精品解析：贵州省部分高中学校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题

高一数学素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. “是第一象限角”是“是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 8. 已知函数若关于的方程恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5 B. 数据，，…，的方差是1，则，，…，的标准差是9 C. 若事件与相互独立，则 D. 若事件与互斥，且，，则 10. 在中，，，是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在直线上 B. 若点是的重心，则 C. 若，且，，则 D. 若点在内（含边界），则 11. 已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，均有，，且不恒为0.以下说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13. 某同学使用一架两臂不等长的天平称质量为的铁屑，他先将的砝码放在天平左盘中，取出一些铁屑放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些铁屑放在天平左盘中使天平平衡.最终该同学称得的铁屑______.（从“小于”“等于”“大于”中选择一个填入） 14. 若函数是偶函数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各小题. （1）计算：. （2）已知. ①求的值； ②求的值. 16. 已知函数，函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求正数的取值范围. 17. 为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； （2）若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 18. 已知函数（）的图象关于直线对称. （1）求的最大值，并求取得最大值时所有的值； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，关于的方程 有实数解，求实数的取值范围； （3）设函数 ，若，，，求实数的取值范围. 19. （1）如图所示，，在以原点为圆心的单位圆上，其中.射线，分别为角，的终边且，.过作轴的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，计算线段和劣弧的长度，并比较二者的大小. （2）若定义在集合上的函数满足存在常数，使得对任意，，都有，则称是定义在集合上的压缩函数. ①若函数是定义在上的压缩函数，求的取值范围. ②是定义在集合上的压缩函数，证明方程在上至多只有一个根；由此判断函数在内的零点个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学素养训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 若点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 3. “是第一象限角”是“是锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据逻辑条件的定义判断. 【详解】是锐角，则是第一象限角， 但是第一象限角，不一定是锐角，如， 故“是第一象限角”是“是锐角”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查逻辑条件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 所以，. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性确定的范围，再根据对数的性质化简，即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以， 又因为函数在上单调递增，且，所以， 而，所以. 6. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用周期性和奇偶性得，再求值. 【详解】根据题意， . 7. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B；根据不等式的性质判断C，D. 【详解】对于A，取，满足，， 则，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为且， 所以，， 即， 两边同时乘以， 则，故D正确. 8. 已知函数若关于的方程恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法、分段函数性质、三角函数性质对方程的根的分布进行分类讨论建立不等式解出即可. 【详解】令，则方程变为，解得：或， 即或， 当时，， 若，则，若，则，均满足题意，此时方程有两个解， 当时，，令，则， 由，所以，要使原方程有6个不同的实数解， 只需要和在上有4个不同的实数解， 因为，故不满足题意， 所以只要在上有4个不同的实数解即可， 此时在上的解依次可以为： 所以要使得在上有4个不同的实数解则： ，解得：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5 B. 数据，，…，的方差是1，则，，…，的标准差是9 C. 若事件与相互独立，则 D. 若事件与互斥，且，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A，由标准差的公式可判断B，由独立性的定义可判断C，由概率加法公式可判断D. 【详解】因为，所以数据1，2，3，4，5，6的75%分位数是5，A正确； 设数据，，…，的均值为，记，则， ，故标准差是3，B不正确； 由事件的独立性可知事件与相互独立，则，C正确； 因为事件与互斥，且，，所以，D正确. 10. 在中，，，是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在直线上 B. 若点是的重心，则 C. 若，且，，则 D. 若点在内（含边界），则 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量线性运算可得，判断A；设的中点为，由重心的性质及向量线性运算计算判断B；建立平面直角坐标系，由向量线性运算坐标表示可得，根据三角形面积公式计算可判断C；因为点在（含边界），可利用平面向量基本定理及向量线性运算的几何意义可分析的取值范围. 【详解】对于A，若，则， 则， 所以，即， 所以点在直线上，故A正确； 对于B，设的中点为，点是的重心，则，而， 所以，则，故B错误； 对于C，若，则以点为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系： 则，，， 当，时，则 ，即， 则，故C错误； 对于D，，当与重合时，，所以； 当在边上时，；当O在内时，可知，， 因此，故D正确. 11. 已知定义在上的函数满足以下条件：对任意，，均有，，且不恒为0.以下说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令代入验证即可；对于B，令代入判断即可；对于C，把换成，得，结合题中式子计算即可；对于D，令，求出，利用周期性和奇偶性计算即可. 【详解】对于A，令， 则，即， 所以，即或， 当，令， 则，即， 与不恒为0矛盾，故，A正确； 对于B，令， 则， 因为，所以， 则，故是偶函数，B错误； 对于C， 把换成，得， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 则， 令， 则， 所以， 所以， 所以， 由BC,，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 13. 某同学使用一架两臂不等长的天平称质量为的铁屑，他先将的砝码放在天平左盘中，取出一些铁屑放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些铁屑放在天平左盘中使天平平衡.最终该同学称得的铁屑______.（从“小于”“等于”“大于”中选择一个填入） 【答案】大于 【解析】 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（铁屑在右盘）称得的铁屑为克， 第二次操作（铁屑在左盘）称得的铁屑为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 14. 若函数是偶函数，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】通过一元二次函数的对称性求解. 【详解】 由题意知，函数的对称轴是轴，所以，得，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各小题. （1）计算：. （2）已知. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及特殊三角函数的值求解即可； （2）①将原式化为，代值计算即可； ②将原式变形为，代值计算即可. 【小问1详解】 因为 ； 【小问2详解】 ①； ②. 16. 已知函数，函数. （1）当时，解关于的不等式； （2）若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求正数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解即可； （2）由题意可转化为对数不等式恒成立，利用函数单调性求解即可. 【小问1详解】 由，得， 则，得，即不等式的解集为; 【小问2详解】 因为， 对任意的，函数的图象总在函数图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以 整理得， 设，只需使得在上恒成立即可. 函数对称轴，因为，所以， ①当时，即时，函数在上单调递增，此时， 因为，所以，即在上恒成立； ②当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为，所以，即存在，使得，所以不符合题意. 综上所述的取值范围为. 17. 为优化假期安排，调整学生学习节奏，提升综合素养，贵州省九个市州于2026年4月1号至3号首次实施春假制度.某中学为了解春假期间学生外出体验的情况，随机选取了该校高一及高二共100名同学并对其进行了问卷调查，将外出时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图算出的值并估计该校学生春假外出时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数； （2）若外出时间在内的男女比例为3∶2，现利用分层随机抽样的方法选取5名同学进行访谈，然后再从这5名同学中随机选取2人在访谈会中发言，求发言的同学为一男一女的概率. 【答案】（1），平均数为，众数为8，中位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，可求，结合频率分布直方图可求平均数，众数和中位数； （2）先确定抽取的男生女生人数，列出总的选法，结合古典概率可求答案. 【小问1详解】 频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 1，组距都是 2， ，解得； 平均数：； 众数是频率分布直方图中最高矩形的中点，故众数为8； 前两组的频率和， 前三组的频率和， 因此中位数在内，设中位数为， 则，解得，即中位数为； 【小问2详解】 在内的男女比例为3∶2，人数，其中男生18人，女生12人； 利用分层随机抽样的方法选取5名同学中，男生3人，女生2人， 记男生为，女生为，从5人中选2人的总选法为： 共10种； 其中“一男一女” 的选法为：共6种； 设事件“发言的同学为一男一女”，则. 故所求概率为. 18. 已知函数（）的图象关于直线对称. （1）求的最大值，并求取得最大值时所有的值； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，当时，关于的方程 有实数解，求实数的取值范围； （3）设函数 ，若，，，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为 ，； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数图象的对称轴条件求出，得到解析式后由正弦函数性质直接写出最大值及对应的； （2）通过平移得到的表达式，再求其在区间上的值域，将方程有解转化为参数落在值域内； （3）分别求在给定区间上的最大值和的最小值，利用恒成立不等式解出的范围. 【小问1详解】 已知的图象关于直线对称， 则 ，即 ，由得， 所以，其最大值为，当 时，解得， 因此最大值为，取得最大值时. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位长度，得 ， 关于的方程 有实数解，即 有实数解， 因为 ，， 令，所以，在上单调递增， 在上单调递减，所以 ， 而，，所以，所以， 由题意 有实数解，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数 ，对，，，所以 ， 令，因为，所以，，开口向下，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增，； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，； ③当时，函数在上单调递减，. 所以； ，，令，所以， 在单调递增，在单调递减，因为， 所以，所以， 因为， ①当时，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 19. （1）如图所示，，在以原点为圆心的单位圆上，其中.射线，分别为角，的终边且，.过作轴的垂线，垂足为，再过作的垂线，垂足为，计算线段和劣弧的长度，并比较二者的大小. （2）若定义在集合上的函数满足存在常数，使得对任意，，都有，则称是定义在集合上的压缩函数. ①若函数是定义在上的压缩函数，求的取值范围. ②是定义在集合上的压缩函数，证明方程在上至多只有一个根；由此判断函数在内的零点个数，并说明理由. 【答案】（1），， （2）①； ②假设方程在上有两个不同根，，则，． 由压缩函数定义，有. 因为，且，所以上式推出，矛盾． 所以方程在上至多只有一个根． 下面判断函数在内的零点个数． 令，得. 设. 当时，，且，所以， 因此．又， 则。 所以是上的压缩函数．由上面已证结论，方程在内至多只有一个根，即在内至多有一个零点． 又. 由零点存在定理可知在内至少有一个零点．综上，在内的零点个数为． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义写出单位圆上点、 的坐标，确定垂足的坐标后计算出线段的长度与劣弧的长度，再通过三角恒等变换结合放缩法比较两个长度的大小； （2）①根据压缩函数的定义，将条件转化为，解不等式得到的取值范围；②用反证法结合压缩函数定义证明方程至多一个根，再将原函数零点问题转化为压缩函数的不动点问题，结合零点存在定理得到零点个数. 【详解】（1）由单位圆上点的坐标定义得， ， 由题意为直线 ，故 ， 由图， ，在单调递减， 因此 ， 单位圆半径为1，劣弧的圆心角为，因此弧长. ，则当时，，此时， 因为，所以，由不等式，， 所以，即，所以， 即 ​. （2）①设，，且．因为， 所以； 又，所以. 若是压缩函数，则必须存在，使 ， 对任意，成立． 由于的上确界为，故必须有 ，解得． 反之，当时，可取满足 ，则是上的压缩函数． 因此的取值范围为 ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $