6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 【学习目标】 1. 掌握实数与平面向量数乘运算的坐标表示公式，能熟练进行向量数乘及线性运算的坐标求解. 1. 理解并掌握平面向量共线的坐标充要条件，会用其解决向量共线、点共线问题. 1. 在运用坐标公式解决线性运算、分点、共线问题的过程中，提升数学运算核心素养. 【学习重点】 1. 向量数乘的坐标运算：. 2. 向量共线的坐标充要条件：，，且 ，则 . 3. 中点坐标公式： 是 中点，则 . 4. 定比分点公式（推广）：若 ，则 （）. 【学习难点】 1. 利用共线条件将几何问题（如三点共线、分点坐标）转化为代数方程求解. 2. 区分向量共线与三点共线的联系与区别. 学习任务一 向量数乘运算的坐标表示 【合作探究】 1. 问题引入： · 已知 ，实数 ，如何用坐标表示 ？ · 由向量坐标定义，，则 · 因此，实数与向量的积的坐标等于该实数与向量相应坐标的积. 1. 例题： · 已知 ，计算 ，. · 解：，. 1. 向量的线性运算顺序： · 先数乘，后加减.例如：. 1. 练习： · 已知 ，，求 . · 解：，. 【自主梳理】 1. 数乘坐标公式：. 1. 线性运算顺序：先数乘，后加减. 1. 运算结果仍是坐标形式. 学习任务二 向量共线的坐标表示 【合作探究】 1. 共线条件： · 设 ，，其中 . · ，使得 . · 代入坐标得 ，即 . · 该条件称为向量共线的坐标充要条件. 1. 公式记忆：（即交叉相乘差为零）. 1. 例题：判断下列各组向量是否共线： · (1) ， · (2) ， · (3) ， · 解： · (1) ，共线. · (2) ，共线. · (3) ，不共线. 1. 三点共线问题： · 三点共线 . · 步骤： (1) 计算 ，. (2) 验证 . 【自主梳理】 1. 向量共线充要条件：. 1. 三点共线判定： 共线 与 共线. 1. 注意：零向量与任何向量共线. 学习任务三 定比分点与中点坐标公式 【合作探究】 1. 中点坐标公式： · 若 是 的中点，则 ， · 坐标形式：. 1. 定比分点公式： · 若点 满足 （），则 · 当 时即为中点公式. 1. 例题：已知 ，，求 的中点 的坐标，以及 上一点 满足 的坐标. · 解： · . · 对于 ：，. 【自主梳理】 · 中点坐标：. · 定比分点：（）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 向量数乘的坐标运算就是对应坐标分别乘实数. （ ） 1. 若 ，，则 . （ ） 1. 三点共线的条件是任意两个向量共线. （ ） 1. 中点坐标公式是定比分点公式当 时的特例. （ ） 1. 若 ，且 ，则存在唯一实数 使 . （ ） 答案：1.√ 2.√（） 3.×（需有公共点） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：已知 ，，求 的坐标. 解：，， . 例2：已知向量 ，，若 与 平行，求 . 解：. 由 得 ， 即 ，，，. 例3：已知 ，，，判断 三点是否共线. 解：，， ，故 ，又 为公共点，所以 共线. 【习题巩固】 1. 已知 ，则 的坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 下列各组向量中，共线的是（ ） · A. ， · B. ， · C. ， · D. ， 1. 若 ，，且 ，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知点 ，，则 的中点坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. （选做）已知 ，，点 在 的延长线上，且 ，求点 的坐标. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（，） 1. A（） 1. A（） 1. A（） 1. 解：由 ，注意 在 的延长线上，且 （ 共线， 与 同向， 在 外侧）.用定比分点公式：. 学科网（北京）股份有限公司 $