的值． （2）已知，求和的值． 19. 已知角 的终边经过点 （1）求 的值； （2）求 的值． 20. 已知函数：． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的值域及取到最值时的值； （3）求函数在上的严格增区间． 21. 如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形所在的圆心，，扇形绿地的半径为，广场管理部欲在绿地上修建观光小路，修建标准为在弧上选一点，过修建与平行的小路，与平行的小路． （1）当时，求小路到的距离； （2）设，求与（用表示）； （3）试求小路与的长度和关于的函数，并求出的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $