6.2.2排列数3课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2排列数3 温州科技高级中学 | 张明 1.7.2013 大家好，今天我们继续学习排列数的相关知识。本节课是6.2.2小节的第三部分，我们将深入探讨排列问题中的一些高级技巧和解题策略。希望通过本节课的学习，大家能对计数原理有更深刻的理解，并能灵活运用到实际问题中。 ‹#› 分类加法计数原理 计数原理基础回顾 完成一件事有n类不同的方案， 在第1类方案中有m₁种不同的方法， 在第2类方案中有m₂种不同的方法， … … 在第n类方案中有mₙ种不同的方法， 那么完成这件事共有N = m₁ + m₂ + … + mₙ种不同的方法。 1.7.2013 首先，我们来回顾一下分类加法计数原理。这个原理的核心思想是“分类完成，类类相加”。也就是说，如果完成一件事有多种不同的途径，每一种途径都能独立完成这件事，那么总的方法数就是把每一类途径中的方法数加起来。大家要记住这个关键点：每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事。 ‹#› 分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m₁种不同的方法， 做第2步有m₂种不同的方法， … … 做第 n 步有mₙ种不同的方法， 那么完成这件事共有N = m₁ × m₂ × … × mₙ种不同的方法。 1.7.2013 接下来是分步乘法计数原理。它的核心是“分步完成，步步相乘”。与加法原理不同，这里完成一件事需要分成多个步骤，只有依次完成所有步骤，才能完成整件事。每一步的方法数相乘，得到的就是完成这件事的总方法数。这里的关键是：每一步的方法都不能独立完成整件事，必须步步相依。 ‹#› 两个计数原理 比较维度 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 不同点 分类完成 · 类类相加 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事，各类方法间相互排斥。 分步完成 · 步步相乘 需要依次完成每一步才算完成这件事；单独的每一步无法独立完成整个任务。 注意点 类类独立，确保不重不漏 步步相依，确保步骤完整 💡 核心思路：第一步明确“做什么事”，第二步分析“怎么做”（分类还是分步）” 1.7.2013 为了更清晰地理解这两个原理，我们把它们放在一起对比。大家看这个表格，相同点是它们都用来计算完成一件事的方法数。不同点在于，加法原理是分类，各类方法相互独立；而乘法原理是分步，各步骤相互依存。解题时的核心思路是先明确“做什么事”，再分析“怎么做”，是分类还是分步，从而选择正确的原理。 ‹#› 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 （第一步: 做什么事） 如何完成这件事 （第二步: 怎么做?） → 利用加法原理进行计数 方法的分类 过程的分步 → 利用乘法原理进行计数 1.7.2013 这张图展示了解答计数问题的一般思维流程。第一步，我们要明确我们要“完成一件什么事”，也就是确定目标。第二步，思考“如何完成这件事”，这时候就要判断是需要分类还是分步。如果是分类，就用加法原理；如果是分步，就用乘法原理。这个流程能帮助我们理清思路，找到正确的解题方法。 ‹#› 课堂总结 同学们，怎么做千奇百态；做什么简单明白。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。有人说：“教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以不管是当国家领导人、校长还是普通老师，只要他是幸福的、完整的人，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力地寻找此事该如何做，且也努力地完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书、再写写书，然后开创一个教学流派。希望大家也能找到自己的热爱，并为之全力以赴。 1.7.2013 课程最后，我想和大家分享一些感悟。学习数学，尤其是计数原理，教会我们的不仅是解题技巧，更是一种思维方式。就像人生一样，我们首先要明确“做什么”，也就是人生目标，然后思考“怎么做”，也就是实现目标的路径。希望大家不仅能掌握知识，更能从中领悟到如何规划自己的人生，找到自己的使命，并为之努力。 ‹#› 引 入 我们知道第一步做什么事很容易知道，第二步怎么做很难知道。于是数学家研究事情该怎么做，发现许多事情有相同的做法，即这许多事情有着共同的模型。我们只要研究出这个共同的模型，当我们分析出怎么做时只需把这个模型套用一下就行。 1.7.2013 在正式开始今天的新课之前，我们先来思考一个问题。在解决问题时，我们往往很容易明确目标，也就是“做什么”，但具体“怎么做”却常常让我们感到困惑。数学家们发现，很多看似不同的问题背后，其实有着共同的数学模型。今天，我们就来学习这样一种重要的模型——排列。掌握了它，很多计数问题就能迎刃而解。 ‹#› 复习引入 1、排列的定义： 从n个不同元素中，任取个元素（个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2.排列数的定义： 从n个不同元素中，任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数. 3.全排列的定义： 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列. 4.有关公式： （1）阶乘:n!=1×2×3×…×(n-1)n （2）排列数公式: =n(n-1)×…×(n-m+1) （3）全排列数公式： = n×(n-1)×…×2×1 = n! 1.7.2013 好，我们先来复习一下上节课学习的几个核心概念。首先是排列的定义，大家要注意，排列最重要的特点是“按照一定的顺序排成一列”，顺序是关键；然后是排列数，它指的是所有可能的排列的总个数，是一个数值；还有全排列，顾名思义，就是把所有的元素都取出来进行排列。大家要牢记排列数的计算公式，特别是阶乘的运用，这是我们解决后续排列组合问题的数学基础。 ‹#› 例题讲评 💡 对于“相邻问题”，常用“捆绑法” 【例1】有 4 个男生和 3 个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？ (1)三个女生排在一起； (2)三个女生两两都不相邻； 🔑 【捆绑法】 核心思路 当题目要求某几个元素必须排在一起时，使用“捆绑法”。 第一步：把要求相邻的元素“捆”起来，视为一个整体。 第二步：把这个“大元素”和其他元素一起进行全排列。 注意：别忘了“捆绑”在一起的内部元素也需要排列！ (2)对于“不相邻问题”，常用“插空法” 先4个男生排好，共 🔑 【插空法】 核心思路 当题目要求元素之间两两不相邻时，使用“插空法”。 第一步：先将没有“不相邻”限制的元素（如男生）进行全排列。 第二步：将要求不相邻的元素（如女生），插入到上一步排列所形成的“空隙”（包括两端）中。 解：（1）对于相邻问题，常用“捆绑法”。三个女生捆绑在一起，与4个男生全排列，故排法： 1.7.2013 接下来我们看例题。这是一个非常经典的排列问题，包含了两种重要的解题策略。 第一问，“三个女生排在一起”，这是典型的“相邻问题”，我们用“捆绑法”。把三个女生看成一个整体，和4个男生一起排列，然后再考虑女生内部的排列顺序。 第二问，“三个女生两两都不相邻”，这是“不相邻问题”，我们用“插空法”。先排男生，再把女生插入到男生形成的空隙中。 ‹#› 小集团问题先局部后整体策略 例题讲评 例2. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中有且只有两个偶数夹1，5这两个奇数之间，这样的五位数有多少个？ 解：把 1，5，2，4 当作一个“小集团”，小集团内部排队共有2×2 = 8种排法；再把这个小集团看作一个整体，与剩下的数字3进行排列，共有2! = 2种排法。由分步乘法计数原理，满足条件的五位数共有8 × 2 = 16个。 【小集团】 1, 2, 4, 5 + 【剩余数字】 3 💡 解题策略：小集团排列问题的核心是“先局部，后整体”。 先把相邻的特殊元素“捆绑”在一起，当作一个整体计算内部的排列数；再将这个整体与其他元素一起计算外部的总排列数，最后相乘。 1.7.2013 我们再来看例2，这是一个典型的“小集团问题”，也常被称为“捆绑法”的应用。 题目要求“有且只有两个偶数夹在1和5之间”，这是一个非常关键的限制条件。我们可以把“1、5、2、4”这四个数字看作一个“小集团”。这是因为2和4必须夹在1和5之间，它们的位置是相互制约的，不能随意分开。 解题的核心思路是“先处理内部，再处理外部”： 第一步，处理小集团内部的顺序。因为要求两个偶数夹在1和5之间，我们可以先排1和5，有2种排法（1在左5在右，或5在左1在右）；然后在中间插入2和4，这两个偶数也有2种排法。所以小集团内部的排法总数是2乘2等于8种。 第二步，把排好序的“小集团”看作一个整体，和剩下的数字“3”进行全排列。这时候就相当于有两个元素在排队，所以有2乘1等于2种排法。 最后，根据分步乘法计数原理，将这两步的结果相乘，8乘2等于16。所以，满足条件的五位数总共有16个。 大家记住，当遇到某些元素必须相邻、或者必须按特定顺序出现的问题时，优先考虑把它们“捆绑”成一个小集团，先算内部，再算整体，这样逻辑就非常清晰了。 ‹#› 例题讲评 多排问题直排策略 例3. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？ 解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排考虑。 第一步：排前排特殊元素（甲乙） 前4个位置中选2个排甲乙，有种排法 第二步：排后排特殊元素（丁） 后4个位置中选1个排丁，有种排法 第三步：排剩余5人 剩下5人在剩余5个位置全排，有种排法 前排 (4个位置) 位置 ① ② ③ ④ （安排：甲、乙） 转化为：一排 (8个位置) ①②③④ | ⑤⑥⑦⑧ 不分前后，整体考虑 后排 (4个位置) 位置 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ （安排：丁） 由分步乘法计数原理，总排法数 = = 5760种 前排 后排 1.7.2013 例3是一个“多排问题”。对于这类问题，我们可以采用“直排策略”，把它转化成我们熟悉的单排问题来解决。把前后两排的8个位置想象成一排的8把椅子，然后分步处理：先排前排的特殊元素甲乙，再排后排的特殊元素丁，最后排剩下的5个人。这样问题就简化了。记住这个策略：多排问题，直排处理。 ‹#› 巩固练习 COMBINATORICS EXERCISES 01.由1,2,3,4,5,6,7排成一个七位数，若要求奇偶数间隔排列，则不同的排法数有多少种？（D) A. 2880 B. 1152 C. 48 D. 144 02.今有10幅画将要被展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画。现将它们排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，且水彩画不放在两端。则不同的排列方式有多少种？ 答案：5760 03.一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，要求恰好有五个连续空位，请问共有多少种不同的坐法？（请用数字作答480） 提示：先安排人，再将空位视为整体插入空隙中。 1.7.2013 大家好，我们来看这几道巩固练习题。第一题是关于数字排列的，要求奇偶数间隔，需要仔细考虑排列的规则。第二题涉及到画展的排列，注意“同一品种必须连在一起”和“水彩画不放两端”这两个关键条件。第三题是座位排列问题，关键在于处理“五个连续空位”的情况。请大家动手算一算。 ‹#› 巩固练习 排列组合 · 进阶篇 COMBINATORICS 1. 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ ① 乙、丙坐前排：总安排数 5 × 24 × 24 =2880种| ② 乙、丙坐后排：总安排数 10 × 24 × 24 =5760种 2. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为多少？ 思路：“捆绑”与“插空”结合。 答案：20种 3. 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，不同的排法共有多少种？(C) A.30种 | B.360种 |C.720种 | D.1440种 解题思路：一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。 1.7.2013 接下来看这几道题。第一题是典型的分步乘法计数原理应用，需要分情况讨论乙和丙的位置。第二题是排列组合中的“捆绑法”和“插空法”的综合应用。第三题看似分两排，其实可以转化为一排问题来解决。正如底部的结论所说，多排问题通常可以归结为一排来考虑，这是一个重要的解题思路。 ‹#› 巩固练习 Consolidation • 排列组合经典题型 • 分类讨论与分步计算 • 捆绑法与插空法应用 01.若直线 Ax+By+C=0 的系数 A,B,C 可以从 0,1,2,3,6,7 这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是 (A) A. 18 B. 20 C. 12 D. 22 02.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书一本，若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的放法种数是 (B) A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 03.有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆法种数是 (B) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 1.7.2013 我们来看最后几道题。第一题是关于直线方程系数的排列问题，要特别注意系数为0的特殊情况，避免重复计算。第二题和第三题都是排列组合中的经典题型，涉及到“相邻”和“不相邻”的限制条件，通常分别使用“捆绑法”和“插空法”来解决。大家在解题时要理清思路，分步进行。 ‹#› 1. 对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: (1) 某些元素不能在或必须排列在某一位置； (2) 某些元素要求连排（即必须相邻）； (3) 某些元素要求分离（即不能相邻）； 2. 基本的解题方法： （1）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素、特殊位置优先安排策略 课堂小结 （2）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略 （3）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略 （4）元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。 （5）小集团排列问题中，先局部后整体，再结合其它策略进行处理。 1.7.2013 最后，我们来总结一下今天学习的内容。对于有约束条件的排列问题，我们主要掌握了几种常见类型和对应的解题方法：对于特殊元素或位置，用“优先法”；对于相邻问题，用“捆绑法”；对于不相邻问题，用“插空法”；对于多排问题，用“直排法”；对于小集团问题，要“先局部后整体”。希望大家能熟练掌握这些方法，并能根据具体问题灵活选用。 ‹#› $