第十章《二元一次方程组》章节复习题-- 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 本试卷聚焦二元一次方程组，通过基础概念辨析、多样解法训练及冬奥会吉祥物、消费券等真实情境应用，梯度覆盖知识与能力，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|二元一次方程定义、解的验证、消元法|结合解的应用（如第4题参数求解）| |填空题|8|方程变形、参数问题、非负性应用|创新设计图表规律（第14题）与几何周长计算（第15题）| |解答题|11|解方程组（代入/加减消元）、实际问题建模（购物/租车）|设置新定义“和0方程”（第19题）及整体求值法（第20题），体现推理意识与应用能力|

第十章《二元一次方程组》章节复习题 一、单选题 1．下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，解为的二元一次方程是（    ） A． B． C． D． 3.解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 4.已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.某车间有名工人，生产桌面和桌腿，张桌子配条桌腿，每人每天可生产桌面个或桌腿条，设人生产桌面，人生产桌腿，使桌面和桌腿配套，则方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7.小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 二、填空题 8.由得到用x表示y的式子为 ． 9.如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为 ． 10.若，则______． 11.已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 12.若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为 ． 13.若方程组的解是，则方程组的解是______． 14.如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 15.在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 三、解答题 16.解下列方程组： (1)； (2)． (3) (4) (5) (6) 17.已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 18.已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 19.定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”． (1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值； (2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值． 20.阅读下面材料，回答问题： 解方程组： 解：由①＋②，得，化简，得③． 将③代入①，得，解得． 将③代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法． (1)已知，则________； (2)已知关于的方程组的解满足，求的值； (3)请仿照上面的解题思路，解方程组：． 21.某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 30 40 雪容融 50 65 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 22.某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案． 23.某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 24.春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 25.双十一期间，某超市开展促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材探索完成任务． 生活中的数学问题 素材1 该超市有大瓶和小瓶两种型号的A品牌牛奶，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元． 素材2 小文在超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了89元． 问题解决 任务1 小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由． 任务2 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，则小文购买的A品牌的大瓶牛奶和小瓶牛奶分别为多少瓶？ 26.解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题 素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元． 型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？ (3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）． 参考答案 一、单选题 1．C 解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 2.B 解：A：∵， ∴不是方程的解； B：∵， ∴是该方程的解； C：∵， ∴不是方程的解； D：∵， ∴不是方程的解； 故选：B． 3.D 解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为， ∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等， ∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是． 观察四个选项，选项D符合题意． 4.B 解：是关于，的二元一次方程的一组解， ， ． 5.A 解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 6.B 解：车间共有名工人，人生产桌面，人生产桌腿， 总人数满足方程， 张桌子配条桌腿，则每天生产的桌腿总数量应为桌面总数量的倍， 又人每天生产桌面总数为，人每天生产桌腿总数为， 可得等量关系， 所列方程组为 ． 7.A 解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． 二、填空题 8. 解： ， 故答案为：． 9.1 解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 10. 解：∵， ∴，解得：， ∴． 11. 由一元一次方程的定义，得， 解得， 所以． 故答案为：． 12.1 解：∵x与y互为相反数， ∴，即， 把代入，可得：， 解得：， 故答案为：1； 13. 解：设，则原方程组可化为， 方程组的解是， ， ， ， 方程组的解是． 14. 解：由已知得：， 得：， ∴． 即x与a的数量关系为． 15. 解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 三、解答题 16.（1）解：， 由②①得； 将代入①得； 原方程组的解为； （2）解：， 整理得， 由①②得； 将代入①得； 原方程组的解为． （3）解： 把②代入①可得：，解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为； （4）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为； （5）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为； （6）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 17.解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 18.（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 19.（1）解：， ， ； ， ， ， ， ∵关于的方程与方程是“和方程”， ∴， ， ， ， ∴的值为； （2）解：设另一个方程的解为， ∵“和方程”的两个方程解的差为， ∴， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 20.（1）解：， ，得， 解得； （2）解：， ，得， 化简，得， ∵， ∴， 解得； （3）解：， ，得，即， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得； ∴． 21.（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个， 根据题意得：， 解得：， 答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个； （2）解：由题意可知，（元） 设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个， 根据题意得：， 整理得：， 、b为正整数， 或或或， 答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个． 22.（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生； 由题意得：， 解得：； 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得， 则； 由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当n为大于16的4的倍数时，不符合题意； 故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆． 23.（1）解：设她用了张B型“消费券”， 由题意得：， 解得：，即她用了张B型“消费券”， 故答案：； （2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 由题意得：，解得：， 答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； （3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，， ①若她使用了A、B型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ②若她使用了A、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ③若她使用了B、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； 即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张； 若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 则实际付款金额为元； 若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为； 若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为， 即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 24.（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 25.解：任务1：设A品牌的大瓶牛奶买了瓶，A品牌的小瓶牛奶买了瓶． 由题意得， 解得， ∵均为整数， ∴按原价购买，不可能是89元； 任务2：设小文购买的A品牌的大瓶牛奶为瓶，A品牌的小瓶牛奶为瓶， 由题意得， 解得， 答：小文购买的A品牌牛奶大瓶为3瓶，小瓶为5瓶． 26.（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 解得：． 答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台； （2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台， 根据题意得：， 又，均非负整数， 或或， ∴共有3种租用方案： 方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）； 方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）； 方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）． ， ∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元； （3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根， 所需钢球数量为颗． 设弹簧的单价为元，钢球的单价为元， 根据题意得：， ， ， （元）． 故实际保养费用为元． 学科网（北京）股份有限公司 $