精品解析：陕西神木市第四中学2025-2026学年高三下学期适应性演练数学试卷

保密★启用前 神木四中2026届高考适应性演练试题 （数学） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间为120分钟.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为． 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先化简可得，再利用复数除法运算法则求出，结合复数的几何意义即可判断． 【详解】解：， ， 则在复平面内对应的点为，位于第一象限． 3. 若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数单调性及一元二次不等式解法化简命题，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，解得，则， 由，得或，则或， 所以是的充分不必要条件. 4. 下图某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．设阴离子圆的直径均为，且相邻的圆都相切，是其中四个圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取向量基底，利用平面向量基本定理以及向量数量积分析求解即可. 【详解】如图所示，建立以为一组基底的基向量， 其中且的夹角为， 所以， . 5. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 6. 设抛物线的焦点为F，不经过F的直线与E交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，且与的面积之比是，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 7. 已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可. 【详解】由题意知，，所以，，即， 又，所以，所以. 选项A：最小正周期，A正确. 选项B：对称轴应满足，，解得，. 故不存在，使得，B错误. 选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确. 选项D：当时，. 又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误. 故选：AC. 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】ACD 【解析】 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D正确. 11. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 【答案】AD 【解析】 【详解】如图： 对A：设平面交棱于点，连接，. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 同理，所以四边形为平行四边形，即截面是平行四边形，故A正确； 对B：因为，，所以，. 又和中，，，. 所以，所以，. 连接，，则， 且， ， ， 所以，又，所以，所以，故B错误； 对C：假设存在点，使得截面为长方形. 设，则，. 由， 即或. 这与矛盾，所以假设错误.故不存在点，使得截面为长方形.即C错误； 对D：设，，则，， 在中，由余弦定理，， 所以. 所以. 所以截面四边形的面积为， 所以当时，截面的面积最小，为.故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______. 【答案】8 【解析】 【详解】展开式中项是从四个因式中任取三个因式中的项，与余下一个因式的常数项相乘，所得各项的和， 所以的系数为. 13. 设是等腰三角形，，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为____． 【答案】. 【解析】 【详解】由题意2c=|AB|，所以 由双曲线的定义，有 . 故答案为. 14. 若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______. 【答案】9 【解析】 【分析】求出函数的导数，按和分类讨论确定零点情况，进而求出值，再求出函数在上的最值即可. 【详解】函数，求导得， 而，当时，，函数在上单调递增， 则，函数在上没有零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，又在上有且只有一个零点， 则必有，即，解得， 所以，， 当时，由，得或；由，得， 因此在和上单调递增，在上单调递减， 又，则，， 所以函数在上的最大值与最小值的差为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下： 类别 科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 （1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； （2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 16. 已知椭圆的离心率，以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形面积为4. （1）求椭圆C的方程； （2）设A为椭圆C的上顶点，P为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点P的坐标. 【答案】（1） （2），坐标为或 【解析】 【分析】（1）由面积公式和离心率公式，解得，可得椭圆方程； （2）设出点坐标，将表示成关于纵坐标的二次函数，从而求解. 【小问1详解】 以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为 ，即. 由，得 ， 则，即，代入，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可设，且满足， 即，，而上顶点， 则 ，. 所以当时，， 所以的最大值为. 此时，， 所以点坐标为或. 17. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． 【小问2详解】 解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，，，.将沿翻折至，使得二面角为直二面角. （1）证明：平面； （2）若P，B，C，D在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即 取，得平面的一个法向量为. 设平面与平面所成角为， 则. 所以平面与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】(1)代入求出切点坐标，对函数求导得到切线斜率，利用点斜式求出切线方程并化简 (2)化简不等式分离参数，求导分析其单调性，找到最大值即为的下界 (3)化简表达式，求导确定单调区间，计算特殊点函数值及极限，利用零点存在定理判断零点分布 【小问1详解】 解：，，即切点为； ，，利用点斜式可得切线方程为. 【小问2详解】 解：由恒成立，得，化简得： ， 即，即 设，，令，解得， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以在处取极大值，，故. 【小问3详解】 证：设，当时，，， 则，，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，， 所以存在唯一的使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，，且在处取得极大值， 因为，所以，； 因此，在和各有一个零点， 所以函数在有且只有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 神木四中2026届高考适应性演练试题 （数学） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间为120分钟.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下图某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．设阴离子圆的直径均为，且相邻的圆都相切，是其中四个圆的圆心，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为F，不经过F的直线与E交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，且与的面积之比是，则为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 11. 如图，在长方体中，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ） A. 截面是平行四边形 B. 若，则 C. 存在点，使得截面为长方形 D. 截面的面积存在最小值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为______. 13. 设是等腰三角形，，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为____． 14. 若函数在上有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的差为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下： 类别 科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 （1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； （2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 16. 已知椭圆的离心率，以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形面积为4. （1）求椭圆C的方程； （2）设A为椭圆C的上顶点，P为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点P的坐标. 17. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 18. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，，，.将沿翻折至，使得二面角为直二面角. （1）证明：平面； （2）若P，B，C，D在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面的夹角的正弦值. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，恒成立，求的取值范围； （3）当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $