专题08乘法公式与整式的除法复习讲义(12大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题08乘法公式与整式的除法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平方差公式、完全平方公式的结构特征、文字表述与标准形式，理解公式推导原理。 2.分清两个乘法公式的区别，掌握公式正用、逆用、变形用法。 3.理解整式除法法则，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算规律。 4.明晰整式乘除互逆关系，构建完整整式运算体系。 1.能准确识别算式结构，灵活选用乘法公式简便计算、化简代数式。 2.熟练运用公式变形解决求值、整体代入类题型。 3.规范完成整式除法运算，正确处理系数、符号、同底数幂相除运算。 4.综合运用整式乘法、乘法公式、整式除法进行混合运算。 1.攻克公式混淆、符号错误、漏项等高频失分点，基础计算稳得分。 2.熟练解答公式化简、简便运算、含参数求值常考题型。 3.掌握整式除法基础题型，提升代数综合运算能力，为后续因式分解铺垫。 题型01.运用平方差公式进行运算 题型02.平方差公式与几何图形 题型03.运用完全平方公式进行运算 题型04.完全平方公式与几何图形 题型05.通过对完全平方公式变形求值 题型06.求完全平方式中的字母系数 题型07.单项式除以单项式运算 题型08.科学记数法表示数的除法 题型09.多项式除以单项式 题型10.整式四则混合运算 题型11.整式的混合运算 题型12.新定义运算 解答题6题 知识点01.平方差公式 ✅ 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 ✅ 核心特征：一项完全相同，一项互为相反数 ✅ 文字表述：两数和与两数差的积，等于两数的平方差 ✅ 关键要点： 1.相同项平方在前，相反项平方在后，符号不可颠倒 2.a.b可代表数、字母、多项式（整体思想） 3.逆用：a2−b2=(a+b)(a−b)，用于简便运算 4.几何意义：大正方形剪去小正方形，割补成长方形（面积相等） 知识点02.完全平方公式 ✅ 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2（和的平方）(a−b)2=a2−2ab+b2（差的平方） ✅ 核心口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央，符号看前方 ✅ 关键要点： 1.中间项系数为2，不可遗漏；符号与原式中间符号一致 2.a.b可代表数、字母、多项式 3.几何意义：大正方形面积 = 两个小正方形 + 两个长方形面积之和 高频变形公式（必考）： a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab (a+b)2=(a−b)2+4ab (a−b)2=(a+b)2−4ab 公式易混对比 乘法公式易错雷区 1 (a±b)2a2±b2，千万别漏 2ab 2 平方差只能是：同方减负方，顺序不能乱 ③ 含负号、系数、分数时，整体加括号再平方 知识点03:单项式 ÷ 单项式 ✅运算法则： 系数 ÷ 系数 同底数幂相除，指数相减 只在被除式里的字母，直接保留照写 ✅ 核心口诀：系数相除，幂做减法，独字母留下 知识点04:多项式 ÷ 单项式 ✅法则：多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加。 ✅本质：除法分配律(a+b−c)÷m=a÷m+b÷m−c÷m ✅重中之重：逐项除、不漏项、符号同步走 知识点05.科学记数法的除法运算 ✅ 运算法则：(a×10m)÷(b×10n)=(a÷b)×10m−n（1≤∣a∣,∣b∣<10） ✅ 关键要点： 结果需化为标准科学记数法（1≤∣a∣<10） 指数运算：m−n，注意正负号 整式除法易错汇总 1 同底数幂除法：指数相减，杜绝变成相加 2 多项式除以单项式：每一项都要除，禁止只除第一项 3 系数相除注意正负，符号错误是高频失分点 4 除式不能为 0，底数不为 0 知识点06:乘除综合・黄金解题思路 1.混合运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 巧用乘法公式 → 最后加减合并 2.能套公式绝不硬展开，简化计算量 3.除法运算先定符号，再算系数与字母 4.求值题型：先化简、后代入，拒绝直接代值硬算 题型01.运用平方差公式进行运算 【典例】若等式成立，则括号内所填的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式右侧的多项式用平方差公式分解，即可得到所求代数式． 【详解】∵， 根据平方差公式， 可得， ∴括号内所填的代数式是． 【跟踪专练1】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 【跟踪专练2】能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征，平方差公式为，要求两个相乘的多项式中，存在一组相同项，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：、原式变形为，两组项都完全相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，两组项都完全相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，不能用平方差公式计算，不符合题意； 、原式变形为，其中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，因此可以用平方差公式计算，符合题意． 题型02.平方差公式与几何图形 【典例】观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积，根据矩形和正方形的面积公式列式，即可得出结论． 【详解】解：图1的面积等于图2中大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴， ∴A选项符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是__________． 【答案】 【分析】运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积的计算方法为：边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于； 第二个图形中阴影部分的面积的计算方法为：一个长是，宽是的长方形，面积是； 这两个图形的阴影部分的面积相等，即． 【跟踪专练2】如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意，，再表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 题型03.运用完全平方公式进行运算 【典例】若，则代数式的值为________． 【答案】6 【分析】先将所求代数式配方变形，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘多项式法则，计算各选项结果即可判断正确答案． 【详解】解：A、，故A选项计算错误，不符合题意； B、，故B选项计算错误，不符合题意； C、，故C选项计算正确，符合题意； D、，故D选项计算错误，不符合题意． 【跟踪专练2】若，，则________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再结合完全平方公式计算即可． 【详解】解：，， ， ∴，即， ． 【跟踪专练3】已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 题型04.完全平方公式与几何图形 【典例】观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答：___________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 【跟踪专练1】我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释，那么通过图2中阴影部分面积的计算可以验证的恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用两种方法表示出图2中阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为 ∴验证的恒等式是． 【跟踪专练2】已知点在线段上，现如图摆放以、为边的两张正方形卡片，若，且两个正方形的面积之和为52，则阴影部分的面积是_____． 【答案】24 【分析】如图所示，连接，由可得阴影部分的面积，根据，代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设， 即以为边的正方形的边长为，以为边的正方形的边长为， ∴ ， ∵，且两个正方形的面积之和为， ∴，， ∵， ∴， 即阴影部分的面积是． 【跟踪专练3】有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 题型05.通过对完全平方公式变形求值 【典例】．若，，则等于（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴， ∴. 【跟踪专练1】若实数n满足 ，则代数式 ______． 【答案】/ 【分析】令，，可得，，求出即可． 【详解】解：令，， 则，， ∴， ∴， ∴， 即． 【跟踪专练2】设实数x，y，z满足，则代数式的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，根据，得出，，再分别代入，整理得，因为，故，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， 则， 即代数式的最大值为3， 故选：C． 题型06.求完全平方式中的字母系数 【典例】一个完全平方式展开后的结果为，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构对比系数即可求解的值． 【详解】解：是完全平方式，变形得， 中间项满足， 化简得， 即． 【跟踪专练1】若是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或． 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 【跟踪专练2】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 题型07.单项式除以单项式运算 【典例】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【跟踪专练1】小瑞同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小瑞同学记录的内容（如图所示），可得到缺失的单项式应该为____． 【答案】 【详解】解：缺失的单项式应该为． 【跟踪专练2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用平方差公式，单项式除法法则，多项式除以单项式法则，完全平方公式对各选项逐一判断； 【详解】解：A、，∴A计算正确； B、，∴B计算错误； C、，∴C计算错误； D、，∴D计算错误． 题型08.科学记数法表示数的除法 【典例】地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 【跟踪专练1】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【跟踪专练2】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 题型09.多项式除以单项式 【典例】李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：这个被捂住的多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，， 被捂住的多项式是， 故选：B ． 【跟踪专练1】计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 【详解】解：原式 故答案为：． 【跟踪专练2】一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污染了，商的第一项也被墨水弄污染了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多项式除以单项式法则与乘除互逆关系，即可计算出两处被污染的项. 【详解】解：∵ 被除式的第一项为，除式为， ∴ 商的第一项为 ； 设被除式中被污染的项为， ∵ 商的第二项为，且 ， ∴ ， ∴ ； 因此两处被污染的内容依次为和. 题型10.整式四则混合运算 【典例】如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据除数=被除数÷商，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 【跟踪专练1】已知A是一个多项式，单项式B等于2x，某学生计算时，把误写成，结果得，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，整式的加减，先求得该多项式，然后根据整式的除法进行计算即可求解，解题的关键是掌握整式的四则运算． 【详解】解：，， ， 则. 故答案为：. 【跟踪专练2】规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 题型11.整式的混合运算 【典例】已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式，多项式除以单项式化简，再代入求值即可． 【详解】， 原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若，代数式的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 【详解】解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 题型12.新定义运算 【典例】规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 【答案】(1)8 (2) (3)3 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先根据新定义化简，再由完全平方公式的结构特征求解即可； （3）先根据新定义得到，再化简得到，然后进行整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∵结果是一个关于，的完全平方式， ∴； （3）解：∵的值为2， ∴ ∴， ∴． 【跟踪专练1】新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的立方差，且，则称这个正整数为“立方差友好数”例如：，56就是一个立方差友好数．若将“立方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是______；第28个“立方差友好数”是_____． 【答案】 117 665 【分析】本题考查规律型，整式乘法的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据定义，得出，取的值和对应符合题意的的值分别计算，通过观察规律，可以发现第 5 个“立方差友好数”和第 28 个“立方差友好数”． 【详解】解：根据题意，满足且，是正整数， 则， 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 当时，只有符合， 此时，； 将以上所有“立方差友好数”汇总，并按从小到大的顺序排列（重复的数只记一次）得到：观察可知，第5个“立方差友好数”是，第28个“立方差友好数”是， 故答案为：117，665． 【跟踪专练2】定义新运算符号⊕：，求_____． 【答案】 【分析】根据新运算得出原式，再根据整式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法和有理数的混合运算，能正确根据整式的除法法则进行计算是解此题的关键． 【跟踪专练3】定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算． 通过逐一验证每个结论的正确性：结论①由绝对值的非负性推导；结论②通过反例证明不成立；结论③考虑a的符号情况；结论④根据a、b异号时分情况讨论即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴且， ∴且， 解得，故①正确； ②取， 左边： ， 右边： ， ∴左边≠右边，故②错误； ③ ， 当时，，故③错误； ④若a、b异号，设， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故或，故④正确． 综上所述，①④正确， 故选D． 解答题 1．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式. 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)，54 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法以及积的乘方进行计算即可； （2）根据积的乘方以及单项式的乘除运算进行计算即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可； （5）根据完全平方公式以及多项式除以单项式进行化简，再代数求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； 将，代入， 原式． 3．计算或化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）先计算同底数幂相乘、积的乘方以及同底数幂相除，再合并同类项即可得出结果； （3）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （4）利用完全平方公式以及单项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． (2)【拓展应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)【学以致用】若x满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】（1）阴影部分的面积等于两个较小的正方形的面积之和，又等于大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此列式求解即可； （2）根据（1）所求代入求值即可； （3）设，则，根据，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中阴影部分图形的面积和为； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 5．已知：多项式，整式．若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的多项式M． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵是关于x的一个完全平方式， ∴则可以使其等于， ∴ ， ∴（答案不唯一）． 6．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；（请选择正确的一个） A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：已知， ，求的值． (3)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： … 则：________． (4)利用你发现的规律：计算：________． 【答案】(1)C (2)4 (3) (4) 【分析】（1）分别表示左图和右图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论； （2）由（1）中规律，利用平方差公式整体代入即可解得； （3）观察等式的规律，可得等式的右边为，即可求解； （4）根据（3）的规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：左图中，阴影部分为大正方形面积减去小正方形的面积，阴影部分面积为：， 右图阴影是拼成的长方形，长是：，宽是：， 所以右图阴影部分面积为：， 由于左右两图阴影部分面积相等， 所以有：； （2）解：由（1）中规律，利用平方差公式可得： ， ∵ ； （3）解：∵， ， ， ∴； （4）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08乘法公式与整式的除法复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记平方差公式、完全平 1.能准确识别算式结构，灵 1.攻克公式混淆、符号错误、 方公式的结构特征、文字表 活选用乘法公式简便计 漏项等高频失分点，基础计 述与标准形式，理解公式推 算、化简代数式。 算稳得分。 导原理。 2.熟练运用公式变形解决求 2.熟练解答公式化简、简便 2.分清两个乘法公式的区 值、整体代入类题型。 运算、含参数求值常考题型 别，掌握公式正用、逆用、 3.规范完成整式除法运算， 3.掌握整式除法基础题型， 变形用法。 正确处理系数、符号、同底 提升代数综合运算能力，为 3.理解整式除法法则，掌握 数幂相除运算。 后续因式分解铺垫。 单项式除以单项式、多项式 4.综合运用整式乘法、乘法 除以单项式的运算规律。 公式、整式除法进行混合运 4.明晰整式乘除互逆关系， 算。 构建完整整式运算体系。 ☆ 题型梳理 题型01.运用平方差公式进行运算 题型02.平方差公式与几何图形 题型03.运用完全平方公式进行运算 题型04.完全平方公式与几何图形 题型05.通过对完全平方公式变形求值 题型06.求完全平方式中的字母系数 题型07.单项式除以单项式运算 题型08科学记数法表示数的除法 题型09.多项式除以单项式 题型10.整式四则混合运算 题型11整式的混合运算 题型12.新定义运算 解答题6题 ☆乡 知识梳理 知识点01.平方差公式 公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 试卷第1页，共3页 核心特征：一项完全相同，一项互为相反数 文字表述：两数和与两数差的积，等于两数的平方差 关键要点 1.相同项平方在前，相反项平方在后，符号不可颠倒 2.a.b可代表数、字母、多项式（整体思想）》 3.逆用：a2-b2-(a+b)(a-b),用于简便运算 4.几何意义：大正方形剪去小正方形，割补成长方形（面积相等） 知识点02.完全平方公式 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(和的平方)(a-b)2=a2-2ab+b2(差的平方) 核心口决：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号看前方 关键要点： 1.中间项系数为2，不可遗漏；符号与原式中间符号一致 2.a.b可代表数、字母、多项式 3.几何意义：大正方形面积=两个小正方形+两个长方形面积之和 高频变形公式（必考)： a2+b2-(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2=(a-b)2+4ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 公式易混对比 公式名称 表达式 结构特征 注意事项 平方差公式 (a+b(a-b)=a2-b2 两个二项式相乘，一项相同， 结果为相同项的平方减相反 一项互为相反数 项的平方 完全平方公式 (a+b2=a2+2ab+b2 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符 号与二项式符号一致 完全平方公式 (a-b)2=a2-2ab+b32 二项式的平方，展开为三项式 中间项为两数积的2倍，符 号与二项式符号相反 乘法公式易错雷区 ①(a±b)2≠a2±b2,千万别漏2ab ②平方差只能是：同方减负方，顺序不能乱 试卷第1页，共3页 ③含负号、系数、分数时，整体加括号再平方 知识点03：单项式÷单项式 运算法则： 系数÷系数 同底数幂相除，指数相减 只在被除式里的字母，直接保留照写 核心口诀：系数相除，幂做减法，独字母留下 知识点04：多项式÷单项式 法则：多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加。 本质：除法分配律(a+b-c)÷m=a÷m+b÷m一c÷m 重中之重：逐项除、不漏项、符号同步走 知识点05科学记数法的除法运弹 运算法则：(a×10m)÷(b×10m)=(a÷b)×10m-n(1≤|a|,|b<10)》 关键要点： 结果需化为标准科学记数法(1≤a<10) 指数运算：mn,注意正负号 整式除法易错汇总 ①同底数幂除法：指数相减，杜绝变成相加 ②多项式除以单项式：每一项都要除，禁止只除第一项 ③系数相除注意正负，符号错误是高频失分点 ④除式不能为0，底数不为0 知识点06：乘除综合·黄金解题思路 1.混合运算顺序：先乘方→再乘除→巧用乘法公式→最后加减合并 2.能套公式绝不硬展开，简化计算量 3除法运算先定符号，再算系数与字母 4.求值题型：先化简、后代入，拒绝直接代值硬算 试卷第1页，共3页 ☆ 题型精析 题型01.运用平方差公式进行运算 【典例】若等式(3a+5b)(）=9a2-25b2成立，则括号内所填的代数式是() A.3a+5b B.-3a+5b C.3a-5b D.-3a-5b a b 【跟踪专练1】将4个数a,b,c,d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 d定 x-1x-1 =ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式，若 c d x-1x+1 =6,则x= 【跟踪专练2】能用平方差公式计算的是() A.(a-b-c(a-c-b) B.(a+b+c(a+c+b) C.(a-b+c)(b-a-c) D.(a-b+c(a+b-c) 题型02.平方差公式与几何图形 【典例】观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为() a a 6 a-b b 6 图1 图2 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2+2ab+b2=(a+b)2 【跟踪专练1】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b)(如图①）， 把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 的乘法公式是 试卷第1页，共3页 b 图① 图② 【跟踪专练2】如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的 面积差为10，则阴影部分的面积为() A.5 B.10 C.15 D.20 题型03.运用完全平方公式进行运算 【典例】若(x-1)2=2,则代数式x2-2x+5的值为 【跟踪专练1】下列各式中，计算正确的是() A.(2-x)2+x=x2-4 B.（x-1(x+2=x2-2 C.(x-12=x2-2x+1 D.（-x-22=x2-4x+4 【跟踪专练2】若a-b=3,,则(b-d-3b-c心+4 9 【跟踪专练3】已知：a=2000x+2001,b=2000x+2002,c=2000x+2003,则 a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为() A.0 B.2003 C.2002 D.3 题型04.完全平方公式与几何图形 【典例】观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： a ab 【跟踪专练1】我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积 来解释一些代数恒等式.例如图1可以用来解释(a-b)2=a2-2ab+b2,那么通过图2中阴 试卷第1页，共3页 影部分面积的计算可以验证的恒等式是() a 图1 图2 A.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a+b2-(a-b)2=4ab 【跟踪专练2】已知点C在线段AB上，现如图摆放以AC、BC为边的两张正方形卡片，若 AB=10,且两个正方形的面积之和为52，则阴影部分的面积是 【跟踪专练3】有两个正方形A,B,现将B放在A的内部如图甲，将A,B并排放置后构造新 的正方形如图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形A,B的边长之 和为() B 图甲 图乙 A.5 B.6 C.7 D.8 题型05.通过对完全平方公式变形求值 【典例】.若a+b=4,ab=3,则a-b等于() A.±4 B.4 C.2 D.±2 【跟踪专练1】若实数n满足(n-2026)2+(2025-n)2=2,则代数式(n-2026)(n-2025)= 【跟踪专练2】设实数x,y,z满足3x+y=4,2y+3z=2,则代数式3xy+2yz+xz的最大值 为() 试卷第1页，共3页 A.1 B.2 C.3 D.4 题型06.求完全平方式中的字母系数 【典例】一个完全平方式展开后的结果为x2-mxy+25y2,那么m的值是() A.±20 B.20 C.10 D.±10 【跟踪专练1】若x2+(2m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于 【跟踪专练2】下列单项式中，与整式4x2+1相加后不能组成某个整式的平方的是() A.4x B.4x C.-4x D.2x 题型07.单项式除以单项式运算 【典例】计算：-x2y3÷y=（) A.xy3 B.-y2 C.-x2y D.xy2 【跟踪专练1】小瑞同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一 个不全的题目.根据小瑞同学记录的内容（如图所示)，可得到缺失的单项式应该为· ·（-5xy)=10x3y 【跟踪专练2】下列计算正确的是() A.2a-3)3+2a=4a2-9 B.6ab2÷2a2b=3a3b C.3a2b+a÷a=3ab D.(a-22=a2-4 题型08.科学记数法表示数的除法 【典例】地球到太阳的平均距离约是1.5×10km,月球到地球的平均距离约为3.84×10km, 则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的 倍（结果保留整数）. 【跟踪专练1】已知光的传播速度为3×10米/秒，地球到预定轨道间的距离为3.93×10米， 则预定轨道处光传播到地球的时间为秒. 【跟踪专练2】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C 击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约2.75亿美元，一架歼-10C约5500万 美元，阵风战机价格是歼-10C的倍. 题型09.多项式除以单顶式 试卷第1页，共3页 【典例】李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式 如下：这个被捂住的多项式是() ∈×(-号y)=3y2+号y A.6x+2y-1B.-6x+2y-1 C.6x-2y+1 D.-6x-2y+1 【跟踪专练1】计算：30x2y-25xy2+5x)÷5x= 【跟踪专练2】一道除法运算题：（21xy-o+7x2y2)÷-7x2y)=o+5xy-y,其中被除式的第 二项被墨水弄污染了，商的第一项也被墨水弄污染了，则被墨水弄污染的内容是() A.35x2y2,-3x2y2 B.-35x3y2,3x2y2 C.-35x2y2,-3x3y2 D.35x3y2,-3x2y2 题型10.整式四则混合运算 【典例】如果4a2b-4ab2)÷M=-4a,那么M等于() A.ab-b B.a+ab2 C.-ab+b2 D.-b+a'b 【跟踪专练1】已知A是一个多项式，单项式B等于2x,某学生计算A÷B时，把A÷B误 写成A+B,结果得5x4-4x3+3x2,则A÷B的值为 【跟踪专练2】规定一种新运算：(a,b)O(c,d)=ad-bc.嘉嘉： (y,x+y)©(x,x-1)=-x2-y,琪琪：若(x+m,x-)O(2x-1,2x+1)的结果与x的取值无关， 则m的值为2.关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是() A.嘉嘉对，琪琪错 B.嘉嘉错，琪琪对C.两人都对D.两人 都错 题型11.整式的混合运算 【典例】已知3x-2y=5,则代数式6x+(x--(x2+y÷(-2x)的值为 【跟踪专练1】对于任意有理数a,b,现用“☆”定义一种运算：Q☆b=a2-b2,根据这个 定义，代数式(x+y)☆y可以化简为() A.xy+y2 B.xy-y2 C.x2+2xy D.x2 【跟踪专练2】若a2+a-2025=0,代数式(a2-2025)(a+1)的值是 试卷第1页，共3页 题型12.新定义运算 b 【典例】规定一种新运算为： =ad+b2+c2,例如： 12 =1×4+22+32=17.根据 34 此规定，解决下列问题： (2)若 kx y 的结果是一个关于x,y的完全平方式，则k的值为 x y m-n m (3)若 的值为2，则4m2-1的值为 -n m+n 【跟踪专练1】新定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的立方差，且m-n≥2， 则称这个正整数为“立方差友好数”例如：56=43-2,56就是一个立方差友好数.若将“立 方差友好数”从小到大排列，则第5个“立方差友好数”是；第28个“立方差友好数” 是一 【跟踪专练2】定义新运算符号⊕：m⊕n=m2n+n,求(2x⊕y÷y=· 【跟踪专练3】定义一种新运算：对于任意有理数a和b,都有a※b=a-b+a+b.下列 结论正确的是() ①若a※b=0,则a=b=0; ②对于任意有理数a和b,a※(b+c=a※b+a※c恒成立； ③a※-a=2a; ④若a,b异号，则a※b=2a或a※b=2b. A.①③ B.①② C.②③ D.①④ 解答题 1.先化简，再求值：[(2x+y)+(x+2)-(2x-y(2x+)]÷y,其中x=1,y=-1. 2.计算： (1)a2.a4+(-2a2)3-a8÷a2; 试卷第1页，共3页 of3小(4wy(g: (3)a-2b+ca+2b-c; +-(m+: 6先化简，再求值：[2x-y-(x+2x-川-3]÷子， 其中x=-1,y=3 3.计算或化简： +-那. (2)x3x3+-2x）-x’÷x; (3)a-b+4)(a-b-4): (4)(2x-12-x(x-4). 4.【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为(a+b)2=a2+2ab+b2. a a ab b1 ab 图① 图② ()【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 (2)【拓展应用】根据图②所得的公式，若a+b=10,ab=5,则a2+b2=一 (3)【学以致用】若x满足(8-x)(x-3)=4,求(8-x)2+(x-3的值 5,已知：多项式A=1+2x,整式B=1-2x,若A,B+M是关于x的一个完全平方式，请写 出一个满足条件的多项式M. 6.如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形a>b),把余下的部分剪拼 成一个矩形. 试卷第1页，共3页 ot" ()通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是 ；(请选择 正确的一个) A.a2-2ab+b2=(a-b)B.a'+ab=a(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.a2-b2=(a-b)2 (2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：已知x2-4y2=20,x+2y=5,求x-2y的 值。 (③)有同学利用所学知识，进一步探究发现以下的规律： (x-10(x+1=x2-1 (x-1(x2+x+1=x3-1 (x-10(x3+x2+x+1=x4-1 则：（x-1(x”+x-+…+x2+x+1= (4)利用你发现的规律：计算：22026+22025+22024+…+2+1= 试卷第1页，共3页