精品解析：安徽舒城晓天中学2025-2026学年下学期期中质量检测高一数学试题

晓天中学2026年春学期期中质量检测 高一数学（试题卷） 命题范围：平面向量 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 向量，若∥，则的值是 A. B. C. D. 3. 已知复数满足 (为虚数单位），则复数 A. B. C. D. 4. 设向量，，且，则的值是 A. B. C. D. 5. 在△中，，，，则的值为 A. B. C. D. 6. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 7. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 二､多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知中，内角所对的边分别为，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的面积为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则或 C. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 D. 若是等边三角形，则 12. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 14. 在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，则角C的大小为________． 15. 已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____． 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 四､解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知复数满足（是虚数单位）. （1）求复数的虚部； （2）若复数是纯虚数，求实数的值； （3）若复数的共轭复数为，求复数的模. 18. 如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且． （1）以，为基底表示向量与； （2）若，，与的夹角为，求． 19. 在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 20. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 21. 已知：，，且． （1）求的单调递减区间； （2）在中，，，（），D为BC上的动点（不包括端点），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晓天中学2026年春学期期中质量检测 高一数学（试题卷） 命题范围：平面向量 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 所以复数的虚部是. 2. 向量，若∥，则的值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，得，解得；故选C. 3. 已知复数满足 (为虚数单位），则复数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 ，选B. 4. 设向量，，且，则的值是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意可得， 由得，即，解得，故选C. 5. 在△中，，，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果. 6. 已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为， 所以， 又向量为单位向量， 所以. 故选：A. 7. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，首先对两边同时平方求出，然后利用求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 故. 故选：D. 8. 若为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得， 即，所以， 等式两边平方得，所以， 因此，所以是直角三角形. 二､多选题：本题共4小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式的运算结果是纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算结合纯虚数的概念，逐项判断即可. 【详解】解：A项中，故A错误； B项中，，故B正确； C项中，，故C错误； D项中，，故D正确. 故选：BD. 10. 已知中，内角所对的边分别为，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二倍角公式判断A，利用余弦定理判断B，利用三角形面积公式判断C，利用正弦定理求出外接圆的半径，再结合圆的面积公式求解面积判断D即可. 【详解】因为，所以由二倍角公式得， 在中，可得，则，得到， 解得，得到，故A正确， 对于B，由题意得，由余弦定理得， 解得（负根舍去），故B错误， 对于C，由三角形面积公式得， 则的面积为，故C正确， 对于D，设外接圆的半径为，外接圆面积为， 由正弦定理得，解得， 由圆的面积公式得， 则外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则或 C. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底 D. 若是等边三角形，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，当时，结论不正确；对于B，还有可能；对于C，根据基底的概念判断即可；对于D，根据向量夹角的概念即可判断. 【详解】对于A，当时，不一定有，故A不正确； 对于B，若，则或或，故B不正确； 对于C，因为，为一组基底，所以，不共线，若向量，共线，则存在，使得，即，此方程组无解，故向量，不共线，向量，能作为一组基底，故C正确； 对于D，若是等边三角形，则，故D正确. 故选：CD 12. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 已知，，若，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形判断A，利用正弦定理结合二倍角公式判断B，利用三角形性质可判断C，利用正弦函数性质结合同角三角函数的基本关系判断D即可. 【详解】对A，若，由正弦定理，得，所以，所以A正确； 对B，因为，由正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以B正确； 对C，已知，， 当且仅当时，有两解，所以C错误； 对D，因为为锐角三角形，所以，即， 又因为在上为增函数， 且，，所以， 又因为，所以，同理， ，， 即， 所以， 整理得：，所以D正确. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及复数的有关概念求解. 【详解】为实数， 则. 14. 在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，则角C的大小为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由正弦定理可得,又,, ,,, 在三角形中,. 考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式. 15. 已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____． 【答案】2； 【解析】 【详解】试题分析：由可得， 即， 故填2. 考点：1.向量的运算.2.向量的数量积. 16. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求得，再求出，最后根据面积公式可求. 【详解】由及正弦定理可得，又， 所以， 由知，故，所以，即， 所以，， 所以. 四､解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知复数满足（是虚数单位）. （1）求复数的虚部； （2）若复数是纯虚数，求实数的值； （3）若复数的共轭复数为，求复数的模. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1） ，利用四则法则计算； （2）利用复数是纯虚数，则可知实部为零得到的值 （3）利用因为的共轭复数为，计算复数和其模. 【详解】（1）因为，∴， 则，复数的虚部为 （2）因为复数是纯虚数，则 ∴ 实数的值为 （3）因为的共轭复数为，复数，， 【点睛】本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 18. 如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且． （1）以，为基底表示向量与； （2）若，，与的夹角为，求． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； (2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积. 【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，， ∴， （2）∵，，与的夹角为，∴， ∴． 【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题. 19. 在中，分别是内角的对边，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2＝b2+c2+bc．由余弦定理可得：cosA，结合范围A∈（0，π），可求A． （2）由已知利用余弦定理c2+2c﹣5＝0，解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得. 再由余弦定理得， 又因为 ，所以 ． （2）因为a=3，， 代入得, 解得 . 故△ABC的面积. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 20. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解； （2）①由正弦定理得，利用三角形的面积公式，列出方程，求得的值，结合余弦定理，即可求解；②利用正弦定理，求得的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为， 可得， 所以，即 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：①因为，由正弦定理得， 所以的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以； ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则， ， 又因为，所以. 21. 已知：，，且． （1）求的单调递减区间； （2）在中，，，（），D为BC上的动点（不包括端点），求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算，降幂公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质即可求解； （2）结合（1）及得出，以A为原点，AC，AB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，由平面向量线性运算及数量积的坐标公式即可求解． 【小问1详解】 ∵ ， 由，，得，， ∴的单调递减区间为，． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴或， ∴或，又∵，∴． 又∵，，∴， 以A为原点，AC，AB所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系． 则，，，则，， 设，， 则，， ，， ∴， 即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $