第十五章二元一次方程组期末单元复习题 2024-2025学年 人教版（五四制）数学七年级下册

第十五章二元一次方程组 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（    ） A．8，2，7 B．7，8，2 C．8，7，2 D．7，2，8 2．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况． 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0 小明在时看到的数是（   ） A．16 B．61 C．72 D．94 3．需要加工100个零件，甲单独加工5小时，然后和乙一起加工4小时完成任务，如果甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件，而且甲每小时比乙多加工2个零件，根据题意列方程组（    ） A． B． C． D． 4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（   ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 5．用代入消元法解方程组时，把①代入②正确的是（    ） A． B． C． D． 6．二元一次方程3x+2y＝15的正整数解的对数是（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．若是关于，的方程组的一个解，则的值为 （    ） A．5 B．－5 C．3 D．9 8．已知二元一次方程组有整数解，则正整数m的值为（    ） A．4或5 B．5或6 C．2或4或8 D．6或8 9．如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（    ） A． B． C． D． 10．若是关于x、y的二元一次方程ax-5y=1的解，则a的值为（   ） A．-5 B．-1 C．9 D．11 11．已知关于x，y的二元一次方程2x3yt，其取值如下表，则p的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 12．一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？（    ） A．110，215 B．216，109 C．108，217 D．214，111 二、填空题 13．已知关于x、y的二元一次方程组的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为 ． 14．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 15．长方形的长是宽的倍，如果长减少，宽增加，这个长方形就变成了一个正方形．设这个长方形的长是，宽是，根据题意，可得二元一次方程组 ，解得长是 ，宽是 ． 16．已知是关于x，y的方程；的一个解，则 ． 17．已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 三、解答题 18．已知代数式，当时，；当时，；当时，； ①求、、的值； ②求时，的值. 19．《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中国的剩余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，向木条长多少尺？” 20．已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 21．下面是小红同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：． 由①得，　　③，第一步 将③代入②，解得　　，第二步 将得值代入③，解得　　，第三步 所以原方程组的解为　　．第四步 (1)请将上面的空格补充完整； (2)第一步的变形的依据为　　； (3)该方程组解法为　　．（填“代入消元法”或“加减消元法”） 22．“五一”期间，某商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款386元，这两种商品定价之和为500元，问：这两种商品的定价分别为多少元？ 23．育才中学新建塑胶操场跑道一圈长400米，甲、乙两名运动员从同一点同时出发，相背而跑，40秒后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200秒后甲首次追上乙，求这两名运动员的速度． 24．若关于、的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求、的值． 《第十五章二元一次方程组》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C B B B C B D 题号 11 12 答案 D B 1．B 【分析】根据加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，-a+2b+4，b+3c+9，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 2．B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据摩托车的速度不变，到和到行驶的路程一样，即可得出关于x，y的二元一次方程，求解方程，结合x、y均为一位整数，即可解答． 【详解】解：设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据题意： ，即， 又∵x，y均为一位整数， ∴， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】根据要加工100个零件，甲先单独加工5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务以及甲每小时比乙多加工2个，可列出方程组． 【详解】设甲每小时加工x个零件，乙每小时加工y个零件， 依题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是以甲比乙每小时多做的件数和完成100个做为等量关系列方程组． 4．C 【分析】本题考查加减消元法．根据加减消元法，逐一进行判断即可． 【详解】解： 要消去，可以将，要消去，可以将 故选：C． 5．B 【分析】将①代入②，可得，去括号可得，即可获得答案． 【详解】解：对于方程组， 将①代入②，可得 ， 去括号，得 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题关键． 6．B 【分析】将x=1，2，…，分别代入3x+2y=15，求出方程的正整数解的对数是多少即可． 【详解】解：当x＝1时，方程变形为3+2y＝15，解得y＝6； 当x＝3时，方程变形为9+2y＝15，解得y＝3； ∴二元一次方程3x+2y＝15的正整数解的对数是2对：和． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数． 7．B 【分析】把代入得到新方程，求解二元一次方程组，解出，的值，即可求解． 【详解】∵是方程组的解 ∴ 令 ∴得， 由得， ∴ ∴把代入，得，解得： ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和二元一次方程组的解． 8．C 【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，再根据是10和15的公约数且为正整数，据此来确定出m的值． 【详解】解：在中 ①-②得：， 解得， 把代入②得： ， ∴方程组的解是． ∵方程组有整数解， ∴，， 解得：m=2，4，-2，8， 由m为正整数，得到m=2或4或8． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，由，得出m的值是解题关键． 9．B 【分析】根据两个图形分别可得，，两个等式消去a与b即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ，得， 解得， 故选：B 【点睛】本题考查了根据几何图形列方程组得问题，读懂题意是解题的关键． 10．D 【分析】把代入ax-5y=1解方程即可求解． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程ax-5y=1的解， ∴将代入ax-5y=1， 得：，解得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程解的含义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程解的含义． 11．D 【分析】由题意可得2m－3n=5①，2（m+2）－3（n－2）=p②，把②整理后将①整体代入即得关于p的方程，进一步即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得2m－3n=5①，2（m+2）－3（n－2）=p②， 把②整理，得2m－3n=p－10， 即5=p－10，解得：p=15． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和代数式求值，正确理解题意、灵活应用整体思想是解题关键． 12．B 【解析】略 13． 【分析】首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， ∴解这个关于m、n的方程组得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较高． 14． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设1枚黄金重两，1枚白银重两，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设1枚黄金重两，1枚白银重两， 根据题意，可得， 解得， 即1枚黄金重两，1枚白银重两． 故答案为：；． 15． / / 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设这个长方形的长是，宽是，根据题意列式求解即可． 【详解】解：设这个长方形的长是，宽是， ∵长是宽的倍， ∴， ∵长减少，宽增加，这个长方形就变成了一个正方形 ∴， ∴二元一次方程组为， 解方程组， 把①代入②得， 解得，， ∴， ∴原方程组的解为， ∴长是，宽是， 故答案为：①；②；③ ． 16．2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的方程；的一个解， ∴， ∴， 故答案为：2． 17． 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 18．(1)a=5,b=2,c=1;(2)y=52. 【分析】(1)把三组x,y的值代入到代数式中得到三个三元一次方程,列方程组求解即可; (2)把代入（1）中所求代数式中即可求出y的值. 【详解】解：（1）有题意得：, 解之得：. （2） 当时， 【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解法,解决本题的关键是要熟练掌握三元一次方程组的解法. 19．木条长6.5尺． 【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设绳子长x尺，木条长y尺， 依题意得：， 解得：． 答：木条长6.5尺． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 21．(1)；；； (2)等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得的结果仍是等式 (3)代入消元法 【分析】根据代入消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答． 【详解】（1）解：． 由①得，③，第一步 将③代入②，解得，第二步 将得值代入③，解得，第三步 所以原方程组的解为．第四步 故答案为：；；；； （2）等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得的结果仍是等式 （3）代入消元法 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 22．甲、乙两种商品的定价分别为320元、180元． 【详解】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．设甲、乙两种商品的原销售价格分别为x、y元，根据两种商品原价为500元，可得方程（1）x+y=500，又根据两种商品打折后的总价为386元，又可得方程（2）0.7x+0.9y=386，由（1）（2）组成方程组，即可得到答案． 23．甲运动员的速度为6米/秒，乙运动员的速度为4米/秒 【详解】根据相背而跑：甲的路程+乙的路程＝400；同向相跑：甲的路程－乙的路程＝400，即可列出方程组，求解即可. 解：设甲运动员的速度为x米/秒，乙运动员的速度为y米/秒， 由题意得， ， 解得：． 经检验，符合题意． 答：甲运动员的速度为6米/秒，乙运动员的速度为4米/秒． 24．(1) (2) 【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立，解方程组即可求解． （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的第一个方程联立可得：      解这个方程组可得相同的解为： （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：      解得 【点睛】本题考查了同解方程组，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$