专题11多边形与圆复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年青岛版七年级数学下册

专题11多边形与圆复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记多边形、正多边形、对角线相关概念，掌握多边形内角和、外角和、对角线计算公式。 2.掌握圆的定义，分清圆心、半径、弦、弧、扇形等概念，理解点与圆的三种位置关系。 3.明确图形基础性质，区分易混淆几何概念。 1.会利用多边形公式进行角度、边数、对角线条数计算。 2.能准确识别圆的各部分图形，判断点和圆的位置关系。 3.培养图形观察、几何计算和简单逻辑推理能力。 1.熟练做对选择、填空基础概念题，基础题型零失误。 2.熟练掌握多边形角度计算、圆的概念辨析高频考题。 3.规避易错知识点，规范答题，应对单元检测与期末练习。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.正多边形概念辨析 题型03.多边形对角线的条数问题 题型04.对角线分成的三角形个数问题 题型05.多边形内角和问题 题型06.正多边形的内角问题 题型07.复杂图形的内角和 题型08.正多边形的外角问题 题型09.多边形内角和与外角和综合 题型10.多边形外角和的实际应用 题型11.圆的基本概念辨析 题型12.求圆中弦的条数 题型13.判断点与圆的位置关系 题型14.小圆绕图形滚动自动圈数 解答题6题 知识点01:多边形基础概念「精准定义 + 通俗理解」 1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 的整数）。 2.多边形的相关概念 3. 多边形的表示方法 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 1 的 1-1，五边形分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF。 4.多边形分类. 按边数分：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形……n 边形 按形状分：① 凸多边形：所有内角＜180°，对角线都在图形内部（考试主流）② 凹多边形：至少一个内角＞180°，有对角线在图形外部 知识点02:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 知识点03:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点04:圆的诞生「双重定义，透彻理解」 动态定义（最形象）在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心（决定圆的位置） 定长线段：半径（决定圆的大小） 静态定义（做题专用）平面内到 ** 定点（圆心）的距离等于定长（半径）** 的所有点的集合。 知识点05:圆的核心元素「名词一网打尽」 1. 基础三要素 圆心O：定位核心，用大写字母表示 半径r：圆心到圆上任意一点的线段 直径d：经过圆心的弦，d=2r，圆内最长线段 2. 弦、弧、扇形关键概念 弦：连接圆上任意两点的线段（直径是特殊的弦） 弧：圆上任意两点间的部分 ✅ 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示） ✅ 劣弧：小于半圆的弧（用两个字母表示） ✅ 半圆：等于 180° 的弧，既不是优弧也不是劣弧 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形 3. 特殊关系 同圆 / 等圆中：半径全部相等，直径全部相等 知识点06:点与圆的位置关系「数形结合，秒判断」 设圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d 点在圆内 ⇔d<r 点在圆上 ⇔d=r 点在圆外 ⇔d>r 解题技巧：比距离、比半径，大小关系定位置 题型01.多边形的概念与分类 【典例】下列图形属于多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的定义，逐一判断选项是否符合“平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形”这一条件，从而选出正确答案． 【详解】解：A选项：是一条线段，不是封闭图形，不属于多边形． B选项：是一个角，不是封闭图形，不属于多边形． C选项：是由线段首尾顺次相接组成的封闭图形，属于多边形． D选项：是由曲线围成的封闭图形，不属于多边形． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 题型02.正多边形概念辨析 【典例】下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 【跟踪专练2】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型03.多边形对角线的条数问题 【典例】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 【跟踪专练1】若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【答案】A 【分析】根据n边形中从一个顶点出发引出条对角线解答即可． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线， ∴由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形． 【跟踪专练2】过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 【答案】9 【分析】根据多边形的性质可知，过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，据此求出和的值即可求解． 【详解】解：由题可得：，， ∴． 题型04.对角线分成的三角形个数问题 【典例】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，利用n边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成个三角形的规律，列方程求解多边形的边数即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， ∵该多边形被分成4个三角形 ∴， 解得， ∴这个多边形是六边形， 故选：B． 【跟踪专练1】从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 【答案】八 【分析】本题考查多边形对角线的性质，掌握从边形的一个顶点出发的所有对角线将多边形分成个三角形的规律是解题关键，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，根据题意得 ， 移项得 ， ∴． 【跟踪专练2】观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 【跟踪专练3】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 题型05.多边形内角和问题 【典例】如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为___________． 【答案】 【分析】利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为． 【跟踪专练1】如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形内角和公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得出，，再利用翻折变换的性质得出，，进而求出的度数以及得出的度数． 【详解】解：∵，，，， ， ∵将沿翻折得， ， ， ． 【跟踪专练3】某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和判断出凸四边形、凸五边形和凸六边形直角的最多个数，从而确定出四边形中直角最多，再求剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形的边数，然后根据剩余的边数情况解答即可． 【详解】解：凸四边形最多有四个直角，凸五边形和凸六边形最多有三个直角， 剪出一个凸四边形，一个凸五边形，一个凸六边形共有15条边，最多有个直角， 剩下条边， 由于要直角尽可能多， 则都是凸四边形，且凸四边形四个角都是直角时，直角最多， 64条边组成16个凸四边形，共有64个直角， 所以直角的个数最多是． 题型06.正多边形的内角问题 【典例】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】边形的内角和公式：． 【详解】解：正八边形的内角和为， ∴正八边形的每一个内角的度数是． 【跟踪专练1】如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 【答案】135 【详解】解：． 【跟踪专练2】如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形外角的性质，可求得正五边形的每个内角为，进而求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知，正五边形的一个外角为， ∴正五边形的每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的内角的性质，熟练掌握正多边形的内角的性质是解决本题的关键． 根据正多边形的内角的性质解决此题． 【详解】解：正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正五边形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， 则． 故选：C． 题型07.复杂图形的内角和 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型08.正多边形的外角问题 【典例】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为的性质，已知每个外角的度数，用外角和除以单个外角的度数即可求出多边形边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都是，设边数为， ∴ 因此这个多边形的边数为9． 【跟踪专练1】已知一个正多边形其中一个外角为，则这个多边形的边数为______． 【答案】 【分析】任意多边形的外角和为正多边形的每个外角都相等，因此用外角和除以单个外角的度数，即可求出该正多边形的边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形为正多边形，其中一个外角为， ∴这个正多边形的边数为． 【跟踪专练2】如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：在五边形中，， ∴． 【跟踪专练3】图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 题型09.多边形内角和与外角和综合 【典例】一个多边形的边数增加1时，其外角和的变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．增加 D．增加 【答案】A 【分析】任意多边形的外角和是固定值，与边数无关，据此即可判断变化情况． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，不随边数的改变而改变， ∴当多边形的边数增加1时，其外角和保持不变． 【跟踪专练1】一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 【答案】7 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形的外角和为，结合多边形内角和公式，根据内角和与外角和的总和为列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得：， ∴多边形的边数是． 【跟踪专练2】一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 【跟踪专练3】题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【分析】首先根据题意表示出外面正多边形的内角，然后得到圆环里面是以为边的正多边形，然后表示出里面正多边形的边数，根据边数是正整数求解即可． 【详解】如图所示，    ∵正n边形也能围成环状， ∴， ∴， ∴由题意可得，圆环里面是以为边的正多边形， ∴这个正多边形的外角为， ∴这个正多边形的边数为， ∴是正整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上所述，其他所有n的可能的值为6，8，12． 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的内角和外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于360°． 题型10.多边形外角和的实际应用 【典例】一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，与多边形的边数无关， ∴正二十四边形的外角和为． 【跟踪专练1】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于_____． 【答案】/260度 【分析】直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用除以，求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度求得所需时间即可． 【详解】解：∵， ∴所走的路程是：， 则所用时间是：． 题型11.圆的基本概念辨析 【典例】已知的直径为，是中最长的弦，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中的弦，圆中最长的弦是直径，理解直径的性质是解题的关键．圆中最长的弦是直径，以此回答即可． 【详解】∵是中最长的弦， 是的直径， 的直径为8cm， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【分析】本题主要考查了圆的定义和性质，解题的关键是掌握圆的定义和性质． 根据圆的定义和性质进行解答即可． 【详解】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； 故答案为：②③． 题型12.求圆中弦的条数 【典例】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 题型13.判断点与圆的位置关系 【典例】若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即可求出m的取值范围． 【详解】解：的半径为5，，且点P在外， ，即． 【跟踪专练1】若的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．点P在圆内或圆上 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握点与圆位置关系的判定方法，即比较点到圆心的距离与圆半径的大小． 根据点与圆的位置关系的知识，然后即可求解． 【详解】解：∵的半径为3，点到圆心O的距离为2，且， ∴点P在圆内， 故选：C． 44．【跟踪专练1】在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为___________． 【答案】． 【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上，得到此半径为5，再根据和相交，得到的半径长的范围即可； 【详解】解：在矩形中， ∴ ∵点A在上， ∴的半径为5， ∵如果与相交， ∴的半径r满足， ∵点B在内， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意． 45．【跟踪专练1】如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】首先构造以OB为边的等边△，再证明，证明AO=O’P，因为OA的长度不变，所以动点A在以O为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P的长度不变，O’不动，所以动点P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P共线时，OP最大，即可求得． 【详解】如图，以OB为边作等边，连接O’P， ∴OB=O’B, ∵△PAB为等边三角形， ∴AB=BP,∠1+∠2==60°, ∴∠1=∠3， 在△OBA和中 ∴ ∴OA=O’P， 点A在以O为圆心，半径的1的圆上运动，P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动， 当O,O’,P三点共线时，OP最大， 此时OP, 故选：B． 【点睛】本题考查构造手拉手全等三角形和求线段最大值，通过构造全等发现动点在圆上运动，进而求得线段最值，通过构造手拉手全等是解题关键． 题型14.小圆绕图形滚动自动圈数 46．【跟踪专练1】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 47．【跟踪专练1】圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由见解析 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4）解：该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈， 而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 【解答题】 1．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，再求出，即可求解； （2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的定义得到， 即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图，将正六边形的边与正五边形的边在同一直线上，点为公共顶点．试求出的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，三角形内角和，先求出正五边形和正六边形的一个内角和一个外角的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后求出结果即可． 【详解】解：正五边形的内角和：， ， 正五边形的外角：， 正六边形的内角和： 正六边形的外角：， ， ． 3．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了64米 (2) 【分析】本题主要考查正多边形的内角和及外角，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键； （1）根据题意可知这个正多边形的外角为，然后可得该正多边形的边数为，进而问题可求解； （2）由（1）结合多边形的内角和公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这个正多边形的外角为， ∴该正多边形的边数为， ∴； 答：小明一共走了64米． （2）解：由（1）可知： 这个正多边形的内角和为． 4．亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 【答案】(1)能 (2)正八边形 (3)（2）中图形的周长为160米 【分析】（1）利用，能整除即可求解． （2）由（1）得亮亮走8次即可回到M点，进而可求解． （3）利用周长公式即可求解． 【详解】（1）解：， 则亮亮能回到M点， 故答案为：能． （2）由（1）得：小亮走8次即可回到M点，每次都前进20米， 则亮亮走过的路线围成了正八边形， 故答案为：正八边形． （3）由（2）得，路线围成的图形为：正八边形，且边长为20米， 则（米）， 则（2）中图形的周长为160米． 【点睛】本题考查了多边形的外角和的应用，熟练掌握正多边形的外角和为是解题的关键． 5．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握相关知识点并看懂图形中的等量关系是解题的关键．根据图形可知，大圆的直径＋小圆的直径＝长方形的长，大圆的直径等于长方形的宽，用长方形的长－长方形的宽，求出小圆的直径，再除以2，即可求出小圆的半径，据此解答． 【详解】 （厘米） 答：小圆的半径是1厘米． 6．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11多边形与圆复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记多边形、正多边形、对角线相关概念，掌握多边形内角和、外角和、对角线计算公式。 2.掌握圆的定义，分清圆心、半径、弦、弧、扇形等概念，理解点与圆的三种位置关系。 3.明确图形基础性质，区分易混淆几何概念。 1.会利用多边形公式进行角度、边数、对角线条数计算。 2.能准确识别圆的各部分图形，判断点和圆的位置关系。 3.培养图形观察、几何计算和简单逻辑推理能力。 1.熟练做对选择、填空基础概念题，基础题型零失误。 2.熟练掌握多边形角度计算、圆的概念辨析高频考题。 3.规避易错知识点，规范答题，应对单元检测与期末练习。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.正多边形概念辨析 题型03.多边形对角线的条数问题 题型04.对角线分成的三角形个数问题 题型05.多边形内角和问题 题型06.正多边形的内角问题 题型07.复杂图形的内角和 题型08.正多边形的外角问题 题型09.多边形内角和与外角和综合 题型10.多边形外角和的实际应用 题型11.圆的基本概念辨析 题型12.求圆中弦的条数 题型13.判断点与圆的位置关系 题型14.小圆绕图形滚动自动圈数 解答题6题 知识点01:多边形基础概念「精准定义 + 通俗理解」 1.多边形的定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形（n 为不小于 3 的整数）。 2.多边形的相关概念 3. 多边形的表示方法 多边形一般根据边数和各个顶点的字母顺次排列来表示，如图 1 的 1-1，五边形分别表示为四边形 ABCD、五边形 ABCDE、六边形 ABCDEF。 4.多边形分类. 按边数分：三角形（3 边）、四边形（4 边）、五边形……n 边形 按形状分：① 凸多边形：所有内角＜180°，对角线都在图形内部（考试主流）② 凹多边形：至少一个内角＞180°，有对角线在图形外部 知识点02:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 知识点03:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 知识点04:圆的诞生「双重定义，透彻理解」 动态定义（最形象）在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心（决定圆的位置） 定长线段：半径（决定圆的大小） 静态定义（做题专用）平面内到 ** 定点（圆心）的距离等于定长（半径）** 的所有点的集合。 知识点05:圆的核心元素「名词一网打尽」 1. 基础三要素 圆心O：定位核心，用大写字母表示 半径r：圆心到圆上任意一点的线段 直径d：经过圆心的弦，d=2r，圆内最长线段 2. 弦、弧、扇形关键概念 弦：连接圆上任意两点的线段（直径是特殊的弦） 弧：圆上任意两点间的部分 ✅ 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示） ✅ 劣弧：小于半圆的弧（用两个字母表示） ✅ 半圆：等于 180° 的弧，既不是优弧也不是劣弧 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形 3. 特殊关系 同圆 / 等圆中：半径全部相等，直径全部相等 知识点06:点与圆的位置关系「数形结合，秒判断」 设圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d 点在圆内 ⇔d<r 点在圆上 ⇔d=r 点在圆外 ⇔d>r 解题技巧：比距离、比半径，大小关系定位置 题型01.多边形的概念与分类 【典例】下列图形属于多边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【跟踪专练2】下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02.正多边形概念辨析 【典例】下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【跟踪专练2】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型03.多边形对角线的条数问题 【典例】如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【跟踪专练1】若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【跟踪专练2】过八边形的一个顶点可以引条对角线，这些对角线将八边形分成个三角形，则的值为_____． 题型04.对角线分成的三角形个数问题 【典例】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【跟踪专练1】从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将其分成6个三角形，则这是________边形． 【跟踪专练2】观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 题型05.多边形内角和问题 【典例】如图，始建于明朝的道韵楼是中国最大的八卦形土楼，八卦土楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型，则八边形的内角和为___________． 【跟踪专练1】如图，五边形中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形中，点M、N分别在、上，将沿翻折，得，若，，，，则的度数为 _______． 【跟踪专练3】某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出多边形的边数之和为79，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是（   ） A．66 B．70 C．74 D．78 题型06.正多边形的内角问题 【典例】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．一个正八边形窗户的示意图如图所示，这个正八边形的每一个内角的度数是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 【跟踪专练2】如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 题型07.复杂图形的内角和 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 题型08.正多边形的外角问题 【典例】一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【跟踪专练1】已知一个正多边形其中一个外角为，则这个多边形的边数为______． 【跟踪专练2】如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 题型09.多边形内角和与外角和综合 【典例】一个多边形的边数增加1时，其外角和的变化情况为（   ） A．不变 B．增加 C．增加 D．增加 【跟踪专练1】一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 【跟踪专练2】一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 题型10.多边形外角和的实际应用 【典例】一个正二十四边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于_____． 【跟踪专练2】一机器人以的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为（   ） A． B． C． D． 题型11.圆的基本概念辨析 【典例】已知的直径为，是中最长的弦，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 【跟踪专练2】《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 题型12.求圆中弦的条数 【典例】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【跟踪专练1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 题型13.判断点与圆的位置关系 【典例】若的半径为5，，且点P在外，则m的取值范围为________ ． 【跟踪专练1】若的半径为3，点P到圆心O的距离为2，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．点P在圆内或圆上 44．【跟踪专练1】在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为___________． 45．【跟踪专练1】如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（    ） A． B．4 C． D． 题型14.小圆绕图形滚动自动圈数 46．【跟踪专练1】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 47．【跟踪专练1】圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【解答题】 1．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 2．如图，将正六边形的边与正五边形的边在同一直线上，点为公共顶点．试求出的度数． 3．如图，小明从点A出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 4．亮亮从点M出发，前进20米后向左转，再前进20米后又向左转，按照这样的方式一直走下去．    (1)亮亮______（填“能”或“不能”）回到M点； (2)亮亮走过的路线围成了______；（填详细图形名称） (3)求（2）中图形的周长． 5．将两个大小不同的圆摆放在一个长方形中（如图所示），小圆的半径是多少厘米？ 6．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $