精品解析：陕西宝鸡市斗鸡中学2025-2026学年第二学期期中质量检测题高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中质量检测题 高二数学 注意事项： 1．考试时间120分钟，满分150分． 2．答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚． 3．全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合， 因为集合， 所以. 2. 复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算出复数z即可判断在第几象限. 【详解】因为，故， 故z对应的点为，在第一象限. 故选：A 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 4. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解. 【详解】因为， 解得或，又，则， 所以，则． 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】按和两类情况分组讨论即可. 【详解】情况1：按分组，在3人组中 ，需要从剩下3人中选1人，和组成3人组， 剩余2人各自成组，选法有种； 再将3个组全排列分配到3个不同部门，排列数为，此种情况共种方案， 情况2：按分组，在2人组中， 再从剩下3人中选1人单独成组，剩余2人组成另一个2人组，选法有种； 再将3个组全排列分配到3个不同部门，排列数为， 此种情况共种方案， 两种情况相加，总方案数为种， 则不同的分配方案共有36种. 7. 设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个最值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个最值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 8. 已知函数，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 又，所以函数为奇函数， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可. 【详解】选项A，，，，， ，当且仅当，即时，等号成立； 故ab的最大值为，故选项A正确； 选项B，，， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项B错误； 选项C，设，则， ，， ，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，故选项C正确； 选项D，，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选项D错误. 故选：AC. 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明平面，即可判断，对于B，若，则，连接，为的中点，证明，设，，求，推出矛盾，对于C，根据线面垂直判定定理证明结论即可判断，对于D，证明，，由此即可判断. 【详解】对于A，取的中点D，连接，. 在中，P，D分别为，中点， ，且. 在直三棱柱中，，. Q为棱的中点，，且. ，. 四边形为平行四边形，从而. 又平面，平面，平面，A正确， 对于B，因为为的中点，若，则， 连接，为的中点，则，又平面， 所以平面，平面， 所以，设，， 则，， 所以，，与矛盾， 所以不成立，B错误， 对于C，在直三棱柱中，平面. 又平面，.，D为中点，. 由选项A的推理知，，. 又，平面，平面， 所以平面，C正确； 对于D，因为为的中点，四边形为矩形， 所以点为的中点，又为的中点， 所以，且， 又分别为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故与相交，D正确. 11. 已知 则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含项的系数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合赋值法来求解各项系数. 【详解】已知，令， 则，即，选项A正确； 展开式的通项公式为，（其中）， 要求的系数，令，解得， 当时，， 所以展开式中含项的系数为，选项B错误； 令，可得， 即①， 令，可得， 即②． ①＋②得：， 则，选项C正确； 对两边求导， 可得， 令，则， 即，又因为，所以 ，选项D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，不等式恒成立，则实数的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 而，， 故当时，， 而，不等式恒成立， 故，即实数的最小值是. 13. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，由此即可求解. 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 14. 已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当  时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质和图象求出的最小正周期和单调增区间； （2）利用正弦函数的性质求在区间内的值域． 【小问1详解】 由题可知，即的最小正周期为， 令， 解得， 的单调递增区间． 【小问2详解】 令，则， 由可得：， 由在的图象可得：， 的值域为． 16. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. （1）求n的值与展开式中各项的系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）6,1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数性质求，赋值法求系数和； （2）根据组合数性质确定二项式最大项，结合通项公式可得. 【小问1详解】 由题知，，由组合数性质可知，； 令得展开式中各项的系数和为 【小问2详解】 因为，所以展开式共有7项， 由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大， 所以. 17. 已知． （1）若，求函数在区间的最大值和最小值； （2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后可得函数单调性，利用函数单调性计算即可得解； （2）由题意可得有3个不同的实根，令，求导后可得该函数单调性，利用函数单调性计算即可得解. 【小问1详解】 当时，， ， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 由，， 故； 【小问2详解】 由方程有3个不同的实根，则方程有3个不同的实根， 令，则， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，， 故实数的取值范围为. 18. “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可； （2）应用百分位数的定义确定面试成绩前候选者的最低分所在区间，即可求； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，解得； 【小问2详解】 由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. 【小问3详解】 设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 19. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中质量检测题 高二数学 注意事项： 1．考试时间120分钟，满分150分． 2．答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚． 3．全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效． 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，且员工必须分配到同一部门，则不同的分配方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 60种 7. 设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列说法正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为4 10. 如图，在正三棱柱中，点P，Q，M，N分别是，，，BC的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 平面ABC B. C. 平面 D. PQ与MN相交 11. 已知 则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含项的系数为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，若，不等式恒成立，则实数的最小值是___________． 13. 甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为_____. 14. 已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的值域． 16. 已知，的二项展开式中第2项与第6项的二项式系数相等. （1）求n的值与展开式中各项的系数和； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知． （1）若，求函数在区间的最大值和最小值； （2）若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围． 18. “2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求a，b的值； （2）若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； （3）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 19. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $