精品解析：江苏南京市秦淮区2025－2026学年第二学期第一阶段学业质量监测试卷 九年级数学

2025—2026学年度第二学期第一阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的基本运算和负整数指数幂，分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：选项A： ，，结果为正数，A不符合要求； 选项B：，，结果为负数，B符合要求； 选项C： ，，结果为正数，C不符合要求； 选项D：，，结果为正数，D不符合要求． 2. 要使分式有意义，字母x须满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式即可求解x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0， ∴， 解得． 3. 如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、由不能判定，故不符合题意； B、由不能判定，故不符合题意； C、由，可知：，则根据“同位角相等，两直线平行”判定，故符合题意； D、由不能判定，故不符合题意． 4. 如图，和是边长为的正六边形的对角线，则四边形的面积是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正六边形的性质求出和的度数，进而得出和为直角，判定四边形为矩形，利用勾股定理求出的长，最后计算面积． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 过点作于点，如图， 在Rt中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 5. 如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（ ） A. 边长分别为，的正方形 B. 边长分别为，的正方形 C. 边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D. 边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行投影的性质，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别求出光线沿射线、方向射入时，投影的边长，即可得答案． 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 6. 将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出函数图象，然后得到原点到直线的距离最小，进而根据两点距离公式计算两点之间距离，最后问题可求解． 【详解】解：画出函数的图象，如下所示： 当时，则有，解得：；当时，则有， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 过点O作于点C， ∴， 由将一次函数的图像绕原点旋转一周，可知：只要满足旋转后直线经过的点到原点的距离大于或等于即可； ∴A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用积的乘方法则、幂的乘方法则计算第一项，利用同底数幂的乘法法则计算第二项，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 8. 计算的结果是______． 【答案】 2 【解析】 【详解】解： ． 9. “主频”是指CPU的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了CPU速度的快慢．某款CPU的主频是GHz，意味着它执行一个基本操作的时间大约是秒．将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示为． 10. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 11. 为了解某校学生最喜欢的课余活动，数学兴趣小组从该校抽取了部分学生进行调查，调查问卷分为“阅读”“娱乐”“运动”和“其他”四个大项，每个大项又分为若干小项，根据调查结果绘制了如下统计图． 若该校有学生1200名，估计喜欢阅读科普类书籍的人数是______名． 【答案】84 【解析】 【分析】根据左侧扇形统计图求出喜欢阅读的学生人数，再根据右侧扇形统计图求出其中喜欢科普类书籍的人数，利用样本估计总体的思想进行计算即可． 【详解】解：（名）． 估计喜欢阅读科普类书籍的人数是84名． 12. 将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原函数的顶点坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征求出新的图象的顶点坐标，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴新的图象的顶点坐标为，， ∴新的图象对应的函数表达式是，即． 13. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 14. 如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中，． 15. 某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【解析】 【分析】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【详解】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 16. 是半径为5的的内接三角形，若，，则边上的高的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，则即为边上的高，作直径，连接，在中，求出，利用圆周角定理的推论得到，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则即为边上的高，作直径，连接， 是的直径，半径为， ，， 在中，， ∴， 和都是弧所对的圆周角， ， ， ， 是直角三角形，， ， ， ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得； ∴方程组的解为． 18. 计算． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式 ． 19. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】略 20. 某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）： A B C D E 夏季续航里程 450 480 420 500 450 冬季续航里程 370 420 350 390 400 （1）这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km； （2）你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由． （3）推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”） 【答案】（1） 460，390 （2） 解：B款车续航方面最好，理由： B款汽车夏季续航里程数在五款汽车中居第二位，冬季续航里程数在五款汽车中居第一位， 故B款车续航方面最好 （答案不唯一，理由合理即可）； （3） 南方 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义求解即可； （2）根据夏、冬季续航里程数判断即可； （3）根据各款汽车的夏季续航里程数均大于冬季续航里程数判断即可. 【小问1详解】 解：这五款汽车夏季续航里程的平均数是， 冬季续航里程数从小到大排序为：350，370，390，400，420， 则中位数是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由表格数据可知，各款汽车的冬季续航里程均明显低于夏季续航里程，这说明低温环境对新能源汽车的续航能力影响较大。因为我国北方地区冬季寒冷，南方地区相对温暖，可以推测新能源汽车在南方地区的使用体验更好，因此用户占比较多的省份主要位于南方地区. 21. 结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 【答案】． 【解析】 【分析】由数轴得，，作差法结合因式分解即可求解． 【详解】解：∵ ， 由数轴得，， ∴， ∴． 22. 如图，在高为的某建筑物前方的平地上竖立着一根旗杆，和的延长线交于点，此时测得仰角，，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】解可得，设，分别解和，得，，再根据列方程解答即可求解． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 设， 在中，∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度为． 23. 有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1，2，3，4，5，6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1，3，5的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组；③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． A，B两位同学玩游戏时，A抽到了甲牌组，B抽到了乙牌组．B为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6的卡牌． （1）A在第一轮中选取标有数字_______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； （2）在（1）的条件下，求A赢得整场游戏的概率． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：A在第一轮中选取标有数字1的卡牌，才有可能赢得整场游戏； 【小问2详解】 解：在（1）的条件下， A第一轮用1，B第一轮用6(B赢)； 剩下的牌：A组是3、5；B组是2、4， 后续两轮的出牌顺序组合： 1、A出3、B出2(A赢)，A出5、B出4(A赢)→A赢两场，整体获胜； 2、A出3、B出4(B赢)，A出5、B出2(A赢)→A赢1场，整体失败； 3、A出5、B出2(A赢)，A出3、B出4(B赢)→A赢1场，整体失败； 4、A出5、B出4(A赢)，A出3、B出2(A赢)→A赢两场，整体获胜； 总共有4种等可能的出牌顺序，其中A赢得整场游戏的有2种． 所以概率为：． 24. 已知线段和点P，按下列要求分别作一个三角形，使是这个三角形的中位线．（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （1）该三角形是等腰三角形，且点P在腰上； （2）该三角形是直角三角形，且点P在直角边上． 【答案】（1） 如图，即为所作： ； （2） 如图，即为所作： ． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，作直线交线段的垂直平分线于点，再作射线，以点为圆心，为半径画弧交直线于点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，则即为所作； （2）以为直径作圆，交直线于点，再作射线，以点为圆心，为半径画弧交直线于点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，则即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． （1）判断的形状并证明； （2）若，和的面积比是，则的长度是______． 【答案】（1） 解：是等腰三角形， 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，再推出，即可证明是等腰三角形； （2）作于点，证明，利用面积相等求得，设，，利用勾股定理和半径相等列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵和的面积比是，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d． （1）当，，时． ①______； ②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像． i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．） ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值． （2）下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号） 【答案】（1）①6；②i），ii） （2）①③ 【解析】 【分析】（1）①由题意易得二次函数的解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解； ②i）由题意易得平移后的函数解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解；ii）由题意易得该二次函数的顶点到x轴的距离等于，然后可得新函数的顶点坐标为，进而可得，则问题可求解； （2）由题意易得，然后根据二次函数与一次函数的图像与性质进行排除选项即可． 【小问1详解】 解：①由，，可知：， ∴令时，则有，解得：， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， ∴； ②i）将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像，可得平移后的函数解析式为， ∴令时，则有，解得：， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， ∴； ii）∵新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d， ∴该二次函数的顶点到x轴的距离等于， ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：令时，则有，解得：， ∴， ①当a，b确定时，则根据可知：令，则可把此函数看作是关于t与c的一次函数，显然t的值随c的增大而减小，根据二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随c的增大而减小，故原说法正确； ②当a，c确定时，则根据及二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随的增大而增大，故原说法不正确； ③当b，c确定时，则根据可令，则有， ∴当时，则，因为，所以d随t的增大而增大，由于，所以d随a的增大而减小； 当时，则随a的增大而减小，随a的增大而增大，所以的值随a的增大而减小，即d随a的增大而减小，故原说法正确； 综上所述：正确的有①③． 27. 生活中，“曲柄滑块机构”（如图（1））广泛应用于压缩机、冲床等机械设备中，它由导轨，长度固定的曲柄和长度固定的连杆组成，图（2）是它的示意图．它能将点A的整周转动转换为点B在导轨上的往复移动，其中，点B离点O最远的位置称为“外止点”，记为M；点B离点O最近的位置称为“内止点”，记为N．已知点O，A，B，导轨在同一平面内． 当点B和点M重合时，点A开始逆时针旋转，记旋转角为θ°，当时，点A停止旋转．设，，点O到的距离为c，且． （1）如图（3），当，即直线经过点O时，若，，则MN的长度是______． （2）如图（4），当，即直线不经过点O时，求证：． （3）在点A的旋转过程中，的长度m是θ的函数． ①如图（3），当时，m与θ之间的函数图像（不完整）如图（5），该图像上的点P的纵坐标是，写出点P的横坐标并补全函数图像． ②如图（4），当时，直接写出m的最大值（用含a，b，c的代数式表示），并写出求此时θ的值的思路． 【答案】（1）4 （2） 证明∶如图，当点O，A，B在同一直线上，且点A在点O，B之间时，此时点B与点M重合，为“外止点”； 当点O，A，B在同一直线上，且点B在点O，A之间时，此时点B与点N重合，为“内止点”， ∴， 在中，， ， 解得； （3）①， 函数图像如图所示 ②， 求的思路∶ ， 根据余弦值求出、， 则， 此时． 【解析】 【分析】（1）推导出当时，点A，O，B在直线l上，当点A与重合时，点B与点N重合，当点A与重合时，点B与点M重合，即可解答； （2）推导出当点O，A，B在同一直线上，且点A在点O，B之间时，此时点B与点M重合，为“外止点”； 当点O，A，B在同一直线上，且点B在点O，A之间时，此时点B与点N重合，为“内止点”，得到，再根据三角形的三边关系求解即可； （3）①推导出当时，点A，O，B在直线l上，当点A与重合时，点B与点N重合，当点A与重合时，点B与点M重合，得到，推导出此时重合，即，则此时A、O、B共线且在的左侧才成立，此时，与对应的图形关于对称，即可解答； ②过点O作于点H，推导出，，得到，根据余弦值求出、，此时，即可解答． 【小问1详解】 解∶如图，当时，点A，O，B在直线l上，当点A与重合时，点B与点N重合，当点A与重合时，点B与点M重合， ，， ∴， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图， 如图，当时，点A，O，B在直线l上，当点A与重合时，点B与点N重合，当点A与重合时，点B与点M重合， 有， ， 当，即时，， 此时重合，即， 此时A、O、B共线且在的左侧才成立， ， 与对应的图形关于对称， 函数图象也应为轴对称图形； 如图所示 ②当时，过点O作于点H，如图， 当，， 当，， ， 求的思路略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第一阶段学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列计算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，字母x须满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线a，b被直线c所截．下列条件中，能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和是边长为的正六边形的对角线，则四边形的面积是（） A. B. C. D. 5. 如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（ ） A. 边长分别为，的正方形 B. 边长分别为，的正方形 C. 边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D. 边长为的正方形和长为，宽为的长方形 6. 将一次函数的图像绕原点旋转一周，在这个过程中不会经过的点是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卷相应位置上） 7. 计算的结果是______． 8. 计算的结果是______． 9. “主频”是指CPU的时钟频率，它的高低在很大程度上反映了CPU速度的快慢．某款CPU的主频是GHz，意味着它执行一个基本操作的时间大约是秒．将用科学记数法表示为______． 10. 不等式组的解集是______． 11. 为了解某校学生最喜欢的课余活动，数学兴趣小组从该校抽取了部分学生进行调查，调查问卷分为“阅读”“娱乐”“运动”和“其他”四个大项，每个大项又分为若干小项，根据调查结果绘制了如下统计图． 若该校有学生1200名，估计喜欢阅读科普类书籍的人数是______名． 12. 将二次函数的图象沿着轴翻折，得到的新的图象对应的函数表达式是______． 13. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 14. 如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 15. 某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 16. 是半径为5的的内接三角形，若，，则边上的高的长度是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程． 18. 计算． 19. 如图，在中，的平分线交边于点E，F是边上一点，．求证：四边形是菱形． 20. 某汽车评测机构对我国市场上五款标称续航里程为520km的新能源汽车A，B，C，D，E进行了续航测试，数据如下表（单位：km）： A B C D E 夏季续航里程 450 480 420 500 450 冬季续航里程 370 420 350 390 400 （1）这五款汽车夏季续航里程的平均数是_______km，冬季续航里程的中位数是______km； （2）你认为哪一款车在续航方面表现最好？说明理由． （3）推测我国新能源汽车用户占比较多的省份主要位于______地区．（填“南方”或“北方”） 21. 结合如图所示的数轴，比较代数式与的大小． 22. 如图，在高为的某建筑物前方的平地上竖立着一根旗杆，和的延长线交于点，此时测得仰角，，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 23. 有一种卡牌游戏，其游戏规则如下： 规则 ①先将六张卡牌分别标上数字1，2，3，4，5，6，再分为甲、乙两个牌组，标有数字1，3，5的卡牌在甲牌组，剩余卡牌在乙牌组； ②两位选手各抽取一个牌组进行游戏，整场游戏共三轮，每位选手每一轮都从自己的牌组中选取一张牌和对方比大小，数字大的获胜，已经选取过的牌不再放回牌组；③在三轮游戏中，获胜两轮及以上者，赢得整场游戏． A，B两位同学玩游戏时，A抽到了甲牌组，B抽到了乙牌组．B为了在第一轮中获得胜利，选取了标有数字6的卡牌． （1）A在第一轮中选取标有数字_______的卡牌，才有可能赢得整场游戏； （2）在（1）的条件下，求A赢得整场游戏的概率． 24. 已知线段和点P，按下列要求分别作一个三角形，使是这个三角形的中位线．（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （1）该三角形是等腰三角形，且点P在腰上； （2）该三角形是直角三角形，且点P在直角边上． 25. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． （1）判断的形状并证明； （2）若，和的面积比是，则的长度是______． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d． （1）当，，时． ①______； ②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像． i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．） ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值． （2）下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号） 27. 生活中，“曲柄滑块机构”（如图（1））广泛应用于压缩机、冲床等机械设备中，它由导轨，长度固定的曲柄和长度固定的连杆组成，图（2）是它的示意图．它能将点A的整周转动转换为点B在导轨上的往复移动，其中，点B离点O最远的位置称为“外止点”，记为M；点B离点O最近的位置称为“内止点”，记为N．已知点O，A，B，导轨在同一平面内． 当点B和点M重合时，点A开始逆时针旋转，记旋转角为θ°，当时，点A停止旋转．设，，点O到的距离为c，且． （1）如图（3），当，即直线经过点O时，若，，则MN的长度是______． （2）如图（4），当，即直线不经过点O时，求证：． （3）在点A的旋转过程中，的长度m是θ的函数． ①如图（3），当时，m与θ之间的函数图像（不完整）如图（5），该图像上的点P的纵坐标是，写出点P的横坐标并补全函数图像． ②如图（4），当时，直接写出m的最大值（用含a，b，c的代数式表示），并写出求此时θ的值的思路． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $