7.3.1离散型随机变量的均值 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1离散型随机变量的均值 温州科技高级中学 张明 问题导学 1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ 把环数看成随机变量的概率分布列： X 1 2 3 4 P 权数 加权平均 新课引入 探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为： 甲n次射箭射中的平均环数 问题探究 当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于： 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一、离散型随机变量取值的平均值. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 概念解析 例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平. 解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 典例解析 一般地，如果随机变量X服从两点分布， 那么： X 1 0 P p 1-p 例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. 解：X的分布列为𝑷(X=k)= ,k=1,2,3,4,5,6 因此,E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5. 分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。 典例解析 X 1 2 3 4 5 6 P 问题探究 探究2. 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示. 设都是实数且，则Y + 也是一个随机变量，那么，这两个随机变量的均值之间有什么联系呢？ X … … P … … 有的同学觉得(i=1,2,3,4,5,6)。如果你掷出骰子是数字X=2，你就得Y=Xa+b元=2a+b元。 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 学习新知 例3:猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 典例解析 X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 𝑋的均值为E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336. 解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立 𝑃(𝑋=0)=𝑃()=0.2, 𝑃(𝑋=1000)=𝑃(A)=0.8×0.4=0.32, 𝑃(𝑋=3000)=𝑃(𝐴𝐵)=0.8×0.6×0.6=0.288, 𝑃(𝑋=6000)=𝑃(𝐴𝐵𝐶)=0.8×0.6×0.4=0.192. X的分布列如下表所示： X 0 1000 4000 6000 P 0.2 0.48 0.128 0.192 解：如果按ACB的顺序来猜歌,分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件， A,B,C相互独立; 𝑃(𝑋=0)=𝑃()=0.2, 𝑃(𝑋=1000)=𝑃(A)=0.8×0.4=0.32, 𝑃(𝑋=3000)=𝑃(𝐴C)=0.8×0.4×0.4=0.128, 𝑃(𝑋=6000)=𝑃(𝐴CB)=0.8×0.4×0.6=0.192. X的分布列如下表所示： 思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大 猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元 ABC 2336 BCA 2112 ACB 2144 CAB 1904 BAC 2256 CBA 1872 例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 工地的领导该如何决策呢? 典例解析 分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示： 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。 解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3. 采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1. 采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时, 总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99. 采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74. 于是,E(X1)=3800, E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600, E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100. 因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2. 值得注意的是,上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的,一般地,我们可以这样来理解“期望总损失”:如果问题中的天气状况多次发生,那么采用方案2将会使总损失减到最小,不过,因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的,所以对于个别的一次决策,采用方案2也不一定是最好的. 解题反思 课堂小结 20 1．求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定离散型随机变量X的取值； (2)写出分布列，并检查分布列的正确与否； (3)根据公式写出均值． 2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布，可直接利用公式计算均值． $