精品解析：2026年河北省石家庄市初中毕业年级教学质量检测数学试卷

2026年石家庄市初中毕业年级教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 水库水位第一天降低记作，第二天降低，这两天的变化可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，如果增加一个同样大小的正方体后，新几何体的主视图不改变，可以加在（ ） A. ①的上方 B. ②的上方 C. ③的上方 D. ④的上方 3. 近年来，马拉松运动受到越来越多人的喜爱．2026年石家庄市马拉松比赛吸引了约200700名选手报名，人数创历届新高．将200700用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 6. 已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 滑雪运动近年来备受青睐，成为大众喜爱的冬季休闲方式．图1为滑雪运动中的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形、已知滑雪杖和滑雪板平行，根据图中所示数据，可得的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，如果，那么的值为（ ） A. 或4 B. 6或 C. 3或6 D. 3或 9. 如图，等腰周长为24，，是底边的三等分点，分别过点，，作，，的平行线，得到，则的周长为（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 10. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（ ） A. 若设合伙人数为人，据题意可得： B. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D. 设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 11. 如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 14. 在中，，，，则的正切值为______． 15. 分解因式：3a2﹣12=___． 16. 如图，在正六边形中，，点，，为正六边形边上任意三点，且，当______时，的面积最大． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 18. 进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： （1）将三进制数，转换为十进制数； （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 19. 某校为了解学生一分钟跳绳成绩，随机抽取部分学生进行测试，将成绩按从高到低依次划分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并绘制成尚不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）图2中圆心角______； 本次测试成绩的中位数所在的等级为______（填写优秀、良好、合格或不合格）； （3）若该校九年级共有500名学生，根据测试结果估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数； （4）在不合格的4名学生中，有两名男生和两名女生．现从中随机抽取两人进行强化训练，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，，，点在边上，和相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 22. 如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，求的长； （3）通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 23. 如图，点，在直线上，，拋物线经过点，，顶点为． （1）若点横坐标为3， ①直接写出点，的坐标； ②求的函数表达式及点的坐标； （2）设点横坐标为， ①用含的代数式表示和，并求当为何值时，点到轴和轴的距离相等？ ②将向左平移后得到的抛物线记作，若恰好经过点，直接写出与的另一个交点的坐标． 24. 情境 如图1，半圆的直径，点是直径上一点，点在半圆上，且． 操作：将半圆沿线段裁剪后，得到图形和图形两部分，然后保持图形BCD不动，将图形翻转后，再与图形拼接成如图2所示的平面图形，过点作的平行线，交弧于点，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现： （1）直接写出与满足的数量关系； （2）如图3，若点在圆心的左侧，，当时， ①求的值； ②求的长． 探究：如图4，若点在圆心的左侧，且，连接，当时， （3）在图4的基础上，用尺规作图作出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （4）求线段的长． 拓展： （5）如图5，若点在圆心的右侧，当弧所在的圆与相切于点时，弧的长为，直接写出线段的长： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年石家庄市初中毕业年级教学质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 水库水位第一天降低记作，第二天降低，这两天的变化可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给定的记法，确定第二天水位变化的表示，再将两天变化相加即可得到结果． 【详解】解：∵题目规定水位降低记为负，降低记作， ∴第二天降低记作， ∴这两天的水位总变化可表示为两天变化的和，即． 2. 如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，如果增加一个同样大小的正方体后，新几何体的主视图不改变，可以加在（ ） A. ①的上方 B. ②的上方 C. ③的上方 D. ④的上方 【答案】A 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的图形，原几何体的主视图从左往右小正方形的个数依次为1，2，2， 若增加一个正方体后主视图不变，则增加的正方体不能改变每一列的最高层数，据此即可得出． 【详解】解：观察几何体可知，原主视图从左往右各列的高度分别为1，2，2， ∵②、③、④分别位于右列、中列、左列的最高处， ∴在②、③、④的上方增加正方体，对应列的高度会增加，主视图会发生改变， ∵①位于右列的前排下层，而右列后排已有2层高（位置②）， ∴在①的上方增加一个正方体，右列的最高高度仍为2，主视图不改变， ∴可以加在①． 3. 近年来，马拉松运动受到越来越多人的喜爱．2026年石家庄市马拉松比赛吸引了约200700名选手报名，人数创历届新高．将200700用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此确定和的值即可． 【详解】解：． 4. 如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 5. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴. 6. 已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则是解题关键． 【详解】解：左式，右式， ∴， 故． 7. 滑雪运动近年来备受青睐，成为大众喜爱的冬季休闲方式．图1为滑雪运动中的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形、已知滑雪杖和滑雪板平行，根据图中所示数据，可得的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点C作，如图 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8. 定义新运算：，如果，那么的值为（ ） A. 或4 B. 6或 C. 3或6 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 9. 如图，等腰周长为24，，是底边的三等分点，分别过点，，作，，的平行线，得到，则的周长为（ ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质判定四边形和为平行四边形，得出对应边相等；利用平行线性质和对顶角性质证明，得出对应边成比例；最后将的三边用的三边表示，结合周长公式求解． 【详解】解：过点作的平行线，过点作的平行线， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可得，四边形是平行四边形， ， 是底边的三等分点 ， ， ， ， ， 又， ， 同理可得， ， ， ， ， ， 的周长， 的周长为24， 的周长． 10. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多3钱，问合伙人数、羊的总价钱各是多少？下列做法错误的为（ ） A. 若设合伙人数为人，据题意可得： B. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： C. 若设羊的总价钱为钱，据题意可得： D. 设合伙人数为人，羊的总价钱为钱，据题意可得： 【答案】B 【解析】 【分析】找准不变量（羊价不变/人数不变），根据题意推导每个选项的方程，即可找出错误选项． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意： 每人出钱，还差钱， 羊价； 每人出钱，多钱， 羊价； 对选项A，由羊价相等可得，A正确； 对选项D，可得方程组，D正确； 若设羊价为钱，人数不变， 对变形得， 对变形得， 由人数相等得， 因此C正确，B错误． 11. 如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，，可得在以为圆心，为直径的圆上，当A，F，R共线时，最小，再进一步可判断④． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ，故①符合题意； ， ， ，故②符合题意； 当时，， ， ，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接，， ， 在以为圆心，为直径的圆上， 当A，F，R共线时，最小， ， ， ， ， 点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意． 综上所述，正确的个数有3个． 【点睛】本题核心是结合正方形性质、全等三角形与圆的轨迹思想解题，关键是发现点的轨迹为圆． 12. 如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，证明，得到，，表示出值，建立等式，得到，据此计算即可解题． 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，，， ，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ， ，即， ． 二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于x的不等式，解不等式即可得答案． 【详解】解：由题意得，， 移项得， 不等式两边同时除以2，得． 14. 在中，，，，则的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，勾股定理的含义，熟练掌握定义是解题的关键．利用勾股定理先求解，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵ ∴． 故答案为：． 15. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 16. 如图，在正六边形中，，点，，为正六边形边上任意三点，且，当______时，的面积最大． 【答案】9 【解析】 【分析】过点作于，交于点，过、分别作于，于，连接，过点作于点，设，用含的代数式表示，进而列出与的函数关系式，并求出最大时，的长度． 【详解】解：如图，过点作于，交于点，过作于，连接交于点，过点作于点W， ∵正六边形， ，，， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ∴， ， ， 设， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 同理可得，，， 又∵， ∴， ， ∴， ∴ ， ， 当时，；， 即：当P，Q分别在，的中点时，最大． 【点睛】本题核心是将几何最值问题转化为二次函数问题，通过设高为变量，利用正六边形的角度与对称性表示底边长，再借助二次函数的顶点性质求解最大值． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先计算乘方，再计算乘法，最后进行加减运算即可得到答案； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： （1）将三进制数，转换为十进制数； （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． 【小问2详解】 解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 19. 某校为了解学生一分钟跳绳成绩，随机抽取部分学生进行测试，将成绩按从高到低依次划分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并绘制成尚不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）： 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）图2中圆心角______； 本次测试成绩的中位数所在的等级为______（填写优秀、良好、合格或不合格）； （3）若该校九年级共有500名学生，根据测试结果估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数； （4）在不合格的4名学生中，有两名男生和两名女生．现从中随机抽取两人进行强化训练，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） 补全统计图如下： （2）72；良好 （3）460名 （4） 【解析】 【分析】（1）用优秀等级的人数乘以其人数占比可求出参与调查的人数，再求出良好等级的人数，接着补全统计图即可； （2）用360度乘以合格等级的人数占比即可得到第一空的答案，根据中位数的定义可得第二空的答案； （3）用500乘以样本中该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数占比即可得到答案； （4）列出表格得到所有等可能性的结果，再找到恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， ∴本次一共抽取了50名学生， ∴成绩为良好的学生人数为（名）， 【小问2详解】 解：由（1）得； 把这50名学生的成绩按照从低到高的顺序排列，中位数为第25个数据和第26个数据的平均数， ∵， ∴第25个数据和第26个数据都落在良好等级中， ∴中位数落在良好等级中； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数为460名； 【小问4详解】 解：用A、B表示两名男生，用C、D表示两名女生，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果数有8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 20. 如图，，，点在边上，和相交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， 由（1）知 ， 又∵， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得 ，从而得到答案； （2）先证明，，再利用可证得． 【小问1详解】 解：在和中， ∵，， ∴ ， 又∵，， ∴ . 【小问2详解】 略 21. 有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： （1）求与之间的函数表达式； （2）当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； （3）当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 【答案】（1） （2） （3）装置内液面的高度为． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的两组对应数值，利用待定系数法设出一次函数解析式，列方程组求解和； （2）将的值代入求得的函数解析式中，计算对应的值； （3）设圆柱底面积为S，根据（1）中所求表达式可求得S的值，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 根据题意，将和代入得， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时， ， 答：当探针浸入液面以下的长度为时，装置内液体的体积为． 【小问3详解】 解：设圆柱底面积为S， 由，得液面每升高，体积增加，即， ∴时液面高度，浸入长度从0增加到5，液面升高， 因此探针刚接触液面时，液面高度为， 答：当探针与液面刚接触时，装置内液面的高度为． 22. 如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，求的长； （3）通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】（1） 证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） （3）图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 23. 如图，点，在直线上，，拋物线经过点，，顶点为． （1）若点横坐标为3， ①直接写出点，的坐标； ②求的函数表达式及点的坐标； （2）设点横坐标为， ①用含的代数式表示和，并求当为何值时，点到轴和轴的距离相等？ ②将向左平移后得到的抛物线记作，若恰好经过点，直接写出与的另一个交点的坐标． 【答案】（1）①，；②， （2）①，，当时，点到轴和轴的距离相等；② 【解析】 【分析】（1）①点A在直线上，横坐标为3，代入得；由知A是OB中点，故；②将A、B代入抛物线解析式，解得，配方得顶点式，故顶点； （2）①根据题意求出；则可由得到．将A、B代入抛物线解析式，解得，．利用顶点坐标公式，得顶点M的横坐标为，纵坐标为；进而根据由顶点到两轴距离相等进行列方程求解即可；②设抛物线L向左平移个单位得到，将A点代入，解得平移距离．联立与直线的方程，利用根与系数的关系得两交点横坐标之和为，已知一个交点横坐标为，故另一个交点横坐标为，代入直线方程得纵坐标为，即可得到交点坐标． 【小问1详解】 解：①点A在直线上，横坐标为3， ∴纵坐标为， ∴， ∵， ∴A是的中点， ∴B点坐标为； ②将、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线L的表达式为：， ∴顶点； 【小问2详解】 解：①∵点A在直线上，且横坐标为， ∴， ∵， ∴， 将、代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线顶点的坐标为， ∴顶点横坐标为；顶点纵坐标为 ， ∵点M到x轴和y轴的距离相等，即， ∵， ∴，， ∴， ∴ 解得（舍去）或， ∴当时，点M到两轴距离相等； ②∵抛物线L向左平移个单位得到， ∴的表达式为：， ∵过点， ∴代入得， ， ∵， ∴， 联立与直线得， ， 由题意得，设抛物线与l的另一交点为C， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ 解得， 将代入直线l得，， ∴与l的另一个交点坐标为． 【点睛】本题核心是利用中点坐标确定B点，通过待定系数法求抛物线系数，结合顶点坐标公式与韦达定理解决平移后的交点问题，体现了函数与方程、数形结合的思想． 24. 情境 如图1，半圆的直径，点是直径上一点，点在半圆上，且． 操作：将半圆沿线段裁剪后，得到图形和图形两部分，然后保持图形BCD不动，将图形翻转后，再与图形拼接成如图2所示的平面图形，过点作的平行线，交弧于点，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现： （1）直接写出与满足的数量关系； （2）如图3，若点在圆心的左侧，，当时， ①求的值； ②求的长． 探究：如图4，若点在圆心的左侧，且，连接，当时， （3）在图4的基础上，用尺规作图作出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （4）求线段的长． 拓展： （5）如图5，若点在圆心的右侧，当弧所在的圆与相切于点时，弧的长为，直接写出线段的长： 【答案】（1） （2）①；② （3） 解：如图所示，点G即为所求； （4） （5） 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可； （2）①推导出，，得到，即可解答； ②延长交于点E，连接，推导出，得到，，根据勾股定理，得到，则，求出或（不符合题意，舍去），得到，则，即可解答； （3）尺规作图-作出的垂直平分线，延长与的交点即为点G； （4）连接，由图（1），圆G与圆O为等圆，推导出，证明出四边形是矩形，求出，，得到，再根据勾股定理求出，即可解答； （5）过点D作于点D，交于点G，过点C作于点N，推导出与射线的交点G即为弧所在的圆的圆心，补全圆G，延长交圆G于点K，推导出，得到，求出，推导出，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 由图1，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ②延长交于点E，连接，如图，有 ∵ ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，点G即为所求； 理由如下：由（1）可知，弧所在的圆的圆心在的延长线上，弧所在的圆的圆心也在的垂直平分线上， ∴的延长线与的交点即为弧所在的圆的圆心G； 【小问4详解】 解：如图4，连接， 由图（1），圆G与圆O为等圆， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， 时，弧所在圆的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，，即，， ∴， ∴， ∴． 【小问5详解】 解：过点D作于点D，交于点G，过点C作于点N，如图 ∴，， 由图（1）可知，弧所在的圆的圆心在上， ∵弧所在的圆与相切于点时， ∴弧所在的圆的圆心在射线上， ∴与射线的交点G即为弧所在的圆的圆心， ∴， 补全圆G，延长交圆G于点K，如图 ∵弧的长为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $