精品解析：陕西神木市第四中学2025-2026学年高三下学期高考仿真模拟（一）数学试卷

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟金卷（一） 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 2. 已知集合，则的非空子集的个数为（ ） A 32 B. 31 C. 64 D. 63 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 127 B. 63 C. D. 5. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. C. D. 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标．将7个厂商的报价（单位：元/个）整理得如下数据：10，9.9，9.9，10.2，9.8，10，10.1，则这组数据的（ ） A. 极差为0.5 B. 平均数为10 C. 众数为9.9和10 D. 分位数为10 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 11. 已知直三棱柱的所有棱长均为4，点，分别是线段，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 三棱柱外接球的体积为 D. 点到平面距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，若，，，则______． 13. 直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______． 14. 已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共3小题，共77分，解答段写出必要的文学说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式： （2）求． 16 已知椭圆经过点，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 17. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭扶老携幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众对一部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 20 60 合计 140 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ （2）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 如图，四棱锥中，底面是菱形，其中，且S到B，D两点的距离相等，． （1）求证：平面SAC； （2）已知，点R在平面ABQ内，． （i）若，求DR的最小值； （ii）当二面角的正弦值最小时，求m的值． 19. 已知函数（）． （1）设是曲线的任意一条切线，若，求的值； （2）证明：存，对任意，且，都有； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟金卷（一） 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由复数，则 2. 已知集合，则的非空子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 64 D. 63 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】解得， 解得， 又， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 127 B. 63 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以（舍去）， 所以 5. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数在处有极值，则导函数在处的函数值等于0. 【详解】,因为函数在处有极值,所以,解得.代入检验满足题意， 故选：A 6. 某校从2名女生和4名男生中选出3人参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型利用组合求解概率. 【详解】. 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数解析式可知该函数的定义域为全体非零实数， 因， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC； 当时，，所以排除选项D，所以选项B中的图象有可能是该函数的图象. 8. 已知点为抛物线上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，点的坐标为，有，利用两点间距离公式可求得的最小值，进而可得，可得的最小值； 【详解】设，点的坐标为，有， 由圆：，可得圆心，半径， 因此, 由，有， 因此的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7个厂商参与竞标．将7个厂商的报价（单位：元/个）整理得如下数据：10，9.9，9.9，10.2，9.8，10，10.1，则这组数据的（ ） A. 极差为0.5 B. 平均数为10 C. 众数为9.9和10 D. 分位数为10 【答案】CD 【解析】 【详解】由题意，极差为，故A错误； 平均数为，故B错误； 这组数据中9.9和10均出现了两次，故众数为9.9和10，故C正确； 将这组数据从小到大排列为：9.8，9.9，9.9，10，10，10.1，10.2， 因为，所以分位数是第5个数，为10，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 11. 已知直三棱柱的所有棱长均为4，点，分别是线段，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 三棱柱外接球的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用线面平行的判定定理证得平面，利用面面平行的判定定理证得平面平面，利用面面平行的性质定理得到平面；选项B，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到；选项C，先找到三棱柱外接球的球心，利用勾股定理求出半径，利用球的体积公式求解即可；选项D，利用等体积转化法求解即可. 【详解】选项A，取的中点，是线段的中点，则， 平面，平面，则平面， 点是的中点，点是线段的中点，则， 又，则， 平面，平面，平面， 又，则平面平面， 又平面，则平面，故选项A正确； 选项B， 取中点，连接， ，， 三棱柱为直三棱柱，， 是中点，是的中点， ，， ，平面，平面，平面， 平面，，故选项B正确； 选项C，取的中点，连接，设与交于点， 取的中点，连接，设与交于点， 连接，取的中点，则三棱柱外接球的球心为点， ， ， ，， 三棱柱外接球的半径为， 三棱柱外接球体积为，故选项C错误； 选项D，，， ， 故为等腰三角形，取的中点，连接，则， ， ， ， ， 点到平面的距离等于， 设点到平面的距离为， 则， 即，即，解得， 故点到平面的距离为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，若，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程求解即可. 【详解】由正弦定理知，，即，解得. 13. 直线与双曲线（）相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可． 【详解】由，两点在直线上，设（）， 由对称性可知，，两点关于原点对称，所以， 由，两点的横坐标之积为，得，解得， 所以，代入双曲线方程得，解得， 所以，所以离心率为． 14. 已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可. 【详解】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 四、解答题：本大题共3小题，共77分，解答段写出必要的文学说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式： （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 16. 已知椭圆经过点，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，所以， 把点的坐标代入方程，得，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程组消去，得. 解得或不妨设，，则. 17. 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭扶老携幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众对一部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 20 60 合计 140 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ （2）用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格数据计算的值，然后计算的值，最后得出结论即可. （2）先求出未成年人、成年人喜欢和不喜欢的概率，然后确定的可能取值，并求出对应的概率，进而得到的分布列和期望. 【小问1详解】 由表格数据可知，. 所以， 当时，. 由于，所以没有足够的证据拒绝原假设，即不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关. 【小问2详解】 由题意可知，未成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是； 成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是. 由题意，的可能取值为，则 ；；. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. 18. 如图，四棱锥中，底面是菱形，其中，且S到B，D两点的距离相等，． （1）求证：平面SAC； （2）已知，点R在平面ABQ内，． （i）若，求DR的最小值； （ii）当二面角的正弦值最小时，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）记BD交AC于点O，连接OS，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）过S作于点，证得平面，得到，进而证得平面，得到，以为原点，建立空间直角坐标系，（i）求得平面的法向量和，结合距离公式，即可求解； （i）设，得到，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：记BD交AC于点O，连接OS， 由于，且O是BD的中点，所以， 又由平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 解：过S作于点，由（1）可知，平面平面,平面平面，且两平面的交线为AC， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，平面，所以， 结合，可得为的垂心， 因为为等边三角形，因此为的重心， 且， 以为原点，以所在的直线分别为轴和轴，过O作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由于，则， 可得， （i）由，可得， 设平面ABQ的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由，所以，即的最小值为； （i）设，可得， 可得 设平面ABQ的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面BCQ的法向量为，则 取，可得，所以， 设二面角的平面角为， 则， 令，则， 则． 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为． 19. 已知函数（）． （1）设是曲线的任意一条切线，若，求的值； （2）证明：存在，对任意，且，都有； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设切点再根据点斜式结合不等式计算得出参数； （2）构造函数，结合函数单调性计算证明； （3）由（2）知 ，结合应用错位相减法计算证明即可. 【小问1详解】 设直线与曲线切点横坐标为，因为， 所以切线方程为：， 所以， 即对任意都成立， 因为，所以在上递增且存在唯一正的零点， 又在上递减，所以也是它的零点. 所以；解得. 【小问2详解】 因为的定义域为，，， 当时，，递减； 当时，，递增. 取，设，代入得，， 所以， 设，， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以时，存在，对任意，且，都有；. 【小问3详解】 取，，，， 则，， 由（2）知，，即， 因为，， 所以， 设， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $