精品解析：广东兴宁市宋声学校2026年九年级二模数学试卷

兴宁市宋声学校九年级二模数学试卷 一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某日凌晨测得某山顶的气温为，随着太阳升起，到中午时分气温上升了，则中午时分该山顶的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 故中午时分该山顶的气温是． 2. 科学家们在研究微观粒子时发现，某种新型纳米材料的单个粒子的质量极小．经测量，该粒子的质量为0.0000000056千克．数据0.0000000056用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】（小数点右移9位）． 3. 如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在 上，延长 到点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 4. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】解：它的左视图是． 故选：A． 5. 计算的结果等于（ ） A. 2 B. x C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 6. 如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点的纵坐标为，代入， 得， 解得：， ∴， ∵， ∴不等式 即为， 解集为：或． 7. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意列方程组得． 8. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9. 在装有氢气（）、氧气（）、氮气（）的三个容器中，若小琪随机抽取两瓶气体做化学实验，则她恰好选到两种气体能反应生成水（ ）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：三瓶气体随机抽取两瓶：，仅1组能生成水， 故她恰好选到两种气体能反应生成水（ ）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率为. 10. 如图，在中，，，，点，分别在 ， 上，且，将沿着直线 折叠得到，点到的距离为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，则，利用勾股定理求出，利用的正弦函数求出，进而求出，根据求出，根据折叠的性质得出，根据正切函数的定义即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点到的距离为 ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着直线 折叠得到， ∴， ∴． 二、填空题：本大题共5小题． 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式、计算二次根式除法，然后合并即可． 【详解】解：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】由点 平移后 可得坐标的变化规律是：右移3个单位，下移1个单位， ∴ 点 的对应点 的坐标 ． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为是方程的根， 所以，即； 由根与系数的关系得， 则 15. 如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．先求出一次函数与坐标轴的交点，，再根据三角形面积公式表示出与的函数关系式即可． 【详解】解：一次函数与坐标轴交于两点， 令 ，则；令 ，则，解得：， ，， ，， 点是轴上一点，横坐标为， ， ， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式得； 解不等式得． 原不等式组的解集为． 17. 如图，为的直径，与相切于点，点在的延长线上，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】 解：猜想：： 证明：连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，利用等腰三角形的性质可得，等量代换即可得出，结论可证. 【详解】略 18. 如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度为 米时，拱高 为米．现在有一艘高度为米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米? 【答案】小船在桥下水面的宽度不能超过米． 【解析】 【分析】以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，求出抛物线解析式，当小船高米时，令，则，解得，得到水面宽度为米，从而求解． 【详解】解：以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点，设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为， 当小船高米时，令，则， ， ∴水面宽度（米）， 答：小船在桥下水面的宽度不能超过米． 四、解答题（二）：本大题共3小题． 19. 如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交 于点M． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）通过菱形的性质证明即可； （2）先得到是直角三角形，然后根据斜边中线的性质得到，，再由勾股定理求解，最后根据全等三角形得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形中，，， 又∵， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 20. 某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：．B：．C：．D：）．下面给出了部分信息． 抽取的对甲款产品的所有评分数据： 65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99． 抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90． 抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表 产品 中位数 众数 方差 甲 86.5 b 92.2 乙 a 89 70.6 抽取的对乙款产品的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______． （2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数． 【答案】（1）；86； （2） 解：乙款更受欢迎．理由如下： 依题意，乙的方差更小，成绩更稳定；或乙的众数更高． 故乙款更受欢迎． （3）340人 【解析】 【分析】（1）先理解题意，求出乙款的A组和B组的人数，以及C组有8个数据，再运用D组数据个数除以 乘，得，结合中位数的定义以及众数的定义进行分析，得，，即可作答． （2）结合方差的意义或者众数的意义进行分析，即可作答． （3）理解题意，先分别算出对甲款、对乙款非常满意人数，再计算总人数，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，乙款数据共20个， 则， 结合题意：C组8个数据， 故D组频率； 即． ∵乙款数据共20个， ∴中位数是数据从小到大（或者从大到小）排序后，位于中间位置的数， 则乙的中位数是第10、11位数据的平均数，位于C组后半段， 则； 依题意，甲的众数：出现次数最多的是86， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：对甲款非常满意人数：20人中90分以上有6人， ∴人； 对乙款非常满意人数：20人中90分以上有4人， ∴人； 即， ∴其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数为人 21. 综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线 ，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 （1）求支撑杆上的长度． （2）求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解； （2）先根据求出，进而求出，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，米， 米； 【小问2详解】 ， ， ，米， 米， 米，米， 米， 米． 五、解答题（三）：本大题共2小题． 22. 已知四边形是矩形，． （1）如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接 、、，判定的形状，并说明理由； （2）如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； （3）如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1） 解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转性质可知：, ， ， ∴是等腰直角三角形； （2） （3）的最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； （3）连接 ，取 的中点，连接、，利用中位线的性质确定点H在以为圆心，半径为的圆上运动，分类讨论得出的最大值与最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：连接 ，取 的中点，连接、， ∵是的中点，是 的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵矩形由矩形绕点旋转得到， ∴， ∴， ∵是定点，为定值， ∴点H在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵， ∴， ∴当点H在延长线上时，的最大值为， 当点H在线段上时，的最小值为． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接． （1）求反比例函数的解析式和b的值． （2）如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：． （3）①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ； ②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如） 【答案】（1）， （2） 解：联立 ，解得或， ∴， ∵，轴，轴， ∴， 设的解析式为，则， ∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∵，， ∴的中点坐标为， ∴点即为的中点， ∴为的中线， ∴； （3）①由题意，作图如下： ； ②或 【解析】 【分析】（1）把代入直线解析式求出，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的解析式，再联立两条直线的解析式，求出点坐标，求出两点的中点坐标，得到为两点的中点，根据三角形的中线平分面积，即可得出结论； （3）①根据尺规作角平分线的方法作图，作交于点，则，，在中，设，则，，进而求出的长，再根据正切的定义进行求解即可；②分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：① 由作图可知：， 作交于点，则，， 在中，设，则，， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴； 当点在点上方时，以为直角顶点，为直角边，构造直角三角形，使，作轴，作，则，， 同法可得：，直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级二模数学试卷 一、选择题：本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某日凌晨测得某山顶的气温为，随着太阳升起，到中午时分气温上升了，则中午时分该山顶的气温是（ ） A. B. C. D. 2. 科学家们在研究微观粒子时发现，某种新型纳米材料的单个粒子的质量极小．经测量，该粒子的质量为0.0000000056千克．数据0.0000000056用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，将一把含角的直角三角板的直角顶点放在 上，延长 到点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果等于（ ） A. 2 B. x C. D. 6. 如图，直线：与双曲线交于，两点．已知，点的纵坐标为，则不等式 的解集为( ) A. B. C. 或 D. 或 7. 随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商店购进A种头盔40个和B种头盔50个共需资金5450元，A种头盔的单价比B种头盔的单价高8元．设A种头盔的单价为x元，B种头盔的单价为y元，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 在装有氢气（）、氧气（）、氮气（）的三个容器中，若小琪随机抽取两瓶气体做化学实验，则她恰好选到两种气体能反应生成水（ ）（氢气和氧气混合点燃可生成水）的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点，分别在 ， 上，且，将沿着直线 折叠得到，点到的距离为 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题． 11. 因式分解：_____ 12. 计算：______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，2），点B（-3，-1），点C（-2，-2），平移△ABC，使点A落在点D（2，1）处，则点C的对应点F的坐标为______． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 15. 如图，已知一次函数图象与坐标轴交于M，N两点．点P是x轴上一点，其横坐标为，若△MNP的面积为S，则S与a的函数关系式为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题． 16. 解不等式组： 17. 如图，为的直径，与相切于点 ，点在的延长线上，，猜想与的位置关系，并证明你的结论． 18. 如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度为米时，拱高 为米．现在有一艘高度为米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米? 四、解答题（二）：本大题共3小题． 19. 如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交 于点M． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 20. 某公司研发了甲、乙两款教育辅助产品，为了解其使用效果，对使用这两款产品的学生进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了使用这两款产品的学生各20名，对这两款产品的使用效果进行评分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为四组：A：．B：．C：．D：）．下面给出了部分信息． 抽取的对甲款产品的所有评分数据： 65，69，74，77，77，79，86，86，86，86，87，88，89，89，95，96，97，97，98，99． 抽取的对乙款产品的评分数据中C组包含的所有数据：83，85，86，88，89，89，89，90． 抽取的对甲、乙两款产品的评分统计表 产品 中位数 众数 方差 甲 86.5 b 92.2 乙 a 89 70.6 抽取的对乙款产品的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______． （2）若甲、乙两款教育辅助产品的平均数相等，根据以上数据，你认为哪款教育辅助产品更受学生欢迎?请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若本次调查有600名学生对甲款教育辅助产品进行了评分，有800名学生对乙款教育辅助产品进行了评分，请估计其中对甲、乙两款教育辅助产品非常满意的学生总人数． 21. 综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线 ，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 （1）求支撑杆上的长度． （2）求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 五、解答题（三）：本大题共2小题． 22. 已知四边形是矩形，． （1）如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接 、、，判定的形状，并说明理由； （2）如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； （3）如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，连接． （1）求反比例函数的解析式和b的值． （2）如图1，已知轴，轴，作射线交一次函数的图象于点T，求证：． （3）①如图2，在中，，用无刻度的直尺和圆规作∠O的平分线交于点C（保留作图痕迹，不写作法），并直接写出 ； ②设G为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出点G的坐标．（提示：如） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $