精品解析：广东茂名市高州市十二校联考2025-2026学年度第二学期 九年级数学质检练习(二)

2025-2026学年度第二学期九年级数学 质检练习（二） （范围：初中全部 时间：120分钟满分：120分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断所给实数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：∵是分数，是整数，是有限小数，这三个都是有理数； 开立方不能得到整数或分数，是无限不循环小数，属于无理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； ∴无理数共有个． 2. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 【答案】C 【解析】 【分析】关于y轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标一样． 【详解】解：关于y轴对称的点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题考查点坐标的对称，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法及整式的加减依次判断即可得． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、；故该选项不正确，不符合题意； D、不能进行计算，选项计算错误，不符合题意；； 故选：B． 【点睛】题目主要考查完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法，整式的加减等，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 4. 如图所示，为直线上一点，平分，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，再由垂直的性质得到，最后结合平角为，通过角度的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 故选：B． 5. 与最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵12.25＜15＜16， ∴3.5＜＜4， ∴5.5＜2+＜6， ∴最接近的整数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 6. 如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A. 400度 B. 300度 C. 200度 D. 100度 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出矫正治疗后近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设， 将代入，得， 解得， ∴， 将代入，得， （度） ∴近视眼镜减少的度数为300度． 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴方程的解为． 8. 如图，为的直径，点C、D在上，点为劣弧的中点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理求出，再根据“同弧（等弧）所对的圆心角相等”得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． 9. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为(　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接交于点，根据勾股定理求得，则，进而根据菱形的面积公式得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形中，，， ∴,， 在中， ∴， ∵ ∴菱形的面积为 ∴， 故选：B． 10. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 13. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，再判定，即可求解． 【详解】解：设点到的高为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为___________． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式(1)的解集，再根据不等式组的解集中有三个整数解得出不等式(2)的解集，从而得出不等式(2)． 【详解】解：解不等式(1)得：， ∵这个不等式组的解集中有三个整数解， ∴不等式(2)的解集可以为， ∴符合条件(2)的不等式可以为， 故答案为： (答案不唯一)． 15. 如图，在中，，，，以点A为圆心、长为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和）． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，过点D作于点，由含30度角的直角三角形的性质得到，结合面积公式得到，再根据扇形面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 如图所示，过点D作于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 17. 化简分式：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ……③． （1）上面的运算过程中第________步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． （3）当时，请求上述分式的值． 【答案】（1）③ （2） 解：原式 ； （3） 【解析】 【分析】（1）第③步，分子相减时，符号出错； （2）通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简即可； （3）把代入（2）中结果，进行计算即可． 【小问1详解】 解：第③步，分子相减时，符号出错； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，上式． 18. 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线. 【答案】 证明：连接OD, ∵BC是和⊙O相切于点B的切线 ∴∠CBO=90°. ∵AD平行于OC， ∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A； ∵∠ODA=∠A， ∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB， ∴△OCD≌△OCB， ∴∠CDO=∠CBO=90°． ∴DC是⊙O的切线． 【解析】 【分析】连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线． 【详解】略 四、解答题（二）本大题共 小题，每小题 分，共27分． 19. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元 （2）至少应购买B款纪念品30个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元． 【小问2详解】 解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个， 由题意得，， 解得，， 答：至少应购买B款纪念品30个． 20. 建筑工地上常借助定滑轮将建筑材料垂直拉起提到高处，图1为建筑材料起始位置示意图（定滑轮的半径忽略不计），绳子的末端在定滑轮处，测得，．水平向右拉绳子末端，当建筑材料位于图2所示位置时，在绳子末端测得滑轮的仰角为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上且直线与地面平行；参考数据：，，，．结果精确到） （1）求绳子的总长度； （2）求建筑材料上升的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握仰角定义及解直角三角形相关计算是解决问题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得到答案； （2）在中，解直角三角形得到，数形结合得到． 【小问1详解】 解：，，， ． ． 答：绳子的总长度约为． 【小问2详解】 解：在中，，， ． ． ． 由题意可知，， ， 即建筑材料上升的高度为． 21. 统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 （1）求a，b，c的值； （2）观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （2）要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分；要使方差最小，即应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 【小问1详解】 解：； 第二组中分的人数最多，有人，故； 根据第三组数据，中位数在第和人处，两个数据均为3，故； 则；；； 【小问2详解】 解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分， 即将人对应分，人对应分，人对应分，人对应分，人对应分； 要使方差最小，应把数据集中，需将人数尽可能集中在同一个离平均数最近的得分上． 五、解答题（三），本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点． （1）补充一个条件，求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左平移个单位得到新的抛物线．当时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）当时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】（1）补充条件：抛物线经过点；抛物线的表达式为（答案不唯一） （2）的取值范围为 （3） ． 理由：由（）得：抛物线的表达式为， ∴ 对于一元二次方程， 其判别式 ， ∵且， ∴， ∴， 又∵， ∴二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即对于任意，， ∴，即． 【解析】 【分析】（）已知抛物线经过和两点，可先根据这两点的坐标求出的值以及与的关系，再补充一个条件，利用待定系数法求出抛物线的表达式； （）先根据抛物线平移的规律求出新抛物线的表达式，再根据二次函数的性质求出的取值范围； （）先求出与的差，再根据的取值范围判断差的正负，从而比较与的大小． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过和两点， ∴将代入抛物线方程可得：， 即. 将和代入抛物线方程可得：，化简得，即， 所以抛物线的表达式为， 补充条件：抛物线经过点， 将代入， 可得：，即， 解得， 把代入，可得， ∴抛物线的表达式为（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：由（）得：抛物线的表达式为， ∴对称轴为：， ∵向左平移个单位， ∴新抛物线的对称轴为， ∵因为，抛物线开口向上， ∴当时，随增大而增大 ∵题目要求当时，随增大而增大， ∴， 解得； 【小问3详解】 略 23. 问题提出 （1）如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 （2）如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 （3）如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【小问1详解】 解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. 【小问2详解】 解：如图所示，以为边作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级数学 质检练习（二） （范围：初中全部 时间：120分钟满分：120分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数，，，，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. （－3，－2） B. （3，－2） C. （3，2） D. （－3，2） 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，为直线上一点，平分，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 与最接近的整数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到了0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ） A. 400度 B. 300度 C. 200度 D. 100度 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点C、D在上，点为劣弧的中点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为(　 ) A. B. C. D. 10. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：3a2﹣12=___． 12. 函数中自变量的取值范围是_____． 13. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 14. 小明在解关于的不等式组时，不小心把不等式组中的第(2)个不等式污损，若这个不等式组的解集中有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件(2)的不等式为___________． 15. 如图，在中，，，，以点A为圆心、长为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 化简分式：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ……③． （1）上面的运算过程中第________步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． （3）当时，请求上述分式的值． 18. 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线. 四、解答题（二）本大题共 小题，每小题 分，共27分． 19. 2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元． （1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价； （2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 20. 建筑工地上常借助定滑轮将建筑材料垂直拉起提到高处，图1为建筑材料起始位置示意图（定滑轮的半径忽略不计），绳子的末端在定滑轮处，测得，．水平向右拉绳子末端，当建筑材料位于图2所示位置时，在绳子末端测得滑轮的仰角为．（图中所有点均在同一平面内，点，，在同一直线上且直线与地面平行；参考数据：，，，．结果精确到） （1）求绳子的总长度； （2）求建筑材料上升的高度． 21. 统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下： 根据以上信息，得到统计数据如下： 平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数） 第一组 4 3 1.99 第二组 2 2 1.3 第三组 2.85 4 1.61 （1）求a，b，c的值； （2）观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图1中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式，在图2中画出使得方差最小的一种“柱子”排列方式． 五、解答题（三），本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点． （1）补充一个条件，求抛物线的表达式； （2）将抛物线向左平移个单位得到新的抛物线．当时，随的增大而增大，求的取值范围； （3）当时，判断与的大小，并说明理由． 23. 问题提出 （1）如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 （2）如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 （3）如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $