6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第6章 平面向量 §6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示【导学】 【导学目标】 1.会实数与向量积的坐标表示； 2.记住两个向量共线的坐标表示； 3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题. 【重点】能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题. 【难点】两个向量共线的坐标表示 【知识要点】 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式 (1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标； (2)设向量＝(x1，y1)，则λ＝(λx1，λy1)． (3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 两个向量共线的坐标表示 (1)向量，共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥⇔ . (2)向量共线的坐标表示的推导 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)≠0，则∥⇔＝λ(λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为∥⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2) ⇔x1y2－x2y1=0 【典型例题】 题型一 平面向量数乘运算的坐标表示 【例1-1】(多选)在平面上的点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面结论正确的是(　　) A．－＝ B．＋＝ C．＝－2 D．＋2＝ 【例1-2】(多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　) A．若＝λ(λ∈R)，则∥ B．若∥，则存在实数λ，使＝λ C．若，是非零向量，λ，μ∈R，那么λ＋μ＝0⇔λ＝μ＝0 D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底 【例1-3】已知向量＝(2,1)，向量＝(－3,4)，求＋，－,3＋4的坐标． 【例1-4】已知向量＝(－1,2)，向量＝(2,1)， 求：(1)2＋3； (2)－3； (3)－. 题型二 两个向量共线的坐标表示 【例2-1】已知向量＝(1,2)，向量＝(－3,2)，当k为何值时，k＋与－3平行？平行时它们是同向还是反向？ 【例2-2】已知向量＝(1,2)，＝(2，－2)，＝(1，λ)，若∥(2＋)，则实数λ＝ . 【例2-3】设向量＝(－3,4)，向量与向量方向相反，且||＝10，则向量的坐标为________． 【例2-4】已知向量＝(1,3)，＝(sin α，cos α)，若∥，则tan＝________． 题型三 三点共线问题 【例3-1】已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线； 【例3-2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线． 【例3-3】(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　 ) A．－2 B． C．1 D．－1 【例3-4】已知p：x＝－1，q：向量＝(1，x)与＝(x＋2，x)共线，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 待定系数法求向量 【例4-1】已知＝(－2,3)，＝(3,1)，＝(10，－4)，试用，表示. 【例4-2】已知＝(10，－5)，＝(3,2)，＝(－2,2)，试用，表示. 题型五 利用向量共线解决几何问题 【例5-1】已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标． 【例5-2】已知点是的重心，过点作一条直线与，两边分别交于两点，且，，则的值为 . ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第6章 平面向量 §6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示【导学】【解析】 【导学目标】 1.会实数与向量积的坐标表示； 2.记住两个向量共线的坐标表示； 3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题. 【重点】能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题. 【难点】两个向量共线的坐标表示 【知识要点】 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式 (1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标； (2)设向量＝(x1，y1)，则λ＝(λx1，λy1)． (3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则 两个向量共线的坐标表示 (1)向量，共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则∥⇔ . (2)向量共线的坐标表示的推导 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)≠0，则∥⇔＝λ(λ∈R)． 上式若用坐标表示，可写为∥⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2) ⇔x1y2－x2y1=0 【典型例题】 题型一 平面向量数乘运算的坐标表示 【例1-1】(多选)在平面上的点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，下面结论正确的是(　　) A．－＝ B．＋＝ C．＝－2 D．＋2＝ 【答案】BC 【例1-2】(多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　) A．若＝λ(λ∈R)，则∥ B．若∥，则存在实数λ，使＝λ C．若，是非零向量，λ，μ∈R，那么λ＋μ＝0⇔λ＝μ＝0 D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底 【答案】ACD 【例1-3】已知向量＝(2,1)，向量＝(－3,4)，求＋，－,3＋4的坐标． 【答案】＋=(-1,5); －=(5,-3); 3＋4=(-6,19) 【例1-4】已知向量＝(－1,2)，向量＝(2,1)， 求：(1)2＋3； (2)－3； (3)－. 【答案】(1)2＋3=(4,7)； (2) －3=(-7,-1)； (3)－=(). 题型二 两个向量共线的坐标表示 【例2-1】已知向量＝(1,2)，向量＝(－3,2)，当k为何值时，k＋与－3平行？平行时它们是同向还是反向？ 【答案】当k＋与－3平行且反向。 【例2-2】已知向量＝(1,2)，＝(2，－2)，＝(1，λ)，若∥(2＋)，则实数λ＝ . 【答案】 【例2-3】设向量＝(－3,4)，向量与向量方向相反，且||＝10，则向量的坐标为________． 【答案】（6，-8） 【例2-4】已知向量＝(1,3)，＝(sin α，cos α)，若∥，则tan＝________． 【答案】2 题型三 三点共线问题 【例3-1】已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线； 【答案】略 【例3-2】如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、 j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A、B、C三点共线． 【答案】m=-2 【例3-3】(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　 ) A．－2 B． C．1 D．－1 【答案】ABD 【例3-4】已知p：x＝－1，q：向量＝(1，x)与＝(x＋2，x)共线，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 题型四 待定系数法求向量 【例4-1】已知＝(－2,3)，＝(3,1)，＝(10，－4)，试用，表示. 【答案】=-2＋2 【例4-2】已知＝(10，－5)，＝(3,2)，＝(－2,2)，试用，表示. 【答案】 题型五 利用向量共线解决几何问题 【例5-1】已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标． 【答案】P(3,3). 【例5-2】已知点是的重心，过点作一条直线与，两边分别交于两点，且，，则的值为 . 【答案】=. ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $