21.2.1《平行四边形及其性质》同步练习 -- 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.2.1《平行四边形及其性质》同步练习 一、单选题 1.如图，oABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是() A A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC 2.如图，在口ABCD中，AB=3,BC=5,∠ABC=60°，以A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点 E,则EC的长为() B A.5 B.4 C.3 D.2 3.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2V5.过点A作AE⊥BC的垂线交BC于 点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是() E A.x+y B.x-y C.x D.x2+y2 4.如图，在口ABCD中，AB=8,LABC=60°，BE平分∠ABC,交边AD于点E,连接CE,若 AE=2ED,则CE的长为() A E D B A.6 B.4 C.45 D.2W6 5.如图，在ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O,下列结论：①AB∥DC;②EO=ED; ③LA=LC;④S四边形BoE=S四边彩cDoF,其中正确结论的个数为() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线 上，则() hcm A.4与d2一定相等 B.d,与d一定不相等 C.4与4一定相等 D.4与马一定不相等 二、填空题 7.如图，在ABCD中，LBCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE= D E B 8.知图，在aA8CD中，8C=24B=8,连接4C,分别以点A,C为圆心，大于54C的长为半 径作弧，两弧交于点E,F,作直线EF,交AD于点M,交BC于点N,若点N恰为BC的中点， 则AC的长为 A M 9.如图，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠B=60°，点E,N,F,M分别在边AB,BC,CD, DA上，且EF,MN将。ABCD分成面积相等的四部分，若BE=I,则MN的长为· A M D 10.如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处，B'C与AD相交于点 E,此时aCDE恰为等边三角形，若AB=6cm,则AD=cm. B D B 11.在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,BC=8.现将该纸片折叠，折痕与纸片 ABCD的两边交于点E、F,若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC,则被折痕分成的△EBF与 四边形EFCD的面积的比为 ;若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成 的两个四边形的面积的比为1：3，则折痕EF长的取值范围是 12.如图，在口ABCD中，AB=4,AD=5,∠ABC=30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的 最小值为 D M 三、解答题 13.(2024·吉林·中考真题)如图，在口ABCD中，点0是AB的中点，连接C0并延长，交 DA的延长线于点E,求证：AE=BC. 14.如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5 ,求证：△ADE≌△FCE,并求BF的长. C F B D 15.已知：如图，点O为口ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD,BC分别相交于点E, F. 求证：DE=BF, D E 0 B 16.追本溯源： 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2) E E D B 图1 图2 (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于点E ,请判断△BDE的形状，并说明理由. 方法应用： (2)如图2，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线 于点F,交BC于点G ①图中一定是等腰三角形的有() A.3个B.4个C.5个D.6个 ②已知AB=3,BC=5,求CF的长. 17.综合与探究：如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0，-1)，（-3，-2)，将 线段AB进行适当的平移得到线段CD,且点B的对应点C的坐标为(0,4). 不y 6 5 3 2 -6-5-4-3-2-1@,123456x 十A B -3 -5 -6 (1)直接写出点D的坐标 ； (2)求出平移的距离； (3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E,使以点O,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形， 若存在直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由. 参考答案 一、单选题 1.C 解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在口ABCD中，OA=OC,OB=OD,则 OA=0B不一定成立，该选项不符合题意 B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则OA⊥OB不一定成立，该选项不符 合题意； C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在·ABCD中，OA=OC,该选项符合题意； D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则∠OBA=∠OBC不一定成立，该选项不符 合题意； 故选：C. 2.D 解：根据作图可知：AB=AE, .∠ABC=60°， .△ABE为等边三角形， ∴.BE=AB=3, ∴.CE=BC-BE=5-3=2; 故选D. 3.C 解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F, B E ,AE⊥BC的垂线交BC于点E, ∴.∠AEB=∠DFC=90°， 四边形ABCD是平行四边形， .AB=DC,AB∥CD, ∴.∠ABE=LDCF, ∴.△ABE≌△DCF(AAS ∴.AE=DF,BE=CF=x, 由勾股定理可得，AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE)2=4-(y-x), DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2-(BC+BE)2=12-(y+x)2, .4-(y-x)2=12-(y+x)2, ∴.(y+x)2-(y-x)2=8 .x2+2xy+y2-y2+2xy-x2=8 即4y=8,解得xy=2, .当x,y的值发生变化时，代数式的值不变的是y, 故选：C 4.C 解：：四边形ABCD是平行四边形， ∠D=LABC=60°，CD=AB=8,AD∥BC, :ZAEB ZCBE :BE平分∠ABC, ∠ABE=LCBE, ∠ABE=∠AEB, :AE AB=8, AE 2ED DE=4, 如图，过点E作EF⊥CD于点F, A 则∠EFC=LEFD=90°， :∠DEF=90°-∠D=90°-60°=30°， :.DF=IDE=2, 2 :.EF=DE2-DF2=42-22=23,CF=CD-DF=8-2=6, CE=VCF2+EF=V62+2=45, 故选：C 5.C 解：：四边形ABCD是平行四边形， :AB∥DC,AD∥BC,∠A=LC,故①③正确， 六S.0=S.cae=25年行边影Cm,∠0DE=∠0BF, :点O是BD的中点， 0D=0B, 又：LDOE=∠BOF,OD=OB,LODE=LOBF, AODE≌aOBF(ASA, ∴.S△oDE=SAOBF,E0=F0≠ED,故②不正确， SAABD SACDB S.ODE=S.OBF SAARD-SAODE SACDB-SAOBF 即S图这形ABOE=S阳边形CDoF,故④正确， 综上所述，正确结论的个数为3个， 故选：C. 6.A 解：如图所示，过点P分别作OA,OB的垂线，垂足分别为E、F 点P在∠AOB的平分线上， ∴PE=PF, 由平行线间间距相等可知d1=PB,d2=PE, .d=d2, 由于和马的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A, hcm d.cn 二、填空题 7.2 解：，ABCD,AD=2, .AB∥CD,AD=BC=2, .∴LDCE=LCEB, ,∠BCD的平分线交AB于点E, .'ZDCE ZBCE, ∴.LBCE=LBEC, ∴BE=BC=2; 故答案为：2. 8.45 解：连接AN, 兴 A D M 由作图可知，MN垂直平分AC, ∴.AN=CN, 点N恰为BC的中点， .∴.BC=2BN=2CN, .'BC=2AB=8, ∴.BN=CN=AB=4, ∴.BN=AN=AB=CN=4, ∴△ABN是等边三角形，LCAN=∠ACN, .∴.∠BAN=∠ABC=∠ANB=60°， .∠CAN+∠ACN=∠ANB, .∠CAN=∠ACN=∠ANB=30°， ∴.∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°， ∴.AC=VBC2-AB2=V82-42=45. 故答案为：45. 9.13 10.12 解：aCDE为等边三角形， ∴.∠D=∠DCE=LCED=60°， 折叠， ..ZBCA=ZECA, ,ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD=6,AD∥BC, ∴.LEAC=LBCA, ∴.∠EAC=∠ECA, ,LEAC+LECA=LDEC=60°， .LEAC=LECA=30°， .∴.∠DCA=90°， ∴.AD=2CD=12cm; 故答案为：12. 11.1:7 2W3≤EF<4V3或2W13<EF<2W21 解：若E与A重合，F在BC上，且EF⊥BC, A(E) D B F 则∠BFE=90°， :∠ABC=60°， :∠BEF=90°-60°=30°. BF=AB. 2 :AB=4, 1 :BF=4×22. ·由勾股定理得，EF=V42-22=2V5. ·S平行四边形1cn=8×2V5=16V5,SE=2×25x=2√5. ·S四边形cD=16V5-2V3=14V3. ·SEr:Sg边形EcD=2V5:14V5=1:7. ·△EBF与四边形EFCD的面积的比为1：7. 若折痕EF将纸片ABCD分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为1：3， 如图2-1，取AD的中点M,BC的中点N,连接MN, :四边形ABCD是平行四边形， H A E M D D 图2-1 图2-2 ·AD∥BC,AD=BC. &4M∥BN,AM=4D-BC=BN,DM∥CN,DM=AD=BC=CN. 2 :四边形ABNM是平行四边形，四边形CDMW是平行四边形. :平行四边形ABNM的面积与平行四边形CDMN的面积的比为1：1， 连接BM,AN,交于点K,当EF过点K时，且点E在线段AM上，不与点A、M重合，点F在 线段BN上，不与点B、N重合， ∴.此时，四边形ABFE的面积与四边形EFNM的面积的比为1：1， :四边形ABFE的面积与四边形EFCD的面积的比为I:3. 当EF⊥BC时，EF取最小值，由①可知，EF的最小值为2W3, 作BH⊥DA,交DA延长线于点H,则LH=90°， :AD∥BC, :∠HBC=180°-90°=90°. :∠ABC=60°， ·∠ABH=90°-60°=30°. 4=42 BH=V42-22=2V5. BC-8,AM =TAD-IBC, 21 2 :AM=8×。=4. 2 :MH=4+2=6. BM=V25+6=4V5. :2V5≤EF<4V5. 如图2-2，取AB的中点P,CD的中点Q,连接PQ, :四边形ABCD是平行四边形， ·AB∥CD,AB=CD. AP/DQ,AP-48-CD-DQ,P C 8P-248-CD-CQ. :四边形APOD是平行四边形，四边形PBCQ是平行四边形， :PQ∥AD,PQ=AD=BC=8,平行四边形APQD的面积与平行四边形PBCQ的面积的比为1：I. 连接AQ,DP,交于点T,当EF过点T时，且点E在线段AP上，不与点小、P重合，点F在线 段DQ上，不与点D、Q重合， 四边形ADFE的面积与四边形EFQP的面积的比为1：1， :四边形ADFE的面积与四边形EFCB的面积的比为1：3. 作PR⊥DA,交DA延长线于点R,作AS⊥PQ于点S,则∠R=∠ASP=∠ASQ=90°， ∠RAB=∠B=60°， :∠APR=90°-60°=30°. 号p. :4B=4,AP=4, 1 :AP=4×5=2」 2 4R=2x分1. ·PR=V22-12=V5. :PQ∥AD, :∠R+∠RPS=180°. :∠RPS=180°-90°=90°. ·四边形ASPR为矩形. ·AS=RP=√3，RA=PS=1. QS=8-1=7,RD=8+1=9, A0=5+72=213,PD=V5+92=22i. :23<EF<2√21. ∴.折痕EF长的取值范围是2√5≤EF<4V5或23<EF<2√2I. 故答案为：1：7；25≤EF<45或2V13<EF<2W21. 12.√41 解：如图，作A关于直线BC的对称点A,连接A'D交BC于M',则AH=A'H,AH⊥BC, AM'=A'M', ∴.当M,M重合时，MA+MD最小，最小值为AD, D M B M A AB=4,∠ABC=30°，在ABCD中， .AH=)4B=2,AD∥BC, ∴.AA'=2AH=4,AA'⊥AD, AD=5, .A'D=V42+52=V41, 故答案为：√41 三、解答题 13.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠0AE=∠0BC,∠0CB=∠E, 点O是AB的中点， ∴.0A=0B, ∴.△AOE≌△BOC(AAS), ∴.AE=BC. 14.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=5,BC∥AD, ∴.∠EFC=LEAD,∠ECF=∠EDA, ,点E是平行四边形ABCD边CD的中点， ∴.CE=DE, ∴.△ADE≌△FCE(AAS), ..CF=AD=5, ∴.BF=BC+CF=5+5=10. 15.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC, .∴.LEA0=∠FC0,∠OEA=LOFC, 点0为对角线AC的中点， A0=C0, ∴.△A0E≌△C0F, ∴.AE=CF, .AD-AE BC CF ∴.DE=BF, 16.解：(1)△BDE是等腰三角形；理由如下： :BD平分LABC, ∴.LABD=LCBD, DE∥BC, ∴.LBDE=∠CBD, ∴.∠BDE=∠ABD, ∴.EB=ED, ∴.△BDE是等腰三角形； (2)①，▣ABCD中， .AE∥BC,AB∥CD, G 同(1)∠ABE=∠CBE=LAEB, .AB AE, :AF⊥BE, ∴.∠BAF=LEAF, ,AE∥BC,AB∥CD, ∴.∠BGA=LEAF,∠BAF=∠F, ,∠BGA=∠CGF, ∴.∠BGA=LBAG,∠DAF=∠F,LCGF=∠F, .AB=AG,DA=DF,CG=CF, 即△ABE、△ABG、△ADF、△CGF是等腰三角形；共有四个， 故选：B. ②口ABCD中，AB=3,BC=5, .AB=CD=3,BC=AD=5, 由①得DA=DF, ∴CF=DF-CD=5-3=2. 17.(1)解：点B的坐标为-3，-2)，点C的坐标为(0,4)， ∴把点B向右平移3个单位长度，再向上平移6个三个单位长度得到点C, ,将线段AB进行适当的平移得到线段CD,点A的坐标为(0，-1)， .点D的坐标为3,5)； 故答案为：(3,5)： (2)解：，线段AB进行适当的平移得到线段CD,且点B对应点C, .线段BC的长就是平移的距离， 点B的坐标为-3，-2)，点C的坐标为(0,4)， BC=V-3-0)+(-2-4)2=V32+62=35, 答：平移的距离是3√5. (3)解：如图所示， 9 8 7 6 B 1 -6-5-4-32-0123456x E2 B -4 ①当OC=DE,=4,OC‖DE,时，四边形0CDE是平行四边形， .把点D向下平移3个单位长度得到点E, ∴.E33,1; ②当CD OE2,CE,IOD时，四边形OCDE是平行四边形， ∴.把点0向下平移1个单位长度再向左平移3个单位长度得到点E, .E2-3,-1: ③当CD OE,OC‖DE,时，四边形OCDE是平行四边形， 把点D向上平移3个单位长度得到点E, ∴E1（3,9; 综上所述，点E的坐标是（-3，-1)或(3,1或(3,9.