6.3.1 平面向量基本定理导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 【学习目标】 1. 理解平面向量基本定理的内容，掌握基底的定义及核心选取条件. 1. 能熟练根据定理将平面内任一向量用给定基底线性表示，解决基础的向量分解与表示问题. 1. 在定理生成和应用过程中，提升抽象概括能力、逻辑推理能力和几何与代数的转化运算能力. 【学习重点】 1. 平面向量基本定理的内容及其理解. 2. 基底的概念及条件（两个不共线的非零向量）. 3. 用基底表示平面内任意向量. 【学习难点】 1. 理解定理中“有且只有一对实数”的含义. 2. 选择恰当的基底进行向量的线性表示. 学习任务一 平面向量基本定理的探究与理解 【合作探究】 1. 问题引入： · 在物理中，一个力可以分解为两个分力（如平行四边形法则）.数学上，平面内任意一个向量是否都可以用两个不共线的向量来表示？ · 例如，给定两个不平行的向量 ，，对于平面内任意向量 ，是否存在实数 ， 使得 ？这样的表示是否唯一？ 1. 探究活动（可借助几何画板或想象作图）： · 设 ， 是同一平面内两个不共线的向量.对于该平面内任意向量 ，以 的起点为起点，作平行四边形，使得 为对角线，两边分别与 ， 平行. · 则存在实数 ，，使 . · 而且这种表示是唯一的（用反证法可证）. 1. 平面向量基本定理： · 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，，使 · 其中， 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 1. 基底的条件： (1) 两个向量必须不共线（即 ，，且 与 不平行）. (2) 基底不唯一，任意两个不共线的向量都可作为基底. (3) 零向量不能作为基底中的向量. 【自主梳理】 1. 平面向量基本定理：同一平面内任何向量都可以用两个不共线的向量线性表示，且表示法唯一. 1. 基底：平面内两个不共线的非零向量构成的一组基底. 1. 线性表示：， 称为 在基底 下的坐标. 学习任务二 用基底表示向量 【合作探究】 1. 例1：已知 是平面内一组基底，，，求 ， 用基底表示. · 解：； · . 1. 例2：如图（文字描述： 为平行四边形， 为 中点， 为 中点，以 ， 为基底，表示 ，，. · 解：； · ； · . 1. 例3：已知 不共线，，，，若 三点共线，求 的值. · 解：. · 由 共线，存在 使 ，即 · . · 因为 不共线，所以 · ，解得 ，. 【自主梳理】 用基底表示向量的步骤： 1. 选定一组基底（通常取两个不共线的向量）. 1. 利用三角形法则、平行四边形法则将目标向量用基底线性表示. 1. 常用方法： (1) 直接平移分解； (2) 利用中点公式、定比分点公式； (3) 利用向量加法、减法、数乘的运算律. 学习任务三 平面向量基本定理的应用 【合作探究】 1. 例4（证明垂直）： · 在 中， 是 中点， 是 中点， 与 交于点 .设 ，，用基底表示 ，并证明 与 不垂直（一般情况）. · 解：略，常用重心性质：. · 若需证明垂直，需特殊条件. 1. 例5（用向量法证明几何问题）： · 已知 中，， 为 中点，求证 . · 证明：取基底 ，，则 ，，. · ，故 . 【自主梳理】 平面向量基本定理的应用方向： 1. 将几何问题转化为向量线性运算（共线、垂直、长度等）. 2. 确定点的位置（如中点、重心）. 3. 解含参数的向量方程. 【自查自纠】（正误判断） 1. 平面内任意两个向量都可以作为基底. （ ） 1. 基底中的两个向量必须不共线. （ ） 1. 零向量不能作为基底中的向量. （ ） 1. 平面内任一向量用基底表示时，表示法唯一. （ ） 1. 若 是基底，则 和 也是基底. （ ） 答案：1.×（需不共线） 2.√ 3.√ 4.√ 5.√（只要不共线即可） 【典例分析】 例1：如图（文字描述：平行四边形 ， 为 中点， 为 中点， 与 交于点 ），用 ， 表示 ，. 解： . ，设 . 又 . 由 不共线得 ，解得 ，，所以 . 例2：已知 为 的重心，用 ， 表示 . 解：取 中点 ，则 ，重心 分 为 ， . 【习题巩固】 1. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） · A. ， B. ， · C. ， D. ， 1. 在 中， 为 的中点， 为 的中点，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 是平面内一组基底，，，则 （用基底表示） · A.  B.  C.  D. 1. 在平行四边形 中，，， 为 中点，则 ______（用 表示）. （选做）在 中，，， 为 的重心，用 表示 . 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. D（不共线） 1. A（） 1. A（） 1. （） 取 中点 ，，，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $