精品解析：陕西榆林市神木市第四中学2025-2026学年高三下学期第一次检测考试数学试题

2025-2026学年高三下学期第一次检测考试数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，解得或， 所以或， 而或， 所以或. 2. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可. 【详解】因为，则， 左右两边平方得，计算得， 又因为， 所以， 所以. 故选：D. 3. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1或6 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算. 【详解】由题意可得：且，则. 故选：D. 4. 已知函数是定义域为的奇函数，又是以为周期的周期函数，在上的图象是如图所示的线段，那么对于函数，下列结论正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由图象可知， 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 因为是以为周期的周期函数， 所以，， 所以，故A错误； 对于B，当时，若， 则，这与矛盾，故B错误； 对于C，当时，由题意可知，函数， 当时，，所以， 因为是以为周期的周期函数， 所以，故C正确； 对于D，当时，若， 则，这与矛盾，故D错误. 5. 若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在由圆锥的母线长，高和底面半径构成直角三角形中，由勾股定理先求出，再利用圆锥的侧面积公式计算即可. 【详解】圆锥的母线长，高和底面半径构成直角三角形， 由勾股定理可知， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 6. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过赋值法，分别令，，，进而可求解. 【详解】对于， 令，可得. 令，可得①， 令，可得②， ①+②得， 即1. 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，椭圆长轴长，取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，由相似三角形求得，从而可解离心率. 【详解】如图， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，于点O，过点A作平面截该圆锥， 不妨设，则，， 所以椭圆长轴长， 取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F， 连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长， 由椭圆的对称性可知，取BQ的中点N，连接MN， 则，，， 因此，即， 显然Q，N是线段AB的两个三等分点，即，， 由相交弦定理得，解得， 于是，， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：取线段AM的中点，连接并延长交AB于点Q，过Q作交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长，构建相似三角形求解. 8. 若数列满足，，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的最大值是（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】分析斐波那契数列的奇偶性，得到数列的通项公式，再根据前的和求即可. 【详解】已知斐波那契递推关系，对的指数化简： ， 因此，由于平方不改变数的奇偶性， 故，即， 斐波那契数列的奇偶性以3为周期循环：奇、奇、偶，即： (奇)， (奇)， (偶)， (奇)， (奇)， (偶)...以此类推， 写出前12项并累加求和： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 0 -1 -2 -1 -2 -3 -2 -3 -4 -3 -4 依题意，的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD. 【详解】， 对于A：，即是奇函数，故A正确； 对于B：的最小正周期是，故B错误； 对于C：令，当时，图象的对称中心是，故C正确； 对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误； 故选：AC 10. 某工厂有3个生产车间加工同一型号的零件，已知第1，2，3号车间加工的零件数之比为.在某次产品抽检中，1号车间的合格率为80%，2号车间的合格率为70%，3号车间的合格率为75%，从该工厂随机抽取一个零件.记事件“该零件合格”，事件“该零件由号车间加工”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率最大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合互斥事件的概率加法，以及条件概率的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 可得， 则，所以A正确； 由，则，所以与相互独立， 所以B错误； 因为，所以， 所以，所以C正确； 由题意这次零件抽检中，1号、2号、3号车间生产零件合格数之比为， 所以从这次抽检的合格零件中随机抽取一个， 则该零件来自1号车间的概率为， 该零件来自2号车间的概率为， 该零件来自3号车间的概率为， 所以该零件来自3号车间的概率最大，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间有5个零点 D. 关于对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到周期，可求函数值. 【详解】对A：因为函数是定义在上的奇函数，所以，. 又对任意实数，恒有成立，所以， 所以，即，故A正确； 对B：由，根据可得：， 由，根据可得：，. 所以， 又，所以. 所以，故B正确； 对C：由B可知，函数在上的零点有：共7个，故C错误； 对D：因为且，所以，所以函数的图象关于点中心对称，没有足够的理由说明的图象关于轴对称，故D错误. 故选：AB 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】当，求所在区间，由上恰有一个极值点，求的取值范围. 【详解】函数在上恰有一个极值点， 显然不合题意. 若，当，，函数在上恰有一个极值点， 则有，解得； 若，当，，函数在上恰有一个极值点， 则有，解得. 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，连接，利用余弦定理与勾股定理可证得，结合线面垂直判定定理得平面，则用等体积法即可得此三棱锥的体积. 【详解】如下图：过作于，连接， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得：， 则，于是，故， 又平面，所以平面， 故此三棱锥的体积为. 故答案为：. 14. 已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，距离公式求得，再求得原点到直线l的距离可得三角形面积，从而得最小值． 【详解】抛物线C的方程为， 由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为， 由，得，则，即， ∴，， 则，解得， 直线方程为，恒过定点， ， 到直线的距离为， ∴， ∴时，为最小值， 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为. （1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率； （2）乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）分布列见详解，3 【解析】 【分析】（1）根据题意结合二项分布运算求解； （2）根据题意结合独立事件的概率乘法公式求分布列，进而可得期望. 【小问1详解】 甲3次投篮投进的次数为，则， 故甲3次投篮的得分超过3分的概率. 【小问2详解】 记“乙第次投篮投进”为事件， 由题意可得：的可能取值为，则有： ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 2 4 6 故的期望. 16. 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的定义写出的表达式，再利用得到递推关系，最后累乘求出通项公式. (2)先化简的表达式，再用错位相减法求出数列的前项和. 【小问1详解】 由得，又是公差为的等差数列，故，即； 当时，，两式相减得， 累乘得：， 所以通项公式为：. 【小问2详解】 由，代入得：，用错位相减法求： ， ， 两式相减得：， 整理后得：. 17. 在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ， 是正三角形， 为棱 中点. （1）求证: 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点,连接,先证明四边形为平行四边形，所以，利用线面平行的判定定理得到平面 . （2）取AB中点O,连接PO,利用线面垂直的判定定理证明平面ABCD；过点A作,则平面ABCD； 以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面 与平面 夹角的余弦值即可 【小问1详解】 取中点,连接, 因为分别为PC，PB中点，所以, , 又因为，所以 所以四边形为平行四边形，所以 , 又因为平面，平面, 所以: 平面. 【小问2详解】 取AB中点O,连接PO, 因为 是正三角形，所以 , 又因为 则 ，所以, 又因为 , , 平面PAB, 所以平面PAB， 又因为平面ABCD,所以平面PAB平面ABCD， 因为，平面PAB, 平面PAB平面ABCD 所以平面ABCD； 在平面PAB内过点A作,则平面ABCD； 如图所示，以A为原点，AB,AD,AM,分别为轴建立空间直角坐标系 则 ， 则 设平面的法向量为则 即 ，取 则 平面 的法向量为 ； 设平面 与平面 夹角为 ， 则 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 18. 双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点． （1）求C的方程； （2）求与的斜率之积； （3）证明：A，O，M，N共圆． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据点在C上可得，再根据焦距为可得即可得方程； （2）设，，，联立直线与双曲线的方程可得韦达定理，再根据求解即可； （3）根据四点共圆可得，进而可得，再根据相似三角形比例关系转证即可. 【小问1详解】 由题意得，，得，， 所以C的方程为； 【小问2详解】 由题设知过，故设，，， 由得，其中， 且，即. 故，， 则， 即， 亦即与的斜率之积为. 【小问3详解】 只需证明，即， 亦即证明，有，即，， 即证明（＊），结合， 又， 故（＊）式成立，所以， 所以A，O，M，N共圆． 【点睛】方法点睛： 1.解析几何中求解斜率之积为定值，可考虑设直线与圆锥曲线交点坐标，根据交点坐标表达斜率，并联立直线与圆锥曲线的方程，得出韦达定理，并代入表达式化简； 2.证明四点共圆等问题时，考虑四边形的特征，转化为角度、斜率的关系，再根据韦达定理化简证明. 19. 设函数在上可导，导函数为，若关于的方程在有且只有两个不同的解，则称是上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为在上的平行切点. （1）是否存在上的“双平行切线函数”，且在上不是单调函数?若存在，请举例；若不存在，请说明理由； （2）令，设直线与的图象交于两个不同的点，，其横坐标分别为，，且是上的“双平行切线函数”，在上的平行切点为，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）存在上的“双平行切线函数”，但在上不为单调函数. （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数，根据，得到方程，求得方程的两解，得到为上的“双平行切线函数”，再利用导数求得得到单调性，即可得到结论； （2）（i）根据题意，转化为在上有两个不同的解，求得，令，求得，得出的单调性，得到的单调性，求得其最小值，进而求得的取值范围； （ii）设，转化为证明，设，求得，再令，利用导数求得在上单调递减，得到，进而证得. 【小问1详解】 解：存在上的“双平行切线函数”，且在上不是单调函数. 先证明：为上的“双平行切线函数”： 由函数，可得， 令，可得， 化简得，解得，， 所以为上的“双平行切线函数”； 令，即，可得或， 当且仅当时，，所以在，上单调递增， 当且仅当时，，所以在上单调递减， 所以在上不是单调函数， 所以存在上的“双平行切线函数”，且在上不为单调函数. 【小问2详解】 解：（i）由题意知：，且， 所以在上有两个不同的解， 所以，即在上有两个不同的解， 因为，可得， 设，则， 当时，，则为减函数，即为减函数， 当时，，则为增函数，即为增函数， 故，且当时，，，， 所以在上有两个不同的解，所以，解得， 所以实数的取值范围为. （ii）不妨设，则，， 要证，即证， 因为，所以， 因为，在上为增函数，所以只需要证明：. 因为，所以只需要证明：，其中， 设， 则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递减， 因为，所以，即，其中， 所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第一次检测考试数学试题 （考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. 7 C. D. 3. 已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1或6 C. D. 1 4. 已知函数是定义域为的奇函数，又是以为周期的周期函数，在上的图象是如图所示的线段，那么对于函数，下列结论正确的是（　　） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5. 若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. 15 C. D. 6. 记，则（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足，，则称数列为斐波那契数列，设，若数列的前项和为，则的最大值是（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期是 C. 图象的一个对称中心是 D. 上单调递增 10. 某工厂有3个生产车间加工同一型号的零件，已知第1，2，3号车间加工的零件数之比为.在某次产品抽检中，1号车间的合格率为80%，2号车间的合格率为70%，3号车间的合格率为75%，从该工厂随机抽取一个零件.记事件“该零件合格”，事件“该零件由号车间加工”，则（ ） A. B. 与均不相互独立 C. D. 若从这次抽检的合格零件中随机抽取一个，则该零件来自1号车间的概率最大 11. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间有5个零点 D. 关于对称 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是__________. 13. 在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________． 14. 已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于______． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为.从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为. （1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率； （2）乙3次投篮的得分为，求的分布列和期望. 16. 记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前n项和. 17. 在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ， 是正三角形， 为棱 中点. （1）求证: 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 18. 双曲线的焦距为，点在C上，直线交y轴于点P，过P作直线交C于G，H两点，且的斜率存在，直线，交l分别于M，N两点． （1）求C的方程； （2）求与的斜率之积； （3）证明：A，O，M，N共圆． 19. 设函数在上可导，导函数为，若关于的方程在有且只有两个不同的解，则称是上的“双平行切线函数”，其中两个不同的解称为在上的平行切点. （1）是否存在上的“双平行切线函数”，且在上不是单调函数?若存在，请举例；若不存在，请说明理由； （2）令，设直线与的图象交于两个不同的点，，其横坐标分别为，，且是上的“双平行切线函数”，在上的平行切点为，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $